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1 LISTA 17 RELAÇÕES MÉTRICAS 1. (Uerj 01) Um modelo de macaco, ferramenta utilizada para levantar carros, consiste em uma estrutura composta por dois triângulos isósceles congruentes, AMN e BMN, e por um parafuso acionado por uma manivela, de modo que o comprimento da base MN possa ser alterado pelo acionamento desse parafuso. Observe a figura: Considere as seguintes medidas: AM AN BM BN 4 dm; a) c) 16 4x b) 16 4x d) NOME: MN x dm; AB y dm. O valor, em decímetros, de y em função de x corresponde a: 64 x 64 x. (Pucrj 01) Uma bicicleta saiu de um ponto que estava a 8 metros a leste de um hidrante, andou 6 metros na direção norte e parou. Assim, a distância entre a bicicleta e o hidrante passou a ser: a) 8 metros b) 10 metros c) 1 metros d) 14 metros e) 16 metros. (Unicamp 01) Em um aparelho experimental, um feixe laser emitido no ponto P reflete internamente três vezes e chega ao ponto Q, percorrendo o trajeto PFGHQ. Na figura abaixo, considere que o comprimento do segmento PB é de 6 cm, o do lado AB é de cm, o polígono ABPQ é um retângulo e os ângulos de incidência e reflexão são congruentes, como se indica em cada ponto da reflexão interna. Qual é a distância total percorrida pelo feixe luminoso no trajeto PFGHQ? CURSO: MATEMÁTICA DATA: / /01. (G1 - ifsp 01) Um instrumento musical é formado por 6 cordas paralelas de comprimentos diferentes as quais estão fixadas em duas hastes retas, sendo que uma delas está perpendicular às cordas. O comprimento da maior corda é de 0 cm, e o da menor é de 0 cm. Sabendo que a haste não perpendicular às cordas possui cm de comprimento da primeira à última corda, se todas as cordas são equidistantes, a distância entre duas cordas seguidas, em centímetros, é a) 1. b) 1,. c). d),. e). 6. (Ufsc 01) Em um centro de eventos na cidade de Madri, encontra-se um mural de Joan Miró ( ) confeccionado pelo ceramista Artigas. O mural está colocado no alto da parede frontal externa do prédio e tem 60m de comprimento por 10m de altura. A borda inferior do mural está 8m acima do nível do olho de uma pessoa. A que distância da parede deve ficar essa pessoa para ter a melhor visão do mural, no sentido de que o ângulo vertical que subtende o mural, a partir de seu olho, seja o maior possível? O matemático Regiomontanus ( ) propôs um problema semelhante em 1471 e o problema foi resolvido da seguinte maneira: a) 1 cm. b) 1 cm. c) 16 cm. d) 18 cm. 4. (Ufrn 01) A escadaria a seguir tem oito batentes no primeiro lance e seis, no segundo lance de escada. Sabendo que cada batente tem 0 cm de altura e 0 cm de comprimento (profundidade), a tangente do ângulo CAD ˆ mede: a) 9 10 b) 14 1 c) 9 0 d) 1 Imagine uma circunferência passando pelo olho O do observador e por dois pontos P e Q, verticalmente dispostos nas bordas superior e inferior do mural. O ângulo α será máximo quando esta circunferência for tangente à linha do nível do olho, que é perpendicular à parede onde se encontra o mural, como mostra a figura. Com estas informações, calcule a que distância OC da parede deve ficar o observador para ter a melhor visão do mural de Joan. 7. (Espm 01) A figura mostra um quadrado, dois círculos claros de raios R e dois círculos escuros de raios r, tangentes entre si e aos lados do quadrado. A razão entre R e r é igual a: a) b) c) d) e) Rua 1 de junho,

2 8. (Unesp 01) No futebol, um dos gols mais bonitos e raros de se ver é o chamado gol olímpico, marcado como resultado da cobrança direta de um escanteio. 4º) Marcou os pontos N, O, P, Q, R na figura resultante. Suponha que neste tipo de gol: 1. A projeção da trajetória da bola descreva um arco de circunferência no plano do gramado;. A distância (d) entre o ponto da cobrança do escanteio e o ponto do campo em que a bola entra no gol seja 40 m;. A distância máxima (h) da projeção da trajetória da bola à linha de fundo do campo seja 1m. Determine o raio da circunferência (R), em metros, do arco descrito pela trajetória da bola, com uma casa decimal de aproximação. 9. (Pucrj 01) Seja ABC um triângulo retângulo em B. Seja AD a bissetriz de CÂB. Sabemos que AB mede 1 e que BD mede 1. a) 1 b) c) d) 4 e) Quanto mede o cateto BC? 10. (G1 - epcar (Cpcar) 01) Brincando de dobraduras, Renan usou uma folha retangular de dimensões 0 cm por 1cm e dobrou conforme o procedimento abaixo descrito. 1º) Tracejou na metade da folha e marcou o ponto M º) Dobrou a folha movendo os pontos A e B para o ponto E Segundo esses procedimentos, pode-se afirmar que a medida do segmento MR, em centímetros, é igual a a) 6 b) 6 c) 9 d) (Ita 006) Seja E um ponto externo a uma circunferência. Os segmentos EA e ED interceptam essa circunferência nos pontos B e A, e, C e D, respectivamente. A corda AF da circunferência intercepta o segmento ED no ponto G. Se EB =, BA = 7, EC = 4, GD = e AG = 6, então GF vale a) 1 b) c) d) 4 e) 1. (Enem 00) Quatro estações distribuidoras de energia A, B, C e D estão dispostas como vértices de um quadrado de 40km de lado. Deseja-se construir uma estação central que seja ao mesmo tempo equidistante das estações A e B e da estrada (reta) que liga as estações C e D. A nova estação deve ser localizada a) no centro do quadrado. b) na perpendicular à estrada que liga C e D passando por seu ponto médio, a 1km dessa estrada. c) na perpendicular à estrada que liga C e D passando por seu ponto médio, a km dessa estrada. d) no vértice de um triângulo equilátero de base AB, oposto a essa base. e) no ponto médio da estrada que liga as estações A e B. º) Em seguida, dobrou a folha movendo os pontos C e D para F e G, respectivamente. Rua 1 de junho,

3 Gabarito: Resposta da questão 1: Considere a figura. Seja H o ponto de interseção dos segmentos AB e MN. Como AMN e MBN são triângulos isósceles congruentes, y x segue que AMBN é losango. Logo, AH e HN. Portanto, aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo AHN, obtemos y x AH HN AN 4 y 64 x Resposta da questão : y 64 x dm. Sejam A o ponto onde se encontrava inicialmente a bicicleta e B o ponto a 6 metros ao norte de A. Chamando de C o ponto onde se encontra o hidrante, segue que a distância pedida corresponde à hipotenusa do triângulo retângulo ABC, reto em A. Portanto, pelo Teorema de Pitágoras, vem BC AC AB BC 8 6 Resposta da questão : BC 100 BC 10 m. ΔHPQ ΔFQP(L.A.A ) HP FQ K e PF HQ o ΔBHG ΔAFG(L.A.A o ) AG BG e HG = GF 6 K ΔAGF~ ΔQPF K 4 K No ΔGBH : GH GH No Δ HPQ: HQ 4 HQ Logo, a distância total percorrida pelo feixe luminoso no trajeto PFGHQ é PF + FG + GH + HQ = + / + / + = 1 cm. Resposta da questão 4: Supondo que A, B e C pertencem a um mesmo plano horizontal, temos AB cm, BC cm e CD (8 6) 0 80cm. Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo ABC, encontramos AC AB BC AC AC 00cm. Portanto, do triângulo retângulo ACD, vem CD tgcad. AC 00 1 Resposta da questão : [E] Rua 1 de junho,

4 Resposta da questão 8: = 0 + (x) 6 = x x = x = 9 x = Resposta da questão 6: 1. Utilizando uma relação métrica na circunferência, aquela relação entre secante e tangente, temos: CO = 8.18 CO = 1 Resposta da questão 7: [C] Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo assinalado, temos: R = (R 1) + 0 R = R R R = 401 R = 00, m. Resposta da questão 9: Pelo Teorema da Bissetriz Interna, temos que 1 BD CD CD AB AC 1 AC AC CD. Desse modo, pelo Teorema de Pitágoras, vem 1 AC BC AB ( CD) CD 1 CD CD 0 4 CD u.c. 6 Observando a figura, podemos escrever que R r R R r R.R.r r R 4R 4Rr r 4R 6.Rr 0 R R 0(não convém) ou r Portanto, BC BD CD u.c. Resposta da questão 10: Rua 1 de junho,

5 O Δ MEN é isósceles, logo ENM ˆ 4. QRM ˆ ENM ˆ 4 (ângulos correspondentes) e MQ = QR = 1 6 = 9. Logo, o segmento MR = MR 9. Resposta da questão 11: Resposta da questão 1: [C] Considere a figura abaixo, em que P é o ponto onde deverá ser construída a estação. Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo APH, obtemos x 0 (40 x) x x x 80x 000 x km. Por conseguinte, a nova estação deverá ser construída na perpendicular à estrada que liga C e D passando por seu ponto médio, a km dessa estrada. Rua 1 de junho,

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