DESENHO GEOMÉTRICO 1º ANO ENSINO MÉDIO

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1 DESENHO GEOMÉTRICO 1º ANO ENSINO MÉDIO PROFESSOR: DENYS YOSHIDA PERÍODO: MANHÃ DESENHO GEOMÉTRICO 1º ANO - ENSINO MÉDIO

2 Sumário 1. Trigonometria no triangulo retângulo Triângulo retângulo Teorema de Pitágoras..., Outras relações no triângulo retângulo Nomenclatura dos catetos Razões trigonométricas no triângulo retângulo Geometria Plana Razões entre segmentos de retas Segmentos proporcionais Teorema de Tales Semelhança de triângulos....5 Casos de semelhança Polígonos Definição e classificação Polígonos convexos e não convexos Ângulos de um polígono Diagonais de um polígono Área de polígonos Circunferência e círculo Definição Comprimento da circunferência Área da circinferência Polígonos regulares Definição Polígonos inscritos e circunscritos na circunferência Quadrado inscrito na circunferência Triângulo equilátero inscrito na circunferência Hexágono inscrito na circunferência...40 Referências bibliográficas...45 DESENHO GEOMÉTRICO 1º ANO - ENSINO MÉDIO - 016

3 1. Trigonometria no triângulo retângulo A Trigonometria possui uma infinidade de aplicações práticas. Como medir a altura de um arranha-céu de 100 andares sem escalá-lo? Ou medir a largura de um rio sem atravessá-lo de uma margem à outra? A trigonometria (trigono=triângulo; metria=medida) é o ramo da matemática que trata das relações entre os lados e ângulos de triângulos e serve para calcular distâncias inacessíveis, muito utilizadas na astronomia e geografia. A trigonometria é uma ferramenta da Engenharia, Arquitetura, Física, Aeronáutica, Navegação, Topografia e em toda atividade que envolve a localização espacial de pontos e o cálculo de distâncias entre eles. Enfim, a trigonometria serve para uma infinidade de cálculos, dentre eles, podemos citar: calcular a quantidade de degraus necessários para por numa escada, determinar o tamanho e declividade de um terreno para evitar deslizamentos e assim salvar vidas, calcular o ângulo certo para lançamento de misses e foguetes, calcular o ângulo de declividade de rampas de acessos a prédios e etc. Determinação da altura de certo monumento: Os gregos determinaram a medida do raio da Terra, por um processo muito simples. Seria impossível se medir a distância da Terra à Lua, porém com a Trigonometria isso se torna muito simples. Um engenheiro precisa saber a largura de um rio para construir uma ponte, o trabalho dele é mais fácil quando ele usa alguns recursos trigonométricos. DESENHO GEOMÉTRICO 1º ANO - ENSINO MÉDIO

4 Um cartógrafo (desenhista de mapas) precisa saber a altura de uma montanha, o comprimento de um rio, etc. Sem a Trigonometria ele demoraria anos para desenhar um mapa. Tudo isto é possível calcular com o uso da Trigonometria no triângulo retângulo. 1,1 Triângulo Retângulo É um triângulo que possui um ângulo reto, isto é, um de seus ângulos mede noventa graus, daí o nome de triângulo retângulo. Como a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º, então os outros dois ângulos medirão 90º. Observação: Se a soma de dois ângulos mede 90º, estes ângulos são chamados complementares, portanto podemos dizer que o triângulo retângulo possui dois ângulos complementares. Lados de um Triângulo Retângulo Os lados de um triângulo retângulo recebem nomes especiais. Estes nomes são dados de acordo com a posição em relação ao ângulo reto. O lado oposto ao ângulo reto é a hipotenusa. Os lados que formam o ângulo reto (adjacentes a ele) são os catetos. 1. Teorema de Pitágoras DESENHO GEOMÉTRICO 1º ANO - ENSINO MÉDIO

5 O teorema de Pitágoras talvez seja o mais importante teorema de toda a matemática. Com ele podemos descobrir a medida de um lado de um triângulo retângulo, a partir da medida de seus outros dois lados. Teorema de Pitágoras: a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa. a² + b² = c² Exemplo de aplicação Calcule o valor do segmento desconhecido no triângulo retângulo a seguir: DESENHO GEOMÉTRICO 1º ANO - ENSINO MÉDIO

6 x x x 5 x 5 x 15 1 Exercícios propostos 1- Enuncie o Teorema de Pitágoras. - Verifique se os seguintes triângulos são retângulos. As medidas dos lados são: a) 6 cm, 11 cm e 1 cm b) 1 cm, 16 cm e 0 cm 3- Determine o valor do segmento desconhecido no triângulo abaixo: 1 x Os catetos de um triângulo retângulo são respectivamente 6 m e 8 m. Qual a medida da hipotenusa? 5- Sabendo que os catetos de um triângulo retângulo medem 1 m e 3 m, calcule o valor da hipotenusa. 6- A hipotenusa de um triângulo retângulo é igual a 1 m e um cateto mede 8 m. Quanto mede o outro cateto? 7- A hipotenusa de um triângulo retângulo mede 13 cm e um de seus catetos mede 5 cm. Calcule o valor de outro cateto? 8- Determine o perímetro de um triângulo retângulo cujos catetos medem 1 cm e 5 cm. DESENHO GEOMÉTRICO 1º ANO - ENSINO MÉDIO

7 9- A altura de uma árvore é 7 m. Será fixada uma escada a 1 m de sua base para que um homem possa podar seus galhos. Qual é o menor comprimento que essa escada deve ter? 10- Genoveva está participando de uma caça ao tesouro com um mapa de instruções e uma bússola. Ao chegar a ultima instrução, ela seguiu 10 passos para o oeste, mas deveria ter seguido 50 passos para o norte. Ao perceber o erro, resolveu voltar e recomeçar, mas pensou que poderia economizar alguns passos se soubesse a direção exata do tesouro a partir daquele ponto. Se pudesse ir direto ao tesouro, quantos passos a menos Genoveva daria? 11- Um avião percorreu a distância de 5000 metros na posição inclinada, e em relação ao solo, percorreu 3000 metros. Determine a altura em que o avião se encontra. 1- (UMC-SP) Uma escada medindo 4 metros tem uma de suas extremidades apoiada no topo de um muro, e a outra extremidade dista,4 m da base do muro. Calcule a altura desse muro. 13- Qual o valor dos catetos de um triângulo retângulo isósceles sabendo que a hipotenusa mede 10 cm? 14- (Univali-SC) Dois pedreiros, João e Luís, estavam discutindo sobre as medidas dos lados de um triângulo(esquadro) mais adequadas para utilizar em uma obra. João disse que as medidas deveriam ser 4,5 m,,7 m e 3,6 m. Luís afirmava que as medidas deveriam ser 9 m, 5,4 m e 7, m. Um engenheiro foi chamado para resolver o impasse, concluindo, corretamente, que: a) só o triângulo do João é retângulo; b) só o triângulo do Luís é retângulo; c) nenhum dos dois triângulos é retângulo; d) os dois triângulos são retângulos. 15- As raízes da equação x 14x 48 0 expressam em centímetros as medidas dos catetos de um triângulo retângulo. Determine a medida da hipotenusa e o perímetro desse triângulo. 16- Em um triângulo retângulo, um cateto mede o dobro do outro, e a hipotenusa mede 10 m. Calcule a medida, em metros, do cateto maior desse triângulo. 17- Determine a fórmula que determina a medida da diagonal de um quadrado em função do seu lado. 18- Determine a medida da diagonal de um quadrado de 9 cm de lado. DESENHO GEOMÉTRICO 1º ANO - ENSINO MÉDIO

8 19- Calcule a medida do lado de um quadrado cuja diagonal mede 8 cm. 0- (PUC-SP) Um ciclista acrobático vai atravessar de um prédio a outro com uma bicicleta especial, percorrendo a distância sobre um cabo de aço, como demonstra o esquema a seguir: Qual é a medida mínima aproximada do comprimento do cabo de aço? 1.3 Outras relações no triângulo retângulo Dado um triângulo retângulo ABC, reto em A, com hipotenusa igual a a e catetos iguais a b e c: Se nesse mesmo triângulo retângulo traçarmos uma reta h que parte do vértice A e que seja perpendicular ao lado a no ponto H, essa reta será a altura do meu triângulo retângulo e irá dividir o lado a em dois lados m e n: Assim formamos mais dois triângulos retângulos: ABH e AHC. Nesses novos triângulos podemos observar as seguintes relações: DESENHO GEOMÉTRICO 1º ANO - ENSINO MÉDIO

9 h m. n c m. a b n. a b. c a. h Exemplo Calcular os catetos de um triângulo retângulo, sabendo que as suas projeções sobre a hipotenusa medem cm e 3 cm. a m n 3 a 5cm b n. a b 15 b 15cm c m. a c 10 c 10cm Exercícios propostos 1- Num triângulo retângulo, os catetos medem 6 cm e 8 cm. Determine a medida: a) Das projeções ortogonais de cada cateto sobre a hipotenusa. b) Da altura relativa à hipotenusa c) Da hipotenusa - Num triângulo retângulo, a hipotenusa mede 10 e os catetos medem 5 e 4 5. Calcule a altura correspondente à hipotenusa. 3- Determine, num triângulo retângulo de catetos com medidas iguais a 3 e 4, a medida da hipotenusa e a altura relativa à hipotenusa. 4- Em um triângulo retângulo ABC, a altura relativa à hipotenusa BC divide-a em dois segmentos que medem 3 cm e 1 cm. Calcule a área desse triângulo. 5- Em um triângulo retângulo ABC, o cateto AB mede 5 cm e a altura relativa à hipotenusa BC mede 5m. Calcule a medida do cateto AC. 1.4 Nomenclatura dos catetos Os catetos recebem nomes especiais de acordo com a sua posição em relação ao ângulo sob análise. Se estivermos operando com o ângulo C, então o lado oposto, indicado por c, é o DESENHO GEOMÉTRICO 1º ANO - ENSINO MÉDIO

10 cateto oposto ao ângulo C e o lado adjacente ao ângulo C, indicado por b, é o cateto adjacente ao ângulo C. ÂNGULO LADO OPOSTO LADO ADJACENTE C c cateto oposto b cateto adjacente B b cateto oposto c cateto adjacente 1.5 Razões trigonométricas no triângulo retângulo Num triângulo retângulo, podemos estabelecer razões entre as medidas dos seus lados: catetos (que formam o ângulo reto) e hipotenusa (que se opõe ao ângulo reto). Dado o triângulo retângulo ABC abaixo: Podemos definir as seguintes razões trigonométricas: Seno de um ângulo: é a razão entre a medida do cateto oposto a esse ângulo e da hipotenusa. Cosseno de um ângulo: é a razão entre a medida do cateto adjacente a esse ângulo e da hipotenusa. Tangente de um ângulo: é a razão entre a medida do cateto oposto e do cateto adjacente a esse ângulo. Exemplo de aplicação: Calcule o seno, o cosseno e a tangente dos ângulos Bˆ e Ĉ no triângulo retângulo abaixo: DESENHO GEOMÉTRICO 1º ANO - ENSINO MÉDIO

11 9 3 sen Bˆ 15 5 ˆ 1 4 cos B 15 5 ˆ 9 3 tg B sen Cˆ 15 5 ˆ 9 3 cos C 15 5 ˆ 1 4 tg B 9 3 Valores importantes de seno, cosseno e tangente Seno Cosseno Tangente Exercícios propostos 6- Dado o triângulo retângulo abaixo: DESENHO GEOMÉTRICO 1º ANO - ENSINO MÉDIO

12 E sabendo que o lado AB mede 8 cm e o lado AC mede 6cm, calcule seno, cosseno e tangente dos ângulos B e C. 7- Determine o seno, o cosseno e a tangente dos ângulos agudos de um triângulo retângulo cujos catetos medem m e 4 m. 8- Determine o seno, o cosseno e a tangente dos ângulos agudos de um triângulo retângulo cujos catetos medem 6 cm e 4 cm. 9- Se o seno e o cosseno de um ângulo de um triângulo retângulo são iguais; quanto mede a tangente do ângulo? 30- Uma escada de 10m é apoiada em um muro, formando com o chão um ângulo de 0º. Calcule a altura do muro, sabendo que 0º 0, 34 sen. 31- Um caminhão sobe uma rampa inclinada de 10º em relação ao plano horizontal. Se a rampa tem 30 m de comprimento, a quantos metros o caminhão se eleva, verticalmente, após percorrer toda a rampa? (Dados 10º 0, 17 sen ; cos10º 0, 98 e tg 10º 0, 18) 3- Calcule o perímetro do triângulo retângulo ABC da figura, sabendo que o segmento BC é igual a 10m e cos Calcule o valor numérico da expressão:. 30º 3. tg45º 4.cos 60º sen. 34- Um triângulo retângulo tem um ângulo medindo 30º. Se a hipotenusa desse triângulo mede 8 cm, calcule as medidas dos catetos desse triângulo. DESENHO GEOMÉTRICO 1º ANO - ENSINO MÉDIO

13 35- Calcular os catetos de um triângulo retângulo cuja hipotenusa mede 6 cm e um dos ângulos mede 60º. 36- Uma escada apoiada em uma parede, num ponto distante 4m do solo, forma com essa parede um ângulo de 60º. Qual é o comprimento da escada em metros? 37- Uma escada rolante liga dois andares de um shopping e tem uma inclinação de 30º. Sabendo-se que a escada rolante tem 1 metros de comprimento, calcule a altura de um andar para o outro. 38- Um cabo de aço está amarrado no topo de um poste. Ele se encontra preso ao chão a 5 m do pé do poste, formando com o poste um ângulo de 30º. Qual é o comprimento do cabo de aço? Qual é a altura do poste? 39- Um navio avista a torre de um farol segundo um ângulo de 30º. Sabendo que a altura do farol é de 7 m, determine a distância do navio ao farol. (Despreze a altura do navio). 40- Num campeonato de asa-delta, um participante se encontra a uma altura de 160 m e vê o ponto de chegada a um ângulo de 60º. Determine a distância aproximada em que ele está desse ponto de chegada. DESENHO GEOMÉTRICO 1º ANO - ENSINO MÉDIO

14 . Geometria Plana Os estudos iniciais sobre a Geometria Plana estão relacionados à Grécia Antiga, ela também pode ser denominada Geometria Euclidiana, em homenagem a Euclides de Alexandria, grande matemático educado na cidade de Atenas. Os princípios que levaram à elaboração da Geometria Plana eram baseados nos estudos do ponto, da reta e do plano. O ponto era considerado um elemento que não tinha definição plausível, a reta era definida como uma sequência infinita de pontos e o plano definido através da disposição de retas..1 Razão entre segmentos de retas Segmento de reta é o conjunto de todos os pontos de uma reta que estão limitados por dois pontos que são as extremidades dos segmentos, sendo um deles o ponto inicial e o outro o ponto final. Denotamos um segmento por duas letras quaisquer. A B Chamamos razão entre dois segmentos a razão ou quociente entre os números que expressam as medidas desses segmentos, tomados na mesma unidade. Exemplo: Consideremos os segmentos AB e CD, indicados: A B C D m(ab)=cm m(cd)=5 cm AB A razão entre os segmentos AB e CD, denotado aqui por, é definida como a razão entre CD as medidas desses segmentos, logo: AB CD 5.. Segmentos proporcionais Dizemos que quatro segmentos A B, C D, E F e G H, nessa ordem, são proporcionais, quando a razão entre os dois primeiros for igual à razão entre os dois últimos, ou seja: AB EF. CD GH Exemplo de aplicação DESENHO GEOMÉTRICO 1º ANO - ENSINO MÉDIO

15 Verifique se os seguintes segmentos formam, nessa ordem, uma proporção. AB 4cm, CD 6cm, EF 8cm e GH 1cm AB CD EF GH Logo, podemos afirmar que os segmentos, nessa ordem, são proporcionais. Exercícios propostos 41- O que é Geometria Plana? 4- Defina: a) Segmento de reta b) Razão entre segmentos de reta 43- O que são segmentos proporcionais? 44- Determine a razão entre os segmentos AB e CD que medem respectivamente: a) 3 cm e 5 cm b) 6 cm e 1 cm c) 1 cm e 7 cm d) 5 cm e 0 cm 45- Dados os seguintes segmentos: m( AB ) = 5 cm m( BC ) = 15 cm m( DE ) = 7 cm m( EF ) = 14 cm a) Determine: AB BC DE d) EF DESENHO GEOMÉTRICO 1º ANO - ENSINO MÉDIO

16 b) c) AB EF EF DE DE e) BC BC f) AB 46- Dados MN e PQ, cujas medidas são, respectivamente, 18 cm e cm, determinar a razão entre MN e PQ. 47- Observe a figura abaixo, onde mostra m( AB ) = m( BC ) = m ( CD ) = m( DE )=1cm cada um dos segmentos, e determine: A B C D E a) b) c) AB BD BE CD AB DE AC d) AE BE e) AD DE f) CE 48- Sabendo-se que AB, CD, EF e GH são proporcionais, nessa ordem, determine o valor de x nos seguintes casos: a) AB= 4 cm CD=X EF=1 cm GH= 9 cm b) AB= m CD=X EF= X GH= 8 m c) AB= X CD=4 dm EF=16 dm GH= X d) AB=15 cm CD=3 cm EF=X 3 GH= 1 cm e) AB= X + 1 CD=9 cm EF=5 cm GH= 3 cm f) AB= 5 m CD= X EF=X GH= 10 m 49- Responda às questões: a) A razão entre certo número e 6 é. Qual é esse número? b) A razão entre os segmentos AB e CD é igual a 7 3. Qual é a medida de AB, em mm, se CD 35cm? DESENHO GEOMÉTRICO 1º ANO - ENSINO MÉDIO

17 50- Calcule as medidas segmentos AB e BC nos seguintes casos: a) AB = e AC= 0 cm BC 3 a b A B C AB 5 b) = e AC=1 cm BC b A B C a AB c) = 1 e AC=30 cm BC a b A B C.3 Teorema de Tales Tales de Mileto foi um importante filósofo, astrônomo e matemático grego que viveu antes de Cristo. Ele usou seus conhecimentos sobre Geometria e proporcionalidade para determinar a altura de uma pirâmide. Em seus estudos, Tales observou que os raios solares que chegavam à Terra estavam na posição inclinada e eram paralelos, dessa forma, ele concluiu que havia uma proporcionalidade entre as medidas da sombra e da altura dos objetos. DESENHO GEOMÉTRICO 1º ANO - ENSINO MÉDIO

18 Feixe de retas paralelas: é o conjunto de três ou mais retas paralelas num plano. A reta que intercepta as retas do feixe é chamada de reta transversal. Teorema de Tales: um feixe de retas paralelas determina sobre duas transversais quaisquer, segmentos proporcionais. Na figura acima temos: AB A' B'. BC B' C' Exemplo de aplicação Determine o valor de x no seguinte feixe de retas paralelas: DESENHO GEOMÉTRICO 1º ANO - ENSINO MÉDIO

19 x 5 4 5x 8 x 8 5 Exercícios propostos 51- Enuncie o Teorema de Tales. 5- Calcule o valor de x na figura abaixo: 53- Aplicando o Teorema de Tales, calcule o valor de x: DESENHO GEOMÉTRICO 1º ANO - ENSINO MÉDIO

20 54- Determine o valor de x nos feixes de retas paralelas: 55- (FMU-SP) Calcule x e y: 56- (UNIBAN-SP) No feixe de paralelas a seguir, calcule as medidas de x e y: DESENHO GEOMÉTRICO 1º ANO - ENSINO MÉDIO

21 57- Aplicando a proporcionalidade do Teorema de Tales, determine o valor dos segmentos AB e BC na figura abaixo: 58- Determine o valor de x na figura abaixo: 59- Dois lotes estão representados na figura abaixo. Calculas as medidas de frente para a rua R de cada um dos terrenos, respectivamente. DESENHO GEOMÉTRICO 1º ANO - ENSINO MÉDIO

22 X+11 X R P 0 m 30 m 60- Considerando a figura abaixo: a) Determine AD, sabendo que DB=5 cm, EC=10 cm e AE=8 cm. b) Determine AD e DB, sabendo que AB=6 cm, AE=8 cm e EC=5 cm. c) Determine AD e DB, sabendo que AB=7 cm, AE=10 cm e AC=18 cm..4 Semelhança de triângulos As figuras geométricas são semelhantes se possuem exatamente a mesma forma, independentemente do seu tamanho. Dois triângulos são semelhantes se tiverem os ângulos iguais e os lados correspondentes proporcionais..5 Casos de semelhança de triângulos Os critérios de semelhança servem para provar que dois triângulos são semelhantes. 1º Caso (AA): Se dois triângulos possuem dois ângulos ordenadamente congruentes, eles são semelhantes. DESENHO GEOMÉTRICO 1º ANO - ENSINO MÉDIO - 016

23 A B A' B' ABC ~ A' B' C' º Caso (LAL): Se dois triângulos possuem dois lados correspondentes ordenados proporcionais e o ângulo compreendido entre esses lados congruentes, então os triângulos são semelhantes. A A' AB A' B' AC ' A' C' ABC ~ A' B' C' 3º Caso (LLL): Se dois triângulos possuem os três lados correspondentes ordenadamente proporcionais, então eles são semelhantes. AB BC A' B' B' C' AC ' A' C' ABC ~ A' B' C' DESENHO GEOMÉTRICO 1º ANO - ENSINO MÉDIO

24 Exemplo de aplicação Determine o valor de y no seguinte par de triângulos semelhantes: cm A 5cm A 4 cm Y B x C B C 4 y 5 y 0 y 10cm Exercícios propostos 61- Determine o valor de x e y nos seguintes pares de triângulos semelhantes: cm A 5cm A 4 cm Y B x C B C 3 cm A 7cm A 9 cm Y B x C B C DESENHO GEOMÉTRICO 1º ANO - ENSINO MÉDIO

25 6- Sabendo que a razão de semelhança entre dois polígonos é 3 4 e que o menor deles apresenta o lado BC medindo 30 cm, determinar a medida do lado correspondente a BC no maior polígono. 63- Reescreva as sentenças falsas corrigindo-as: a) Dois triângulos retângulos quaisquer são semelhantes. b) Dois triângulos equiláteros quaisquer nem sempre são semelhantes. c) Dois triângulos são semelhantes se, e somente se, os ângulos correspondentes são congruentes e os lados correspondentes são proporcionais. 64- A razão de semelhança entre dois triângulos equiláteros é 3. Sabendo-se que o perímetro do menor mede 18 cm, quanto mede os lados do triângulo maior? 65- Um triângulo tem seus lados medindo 10 cm, 1 cm e 15 cm, respectivamente. Determine as medidas dos lados de um outro triângulo, semelhante ao primeiro, sabendo que seu maior lado mede 7 cm. 66- As bases de dois triângulos isósceles semelhantes medem, respectivamente, 8 cm e 4 cm. A medida de cada lado congruente do primeiro triângulo é 10 cm. Nessas condições, calcule: a) a medida de cada lado congruente do segundo triângulo; b) os perímetros dos triângulos. 67- Na figura abaixo, o triângulo ABC é semelhante ao um triângulo DEF, de acordo com as indicações. Nessas condições, determine as medidas x e y indicadas: DESENHO GEOMÉTRICO 1º ANO - ENSINO MÉDIO

26 68- Uma régua de 1m de comprimento é fincada no solo na posição vertical e projeta uma sombra de 0,4m. No mesmo instante, um poste projeta uma sombra de,4m. Calcule a altura do poste. 69- Para medir a altura de um prédio, uma pessoa mediu a sombra desse prédio, obtendo 9m, e no mesmo instante, a sua própria sombra, obtendo 0,6m. Se essa pessoa tem 1,80m de altura, determine a altura do prédio. 70- Um mastro usado para hasteamento de bandeiras projeta uma sombra cujo comprimento é 6 m no mesmo instante em que uma barra vertical de 1,8 m de altura projeta uma sombra de 1,0 m de comprimento. Qual é a altura do mastro? 71- Uma ripa de madeira de 1,5 m de altura, quando colocada verticalmente em relação ao solo, projeta uma sombra de 0,5 m. No mesmo instante, uma torre projeta uma sombra de 15 m. Calcule a altura da torre. 7- Um edifício iluminado pelos raios solares projeta uma sombra de comprimento igual a 7 m. Simultaneamente, uma vara vertical de,5 m de altura, colocada ao lado do edifício, projeta uma sombra de comprimento 3 m. Calcule a altura do edifício. 73- Para medir a altura de um obelisco, uma pessoa fincou uma estaca de 50 cm perpendicularmente ao solo. Constatou que em um determinado horário a sombra da estaca era 15 cm e a do obelisco, 3 m. Qual o valor obtido? 74- Um estudante curioso e perspicaz deseja saber a altura de um prédio. Num dia ensolarado e munido de uma trena ele mediu o comprimento da sombra do prédio e o comprimento da própria sombra, obtendo os valores 0 m e 0,6 m, respectivamente. Sendo sua altura de 1,80 m, qual a altura do prédio? 75- (ENEM-1998) A sombra de uma pessoa que tem 1,80 m de altura mede 60 cm. No mesmo momento, a seu lado, a sombra projetada de um poste mede,00 m. Se, mais tarde, a sombra do poste diminui 50 cm, a sombra da pessoa passou a medir: a) 30 cm b) 45 cm c) 50 cm d) 80 cm e) 90 cm DESENHO GEOMÉTRICO 1º ANO - ENSINO MÉDIO

27 3. Polígonos 3.1 Definição e classificação Polígonos são figuras fechadas formadas por segmentos de reta, sendo caracterizados pelos seguintes elementos: ângulos, vértices, diagonais e lados. Podemos classificar os polígonos quanto ao seu número de lados: 3 lados triângulo 4 lados quadrilátero 5 lados pentágono 6 lados hexágono 7 lados heptágono 8 lados octógono 9 lados eneágono 10 lados decágono 11 lados undecágono 1 lados dodecágono TRIÂNGULO PARALELOGRAMO RETÂNGULO QUADRADO DESENHO GEOMÉTRICO 1º ANO - ENSINO MÉDIO

28 LOSANGO TRAPÉZIO PENTÁGONO HEXÁGONO HEPTÁGONO ENEÁGONO DECÁGONO 3. Polígonos convexos e não convexos Se os ângulos do polígono forem menores que 180º ele será convexo. DESENHO GEOMÉTRICO 1º ANO - ENSINO MÉDIO

29 Caso o polígono tenha um ângulo com medida maior que 180º ele será classificado como não convexo ou côncavo. 3.3Ângulos de um polígono A soma dos ângulos internos de qualquer polígono depende do número de lados (n), sendo usada a seguinte expressão para o cálculo: S ( n ).180º, onde n é o número de lados do polígono. 3.4 Diagonais de um polígono Diagonal de um polígono é o segmento de reta que liga um vértice ao outro, passando pelo interior da figura. O número de diagonais de um polígono depende do número de lados (n) e pode ser calculado pela expressão: d n.( n 3) Exemplo de aplicação Determine o número de diagonais de um polígono com 8 lados d d d d 8.( ) Exercícios propostos DESENHO GEOMÉTRICO 1º ANO - ENSINO MÉDIO

30 76- O que são polígonos? Dê três exemplos de polígonos. 77- Qual o nome do polígono que tem: a) 5 lados b) 10 lados c) 1 lados d) 0 lados 78- Determine o número de diagonais de um polígono com: a) 5 lados e) 6 lados b) 7 lados f) 9 lados c) 10 lados g) 1 lados d) 0 lados 79- Qual é o nome do polígono no qual a quantidade de diagonais é igual ao triplo do número de lados? 80- Em qual polígono regular convexo o número de lados é igual ao número de diagonais? 81- Determine a soma dos ângulos internos de um polígono com: a) 6 lados d) 7 lados b) 8 lados e) 10 lados c) 1 lados f) 0 lados 8- Qual é o polígono convexo em que a soma dos ângulos internos é 1080? 83- Calcule o número de lados em um polígono convexo no qual a soma das medidas dos ângulos internos é igual a 1800º. 84- (UNIBAN-SP) Em qual polígono o número de diagonais é o dobro do número de lados? 85- Quantos lados possui o polígono onde o número de lados corresponde a sexta parte dp número de diagonais? 3.5 Área de polígonos O cálculo da área é uma atividade cotidiana na vida de todos nós. Sempre nos vemos envolvidos em alguma situação que há a necessidade de se calcular a área de um polígono. DESENHO GEOMÉTRICO 1º ANO - ENSINO MÉDIO

31 Seja na aquisição de um terreno, na reforma de um imóvel ou na busca de reduzir custos de uma embalagem, o uso do conhecimento de cálculo se faz presente. Área do retângulo Sendo b e h as dimensões do retângulo, a área A é dada por: A b. h. Área do quadrado Sendo b e h as dimensões do quadrado, a área A é dada por: A b. h. Área do triângulo Sendo b e h as dimensões do triângulo, a área A é dada por: b.h A. No caso do triângulo equilátero (3 lados iguais), a área A é dada por: l 3 4. DESENHO GEOMÉTRICO 1º ANO - ENSINO MÉDIO

32 Área do paralelogramo Sendo b e h as dimensões do quadrado, a área A é dada por: A b. h. Área do losango Sendo b e h as dimensões do losango, e d 1 e d as diagonais do losango, a área A é dada por: d 1. d A. Área do trapézio Sendo B a base maior do trapézio, b a base menor e h a altura, a área A é dada por: A ( B b). h. Exemplos de aplicação Calcule a área de: a) Um retângulo de lados 5 cm e 8 cm DESENHO GEOMÉTRICO 1º ANO - ENSINO MÉDIO

33 A 5cm.8cm A 40cm b) Um trapézio de bases 7 cm e 4 cm e altura cm. (7 4). A 11. A A A 11cm Exercícios propostos 86- Calcule a área das seguintes figuras planas: a) Um quadrado de lado 6,cm b) Um retângulo de base 9,5cm e altura 6,8cm c) Um paralelogramo de base 5,8cm e altura 6,1cm d) Um losango de diagonais,3cm e 5,1cm e) Um trapézio de altura 3 cm e bases 5,7cm e 7,cm f) Um triângulo de base 8,1cm e altura 3,8cm 87- O perímetro de um triângulo equilátero é 30 cm. Calcule a área desse triângulo. 88- Um terreno tem a forma quadrada, de lado 30, m. Calcule a área desse terreno. 89- Determinar a medida da altura do retângulo de área 3cm e cuja medida da base é cm. 90- Qual é a área de um triângulo retângulo cuja hipotenusa mede 13 cm e um dos catetos mede 5 cm? 91- Qual é a área de um quadrado que tem 6 cm de diagonal? 9- Calcule a área de um retângulo, em que a base mede 34 cm e sua altura mede a metade da base. DESENHO GEOMÉTRICO 1º ANO - ENSINO MÉDIO

34 93- A região de uma cartolina é limitada por um paralelogramo que tem 15,4 cm de comprimento por 8,5 cm de largura. Qual a área dessa região? 94- Quantos metros de tecido, no mínimo, são necessários para fazer uma toalha para uma mesa que mede 300 cm de comprimento por 30 cm de largura? 95- Um hexágono regular tem 1 cm de lado. Determine a área desse hexágono. (Lembre-se: o hexágono regular é formado por 6 triângulos equiláteros de mesma área). 96- Um piso de cerâmica tem forma hexagonal regular. O lado do piso mede 8 cm. Qual é a área desse piso? 97- A área de um trapézio é medida da base menor? 39m. A base maior mede 17 m e a altura mede 3 m. Qual é a 98- Uma lajota retangular tem 30 cm por 0 cm. Qual é a área da lajota? Quantas lajotas são necessárias para cobrir o piso de uma garagem de 96m de área? 99- Determine a área de um retângulo, sabendo que tem 46 cm de perímetro e que o comprimento excede de 7 cm a largura Um terreno tem a forma de um trapézio de bases medindo 36m e 4m, com altura de 0m. Foi construído no local um galpão retangular de lados medindo 10,6m e 5,5m. No restante do terreno plantou-se grama. Qual a área do terreno que foi gramada? 101- A medida da base maior de um trapézio é o dobro da medida da base menor. Sabendo que a área do trapézio é base menor desse trapézio. 3dm e que a medida da altura é dm, calcule a medida da 10- Em um paralelogramo ABCD, o lado AB mede cm, a altura relativa ao lado BC mede 1,7cm e o perímetro é 1cm. Determina a área desse paralelogramo Um retângulo tem área igual a 40cm. Sua base é 3 cm maior que sua altura. Calcule a medida da altura desse retângulo Determine o valor da altura de um trapézio de bases 6,3cm e 11,7cm, sabendo que sua área vale 45cm (UFSC 011) Um ciclista costuma dar 30 voltas completas por dia no quarteirão quadrado onde mora, cuja área é de dia m. Calcule a distância que ele pedala por DESENHO GEOMÉTRICO 1º ANO - ENSINO MÉDIO

35 4. Circunferência e círculo 4.1 Definição Circunferência é o lugar geométrico dos pontos de um plano, que distam (raio) de um ponto fixo (centro). Círculo é o conjunto dos pontos internos de uma circunferência. O raio de uma circunferência ou círculo é definido como a distância do centro a um ponto qualquer da circunferência. O dobro do raio é chamado de diâmetro. 4. Comprimento da circunferência O cálculo do comprimento da circunferência (perímetro) foi obtido da seguinte forma: como todas as circunferências são semelhantes entre si, ou seja, todas pertencem ao mesmo centro foi concluído que a razão entre os comprimentos de qualquer circunferência pelo seu respectivo diâmetro será sempre uma mesma constante. DESENHO GEOMÉTRICO 1º ANO - ENSINO MÉDIO

36 E essa constante foi provada pelo matemático grego Arquimedes de Siracura que seria aproximadamente 3,14, e como esse valor não era exato foi estipulado que poderia ser representado pela letra do alfabeto grego, facilitando os cálculos. Sendo C o comprimento da circunferência, temos: circunferência. C.. r, onde r é o raio da 4.3 Área da circunferência Para calcularmos a área de uma circunferência utilizamos a seguinte fórmula: A.r Exemplo de aplicação Calcule o comprimento e a área de uma circunferência de raio 5 cm. Dado 3, 14. C C C.. r.3, ,4cm A. r A 3,14.5 A 78,5cm Exercícios propostos 106- Calcule o comprimento da circunferência nos seguintes casos: a) Raio igual a 10 cm b) Raio igual a 7,5cm c) Raio igual a 14,7cm d) Diâmetro igual a 18 cm e) Diâmetro igual a 11 cm f) Diâmetro igual a 13 cm 107- Com um fio de arame deseja-se construir uma circunferência de diâmetro 1 cm. Qual deve ser o comprimento do fio? 108- Determine o raio da circunferência cujo comprimento é 5m. DESENHO GEOMÉTRICO 1º ANO - ENSINO MÉDIO

37 109- O comprimento de uma circunferência é igual a 40,8cm. Calcule a medida aproximada do diâmetro dessa circunferência Uma roda gigante tem 8 metros de raio. Quanto percorrerá uma pessoa na roda gigante em 6 voltas? 111- Ronycleisson dá 8 voltas em torno de uma pista circular de diâmetro 8 m. Qual a distância percorrida por Ronycleisson? 11- Calcule a área da circunferência nos seguintes casos: a) Raio igual a 11 cm b) Raio igual a 8 cm c) Raio igual a 7,8 cm d) Raio igual a 13,6 cm e) Diâmetro igual a 14 cm f) Diâmetro igual a 17 cm g) Diâmetro igual a 13 cm 113- Num campo de futebol, o grande círculo tem 10 m de raio. Qual é a área do grande círculo? 114- O piso (fundo) de uma piscina circular tem,80 m de diâmetro (internamente). Qual é a área do piso dessa piscina? 115- Determine quantos metros quadrados de grama são necessários para preencher uma praça circular com raio medindo 0 metros Uma pizza de formato circular foi dividida em 8 pedaços iguais. Se a pizza tem 30 cm de diâmetro, qual é a área correspondente à superfície de cada uma das fatias? 117- (Unicamp-SP) Em um restaurante, qual família come mais pizza: aquela que pede uma grande de 43 cm de diâmetro ou aquela que pede duas médias de 30 cm de diâmetro? 118- Dadas as áreas, encontre a medida do raio de cada circunferência: a) b) 78,5cm 150,7cm DESENHO GEOMÉTRICO 1º ANO - ENSINO MÉDIO

38 119- Determine a área da região em destaque representada pela figura a seguir. Considerando que a região maior possui raio medindo 10 metros, e a região menor, raio medindo 3 metros. 10- Na Doceria dos Sonhos, a torta mede 30 centímetros de diâmetro e é vendida em dez pedaços iguais. A mesma torta na Doceria Verão é vendida em seis pedaços iguais e tem 4 centímetros de diâmetro. a) Quais são as áreas da face superior da torta nas suas docerias? (Considere 3, 14 ) b) Em qual das duas docerias a face superior do pedaço de torta é maior? c) Se o pedaço de torta na Doeria Verão custa 5 reais, quanto a outra doceria deve cobrar para ter o mesmo lucro que a Doceria Verão? DESENHO GEOMÉTRICO 1º ANO - ENSINO MÉDIO

39 5. Polígonos regulares 5.1 Definição Polígono regular é todo polígono convexo que tem todos os lados congruentes e os ângulos internos também congruentes. Triângulo equilátero Quadrado Pentágono regular 5.. Polígonos inscritos e circunscritos na circunferência Um polígono é dito inscrito em uma circunferência, se todos os seus vértices estão na circunferência. Os polígonos regulares podem sempre ser inscritos numa circunferência, o mesmo não acontecendo com os polígonos não regulares. Os triângulos são uma exceção a este fato, pois qualquer triângulo pode ser inscrito numa circunferência. Um polígono é dito circunscrito a uma circunferência, se os seus lados são tangentes à circunferência. DESENHO GEOMÉTRICO 1º ANO - ENSINO MÉDIO

40 O apótema de figuras planas é o segmento que vai do centro de um polígono regular até o ponto médio de um dos lados desse polígono, ou seja, o apótema corresponde ao raio da circunferência nele inscrita. 5.3 Quadrado inscrito na circunferência l r (lado do quadrado) r a (apótema do quadrado) 5.4 Triângulo equilátero inscrito na circunferência l r 3 (lado do triângulo equilátero) R a (apótema do triângulo equilátero) 5.5 Hexágono inscrito na circunferência DESENHO GEOMÉTRICO 1º ANO - ENSINO MÉDIO

41 a l r r 3 3l 3 A (lado do hexágono) (apótema do hexágono) (área do hexágono) Exemplos de aplicação 1- Um quadrado com circunferência. 16cm de área está inscrito numa circunferência. Calcule a área da l r 4 r A q 16 l 4cm 4 r r - Um hexágono regular está inscrito numa circunferência de raio 3 cm. Calcule: A A A c c c. r. 8cm a) O lado do hexágono l l r 3cm b) A área do hexágono DESENHO GEOMÉTRICO 1º ANO - ENSINO MÉDIO

42 A A A 3l 3 3.(3) cm Exercícios propostos 11- Defina: a) Polígono regular b) Apótema 1- Classifique em verdadeiro ou falso: a) Todos os polígonos podem ser inscritos em uma circunferência. b) Todos os polígonos regulares podem ser inscritos em uma circunferência. c) Podemos decompor qualquer polígono regular em triângulos equiláteros. 13- Numa circunferência de 10 cm de raio, calcule as medidas do lado e do apótema de um: a) triângulo equilátero inscrito; b) quadrado inscrito; c) hexágono regular inscrito. 14- Consideremos uma circunferência de raio 0 cm. Nessas condições, calcule as medidas: a) do lado e do apótema do quadrado inscrito; b) do lado e do apótema do triângulo equilátero inscrito; c) do lado e do apótema do hexágono regular inscrito. 15- Uma circunferência tem 40 cm de raio. Nessas condições, determine a medida do lado e do apótema de cada um dos seguintes polígonos regulares inscritos nessa circunferência: a) quadrado DESENHO GEOMÉTRICO 1º ANO - ENSINO MÉDIO

43 b) hexágono regular c) triângulo equilátero 16- O lado de um hexágono regular inscrito em uma circunferência mede 4 cm. Calcule: a) O raio da circunferência b) O apótema do hexágono c) A área do hexágono 17- Calcule o lado de um triângulo equilátero inscrito numa circunferência com 3 cm de raio. 18- Qual é a medida do lado e do apótema de um quadrado inscrito em uma circunferência de 6 cm de raio? 19- Uma circunferência tem 1 cm de raio. Calcule a medida do lado do quadrado e do triângulo equilátero inscritos nessa circunferência O apótema de um hexágono regular é igual à altura de um triângulo equilátero, cujo lado mede 4 cm. Calcule a área do hexágono Um triângulo equilátero de lado 5 cm está inscrito numa circunferência. Qual é a medida do diâmetro dessa circunferência? 13- Um triângulo equilátero de lado cm está inscrito numa circunferência de raio r. Determine a medida do diâmetro dessa circunferência (Mack-SP) O lado de um triângulo equilátero inscrito numa circunferência mede 6cm. Determine a medida do raio da circunferência Um quadrado está inscrito numa circunferência de raio 4 cm. Nessas condições, determine: a) A medida do lado do quadrado b) A medida do apótema do quadrado c) O perímetro do quadrado d) A área do quadrado 135- (PUC-MG) Se o apótema de um hexágono regular mede 6 cm, qual é a medida do perímetro desse hexágono? DESENHO GEOMÉTRICO 1º ANO - ENSINO MÉDIO

44 136- Determine a razão entre o apótema de um quadrado e o lado de um triângulo equilátero, ambos inscritos numa circunferência de raio igual a 6 cm Um triângulo equilátero está escrito numa circunferência de raio 60 3cm. Determine: a) a medida do lado do triângulo b) a medida do apótema do triângulo 138- Um quadrado cujo lado mede 16 cm está inscrito numa circunferência. Determine o raio dessa circunferência O comprimento de uma circunferência é 30 cm. Qual é a área do quadrado inscrito nessa circunferência? 140- Sabendo que o apótema de um triângulo equilátero inscrito em uma circunferência de raio r mede 15 cm, determine: a) O comprimento do raio b) A medida do lado do triângulo, fazendo 3 1, 73. DESENHO GEOMÉTRICO 1º ANO - ENSINO MÉDIO

45 Referências Bibliográficas: ANDRINI, Álvaro. VASCONCELOS, Maria José. Novo Praticando Matemática. São Paulo: Editora do Brasil, 00. DANTE,Luiz Roberto. Contexto & Aplicações: ensino médio: volume único. São Paulo: Editora Ática, 001 GIOVANNI, José Ruy. BONJORNO, José Roberto. GIOVANNI JR., José Ruy. Matemática Fundamental : uma nova abordagem: ensino médio: volume único. São Paulo: FTD, 00. DESENHO GEOMÉTRICO 1º ANO - ENSINO MÉDIO

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