MATEMÁTICA. 3 ΔBHG ΔAFG(L.A.A o ) AG BG e HG = GF 2 3 K. No ΔGBH : GH 2 GH

Transcrição

1 MATEMÁTICA Prof. Favalessa 1. Em um aparelho experimental, um feixe laser emitido no ponto P reflete internamente três vezes e chega ao ponto Q, percorrendo o trajeto PFGHQ. Na figura abaixo, considere que o comprimento do segmento PB é de 6 cm, o do lado AB é de cm, o polígono ABPQ é um retângulo e os ângulos de incidência e reflexão são congruentes, como se indica em cada ponto da reflexão interna. Qual é a distância total percorrida pelo feixe luminoso no trajeto PFGHQ? a) 1 cm. b) 15 cm. c) 16 cm. d) 18 cm. Resposta:[B] ΔHPQ ΔFQP(L.A.A o ) HP FQ K e PF HQ ΔBHG ΔAFG(L.A.A o ) AG BG e HG = GF ΔAGF~ ΔQPF 6 K K K 4 5 No ΔGBH : GH GH No Δ HPQ: HQ 4 HQ 5 Logo, a distância total percorrida pelo feixe luminoso no trajeto PFGHQ é PF + FG + GH + HQ = 5 + 5/ + 5/ + 5 = 15 cm.. Um instrumento musical é formado por 6 cordas paralelas de comprimentos diferentes as quais estão fixadas em duas hastes retas, sendo que uma delas está perpendicular às cordas. O comprimento da maior corda é de 50 cm, e o da menor é de 0 cm. Sabendo que a haste não perpendicular às cordas possui 5 cm de comprimento da primeira à última corda, se todas as cordas são equidistantes, a distância entre duas cordas seguidas, em centímetros, é a) 1. b) 1,5. c). d),5. e). Resposta: [E] 5 = 0 + (5x) 65 = x 5x = 5 x = 9 x =. As medidas dos lados de um triângulo retângulo formam uma PA. Se x é a medida do menor ângulo interno desse triângulo, o valor de tg x é: a) 0,6 b) 0,5 c) 0,8 d) 0,45 e) 0,75 Resposta: [E] Sejam r, e r os lados do triângulo, em que e r são reais positivos. Pelo Teorema de Pitágoras, obtemos ( r) ( r) r r r r 4r 4r. 1

2 Sabendo que o menor ângulo interno do triângulo é oposto ao menor lado, vem r 4r r tgx 0,75. 4r 4 4. A respeito das diagonais de um hexágono regular de lado medindo 1 cm, é correto afirmar-se que a) são nove, de três comprimentos diferentes, e as menores medem cm. b) são nove, de dois comprimentos diferentes, e as maiores medem cm. c) são nove, de dois comprimentos diferentes, e as menores medem cm. d) são doze, de três comprimentos diferentes, e as maiores medem cm. e) são doze, de dois comprimentos diferentes, e as menores medem cm. Resposta: [C] Número de diagonais: d = 6.(6 ) 9. Medida das diagonais maiores: = cm. Medida das diagonais menores: x. Na figura: x + 1 = x = são nove, de dois comprimentos diferentes, e as menores medem cm. 5. Brincando de dobraduras, Renan usou uma folha retangular de dimensões 0 cm por 1cm e dobrou conforme o procedimento abaixo descrito. 1º) Tracejou na metade da folha e marcou o ponto M º) Dobrou a folha movendo os pontos A e B para o ponto E º) Em seguida, dobrou a folha movendo os pontos C e D para F e G, respectivamente.

3 4º) Marcou os pontos N, O, P, Q, R na figura resultante. Segundo esses procedimentos, pode-se afirmar que a medida do segmento MR, em centímetros, é igual a a) 6 b) 6 c) 9 d) 9 Resposta: [D] O Δ MEN é isósceles, logo ENM ˆ 45. QRM ˆ ENM ˆ 45 (ângulos correspondentes) e MQ = QR = 15 6 = 9. Logo, o segmento MR = MR A figura mostra um quadrado, dois círculos claros de raios R e dois círculos escuros de raios r, tangentes entre si e aos lados do quadrado. A razão entre R e r é igual a: a) b) c) d) e) 5 Resposta: C Observando a figura, podemos escrever que R r R R r R.R.r r R 4R 4Rr r 4R 6.Rr 0 R R 0(não convém) ou r

4 7. Duas vilas da zona rural de um município localizam-se na mesma margem de um trecho retilíneo de um rio. Devido a problemas de abastecimento de água, os moradores fizeram várias reivindicações à prefeitura, solicitando a construção de uma estação de bombeamento de água para sanar esses problemas. Um desenho do projeto, proposto pela prefeitura para a construção da estação, está mostrado na figura a seguir. No projeto, estão destacados: Os pontos R 1 e R, representando os reservatórios de água de cada vila, e as distâncias desses reservatórios ao rio. Os pontos A e B, localizados na margem do rio, respectivamente, mais próximos dos reservatórios R 1 e R. O ponto S, localizado na margem do rio, entre os pontos A e B, onde deverá ser construída a estação de bombeamento. Com base nesses dados, para que a estação de bombeamento fique a uma mesma distância dos dois reservatórios de água das vilas, a distância entre os pontos A e S deverá ser de: a).775 m b).85 m c).875 m d).95 m e).975 m Resposta: [C] d x 1 e d x 4 4 Logo, 8x 1 x,875 x 1 x Uma pessoa caminhou 5 km para o norte, 5 km para o leste e 7 km para o norte, novamente. A que distância ela está do seu ponto de partida? a) 5 km b) 1 km c) 0 km d) 7 km Resposta: [B] 9. A soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180º. A soma das medidas dos ângulos internos de um hexágono é: a) 180º b) 60º c) 540º d) 70º e) 900º Resposta: [D] O hexágono poderá ser dividido em quatro triângulos, utilizando as diagonais de um mesmo vértice. Logo, a soma de seus ângulos internos será: S = o = 70 o 4

5 10. O quadrado ABCD da figura abaixo tem lado igual a 9 cm. Seus lados foram divididos em 9 partes iguais e, pelos pontos de divisão, traçaram-se paralelas à diagonal AC. A soma dos comprimentos dessas paralelas incluindo AC é: a) 90 cm b) 7 cm c) 81 cm d) 80 cm e) 86 cm Resposta: [C] Logo, a soma pedida será S = Sejam P e Q polígonos regulares. Se P é um hexágono e se o número de diagonais do Q, partindo de um vértice, é igual ao número total de diagonais de P então a medida de cada um dos ângulos internos de Q é a) 144 graus. b) 150 graus. c) 156 graus. d) 16 graus. Resposta:[B] 6.(6 ) Diagonais de P: 9 180(1 Ângulo interno de Q: 1 ) Lados de Q: n = 9 n = 1 = 150 graus 1. Na figura ao lado, o pentágono ABCDE, inscrito no círculo, é regular. A soma das medidas dos ângulos a, b, c, d e e, indicados na figura, é a) 150. b) 180. c) 70. d) 60. e) 450. Resposta: B 1. Tome uma folha de papel em forma de quadrado de lado igual a 1 cm e nomeie os seus vértices A, B, C, D, conforme a Figura 1. A seguir, dobre-a, de maneira que o vértice D fique sobre o "lado" AB (Figura ). Seja D' esta nova posição do vértice D e x a distância de A a D'. A função que expressa a área do triângulo retângulo sombreado em função de x é: a) A = c) A = x 441x 4 x 441x 84 Resposta: [C] b) A = d) A = x 441x x 84 e) A = 441 x 4 5

6 14. Se olharmos ao redor, perceberemos como o mundo evoluiu a partir do século XVIII e início do XIX, com a Revolução Industrial. O advento da máquina, em suas variadas formas, alargou os horizontes do homem, proporcionando novos recursos para o desenvolvimento urbano e industrial, desde as descobertas de fontes de energia até a expansão de mercados e de territórios dentro e fora da Europa. A máquina a vapor foi constantemente aperfeiçoada durante a Revolução Industrial, constituindo fator fundamental para o progresso da indústria e dos meios de transporte. Posteriormente, surgiram máquinas com motores de combustão interna que utilizam o mecanismo chamado "bielamanivela" - tal mecanismo transforma o movimento de rotação de uma polia em movimento de translação de um pistão (vaivém) ou vice-versa. Observe as duas configurações distintas desse mecanismo representadas a seguir: Sendo r o raio da polia, OQ 1 =OQ =r e Q 1 P 1 =Q P, conclui-se que, em (II), a distância entre P 1 e P é: a) r d) r e) r Resposta: [D] b) r c) (r ) 15. Na construção civil, é muito comum a utilização de ladrilhos ou azulejos com a forma de polígonos para o revestimento de pisos ou paredes. Entretanto, não são todas as combinações de polígonos que se prestam a pavimentar uma superfície plana, sem que haja falhas ou superposições de ladrilhos, como ilustram as figuras: A tabela traz uma relação de alguns polígonos regulares, com as respectivas medidas de seus ângulos internos. Nome Triângulo Quadrado Pentágono Figura Ângulo interno Nome Hexágono Octágono Eneágono Figura Ângulo interno Se um arquiteto deseja utilizar uma combinação de dois tipos diferentes de ladrilhos entre os polígonos da tabela, sendo um deles octogonal, o outro tipo escolhido deverá ter a forma de um a) triângulo. b) quadrado. c) pentágono. d) hexágono. e) eneágono. 6

7 Resposta: [B] Cada ângulo interno do octógono regular mede 15 e cada ângulo interno do quadrado mede 90. Somando = 60. Portanto, o polígono pedido é o quadrado. 16. A área máxima que pode ter um triângulo isósceles cujos lados iguais medem 10 cm é: a) 50 b) 70 c) 5 d) 57 e) 5 Resposta: [A] 17. Origami é a arte japonesa das dobraduras de papel. Observe as figuras anteriores, onde estão descritos os passos iniciais para se fazer um passarinho: comece marcando uma das diagonais de uma folha de papel quadrada. Em seguida, faça coincidir os lados AD e CD sobre a diagonal marcada, de modo que os vértices A e C se encontrem. Considerando-se o quadrilátero BEDF da fig., pode-se concluir que o ângulo BED mede: a) 100 b) 11 0' c) 115 d) 15 0' e) 15 Resposta: [B] 18. Na figura a seguir determine o ângulo que é oposto ao lado de menor comprimento. Resposta: Um quadrado tem dois vértices numa circunferência e um lado tangente a ela, como mostra a figura a seguir. Se a área do quadrado é de 6 cm, o raio da circunferência é, em centímetros, a),5 b),75 c),5 d),5 e),75 Resposta: [E] 7