Lei dos Senos e dos Cossenos

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1 Lei dos Senos e dos Cossenos 1. (G1 - cftrj 014) Considerando que ABC é um triângulo tal que AC 4 cm, BC 1 cm e Â 60, calcule os possíveis valores para a medida do lado AB.. (Ufpr 014) Dois navios deixam um porto ao mesmo tempo. O primeiro viaja a uma velocidade de 16 km/h em um curso de 45 em relação ao norte, no sentido horário. O segundo viaja a uma velocidade 6 km/h em um curso de 105 em relação ao norte, também no sentido horário. Após uma hora de viagem, a que distância se encontrarão separados os navios, supondo que eles tenham mantido o mesmo curso e velocidade desde que deixaram o porto? a) 10 km. b) 14 km. c) 15 km. d) 17 km. e) km.. (G1 - ifsp 014) A base de um triângulo isósceles mede cm e o ângulo oposto à base mede 10. A medida dos lados congruentes desse triângulo, em centímetros, é a). b). c). d) 1. e). 4. (Unicamp 01) Na figura abaixo, ABC e BDE são triângulos isósceles semelhantes de bases a e a, respectivamente, e o ângulo CAB ˆ 0. Portanto, o comprimento do segmento CE é: a) b) c) 5 a 8 a 7 a d) a Página 1 de 5

2 5. (Ufsm 01) A caminhada é uma das atividades físicas que, quando realizada com frequência, torna-se eficaz na prevenção de doenças crônicas e na melhora da qualidade de vida. Para a prática de uma caminhada, uma pessoa sai do ponto A, passa pelos pontos B e C e retorna ao ponto A, conforme trajeto indicado na figura. Quantos quilômetros ela terá caminhado, se percorrer todo o trajeto? a),9. b),. c),16. d),50. e) 4, (Ufrgs 01) Os lados de um losango medem 4 e um dos seus ângulos 0. A medida da diagonal menor do losango é a). b). c) 4. d). e) (Epcar (Afa) 01) Um triângulo é tal que as medidas de seus ângulos internos constituem uma progressão aritmética e as medidas de seus lados constituem uma progressão geométrica. Dessa maneira, esse triângulo NÃO é a) acutângulo. b) equilátero. c) obtusângulo. d) isósceles. 8. (Unicamp 01) Um satélite orbita a km da superfície da Terra. A figura abaixo representa uma seção plana que inclui o satélite, o centro da Terra e o arco de circunferência AB. Nos pontos desse arco, o sinal do satélite pode ser captado. Responda às questões abaixo, considerando que o raio da Terra também mede km. a) Qual o comprimento do arco AB indicado na figura? b) Suponha que o ponto C da figura seja tal que cos( θ) / 4. Determine a distância d entre o ponto C e o satélite. Página de 5

3 9. (Unesp 01) Um professor de geografia forneceu a seus alunos um mapa do estado de São Paulo, que informava que as distâncias aproximadas em linha reta entre os pontos que representam as cidades de São Paulo e Campinas e entre os pontos que representam as cidades de São Paulo e Guaratinguetá eram, respectivamente, 80km e 160km. Um dos alunos observou, então, que as distâncias em linha reta entre os pontos que representam as cidades de São Paulo, Campinas e Sorocaba formavam um triângulo equilátero. Já um outro aluno notou que as distâncias em linha reta entre os pontos que representam as cidades de São Paulo, Guaratinguetá e Campinas formavam um triângulo retângulo, conforme mostra o mapa. Com essas informações, os alunos determinaram que a distância em linha reta entre os pontos que representam as cidades de Guaratinguetá e Sorocaba, em km, é próxima de a) 80 5 b) 80 5 c) 80 6 d) 80 5 e) (Uepb 01) A diagonal menor de um paralelogramo divide um de seus ângulos internos em dois outros. Um β e o outro. β A razão entre o maior e o menor lado do paralelogramo é a) senβ 1 b) cosβ c) cosβ 1 d) senβ e) tgβ Página de 5

4 11. (Uftm 01) Na figura, AEFG é um quadrado, e BD divide o ângulo ˆ ABC ao meio. Sendo CD cm, o lado do quadrado AEFG, em centímetros, mede a) 1. b) 1. c) 6( 1). 5 d) 4( 1). e) ( 1). 1. (Ufjf 01) Uma praça circular de raio R foi construída a partir da planta a seguir: Os segmentos AB, BC e CA simbolizam ciclovias construídas no interior da praça, sendo que AB 80 m. De acordo com a planta e as informações dadas, é CORRETO afirmar que a medida de R é igual a: a) 160 m b) 80 m c) 16 m d) 8 m e) m Página 4 de 5

5 1. (Ufg 01) Observe a figura a seguir, em que estão indicadas as medidas dos lados do triângulo maior e alguns dos ângulos. O seno do ângulo indicado por α na figura vale: a) 4 10 b) 4 10 c) 4 10 d) 4 10 e) (Uem 01) Sejam A, B e C os vértices de um triângulo retângulo, sendo Â o ângulo reto e AC medindo o triplo de AB. Considerando agora os pontos D e E no segmento AC, de modo que AD = DE = EC, e F sendo o ponto médio do segmento BC, assinale o que for correto ) cos(b) = 10. 0) Os triângulos BDC e FEC são congruentes. 04) sen(bdc) =. 08) Os triângulos EDF e BDF são semelhantes. 16) cos(efc) = Página 5 de 5

6 15. (Unesp 01) No dia 11 de março de 011, o Japão foi sacudido por terremoto com intensidade de 8,9 na Escala Richter, com o epicentro no Oceano Pacífico, a 60 km de Tóquio, seguido de tsunami. A cidade de Sendai, a 0 km a nordeste de Tóquio, foi atingida pela primeira onda do tsunami após 1 minutos. (O Estado de S.Paulo, Adaptado.) Baseando-se nos dados fornecidos e sabendo que cos 0,94, onde é o ângulo 8 Epicentro-Tóquio-Sendai, e que 9, , a velocidade média, em km/h, com que a 1ª onda do tsunami atingiu até a cidade de Sendai foi de: a) 10. b) 50. c) 100. d) 50. e) (Unicamp 01) Um topógrafo deseja calcular a distância entre pontos situados à margem de um riacho, como mostra a figura a seguir. O topógrafo determinou as distâncias mostradas na figura, bem como os ângulos especificados na tabela abaixo, obtidos com a ajuda de um teodolito. Visada Ângulo ^ A CB π 6 ^ BCD π ^ ABC π 6 a) Calcule a distância entre A e B. b) Calcule a distância entre B e D. Página 6 de 5

7 17. (Fgv 01) a) Determine o perímetro do triângulo na forma decimal aproximada, até os décimos. Se quiser, use algum destes dados: 5 15 ; ; b) Um aluno tinha de fazer um cartaz triangular, em cartolina. Decidiu construir o triângulo com as seguintes medidas dos lados: 6 cm, 8 cm, e 16 cm. Ele conseguirá fazer o cartaz? Por quê? 18. (Uftm 01) Na figura estão posicionadas as cidades vizinhas A, B e C, que são ligadas por estradas em linha reta. Sabe-se que, seguindo por essas estradas, a distância entre A e C é de 4 km, e entre A e B é de 6 km. Nesse caso, pode-se concluir que a distância, em km, entre B e C é igual a a) b) c) 1. d) e) (Pucrj 01) Seja um hexágono regular ABCDEF. A razão entre os comprimentos dos segmentos AC e AB é igual a: a) b) c) 1 5 d) e) Página 7 de 5

8 0. (Ufsm 011) A figura a seguir apresenta o delta do rio Jacuí, situado na região metropolitana de Porto Alegre. Nele se encontra o parque estadual Delta do Jacuí, importante parque de preservação ambiental. Sua proximidade com a região metropolitana torna-o suscetível aos impactos ambientais causados pela atividade humana. A distância do ponto B ao ponto C é de 8 km, o ângulo A mede 45 e o ângulo C mede 75. Uma maneira de estimar quanto do Delta do Jacuí está sob influência do meio urbano é dada pela distância do ponto A ao ponto C. Essa distância, em km, é a) 8 6 b) 4 6 c) 8 d) 8( ) e) 6 1. (G1 - cftmg 011) Um grupo de escoteiros pretende escalar uma montanha ate o topo, representado na figura abaixo pelo ponto D, visto sob ângulos de 40 do acampamento B e de 60 do acampamento A. Dado: sen 0º 0,4 Considerando que o percurso de 160 m entre A e B e realizado segundo um angulo de 0 em relação a base da montanha, então, a distância entre B e D, em m, e de, aproximadamente, a) 190. b) 4. c) 60. d) 0. Página 8 de 5

9 . (Unesp 011) Uma pessoa se encontra no ponto A de uma planície, às margens de um rio e vê, do outro lado do rio, o topo do mastro de uma bandeira, ponto B. Com o objetivo de determinar a altura h do mastro, ela anda, em linha reta, 50 m para a direita do ponto em que se encontrava e marca o ponto C. Sendo D o pé do mastro, avalia que os ângulos BÂC e valem 0, e o vale 105, como mostra a figura: a) 1,5. b) 1,5. c) 5,0. d) 5,0. e) 5,0.. (Ita 011) Num triângulo AOB o ângulo AÔB mede 15 e os lados AB e OB medem cm e cm, respectivamente. A circunferência de centro em O e raio igual a medida de OB intercepta AB no ponto C ( B). a) Mostre que mede 15. b) Calcule o comprimento de AC 4. (G1 - epcar (Cpcar) 011) Considere o octógono regular ABCDEFG inscrito numa circunferência λ de raio R Se esse mesmo octógono circunscreve uma circunferência á de raio r, então a razão entre os quadrados dos comprimentos das circunferências λ e α é, nessa ordem, igual a a) b) c) d) 5. (Fuvest 011) No losango ABCD de lado 1, representado na figura, tem-se que M é o ponto médio de AB, N é o ponto médio de BC e MN 14.Então, DM é igual a 4 a) 4 b) c) d) e) 5 Página 9 de 5

10 6. (G1 - ifal 011) Num paralelogramo, cada ângulo agudo mede 0 e os lados que formam cada um desses ângulos medem cm e 5 cm. Calcule a medida da menor das diagonais desse paralelogramo. a) 6 cm b) cm c) cm d) 7 cm e) 15 cm 7. (Ufpb 011) Para explorar o potencial turístico de uma cidade, conhecida por suas belas paisagens montanhosas, o governo pretende construir um teleférico, ligando o terminal de transportes coletivos ao pico de um morro, conforme a figura a seguir. Para a construção do teleférico, há duas possibilidades: o ponto de partida ficar localizado no terminal de transportes coletivos (ponto A), com uma parada intermediária (ponto B), e o ponto de chegada localizado no pico do morro (ponto C); o ponto de partida ficar localizado no ponto A e o de chegada localizado no ponto C, sem parada intermediária. Supondo que AB 00 m, BC 00 m, BÂP = 0º e CBN ˆ 50, é correto afirmar que a distância entre os pontos A e C é de: a) 700 m b) 70 m c) 704 m d) 706 m e) 708 m Página 10 de 5

11 Gabarito: Resposta da questão 1: Aplicando o teorema dos cossenos no triângulo ABC, temos: 1 4 x 4 x cos x 8x x 4x 0 Resolvendo a equação do segundo grau, temos x = 1 ou x =. Resposta: 1 cm ou cm. Resposta da questão : [B] Depois de uma hora de viagem o navio 1 (N 1 ) terá percorrido 16 km e o navio (N ) terá percorrido 6 km. Temos, então, a seguinte figura: Sendo d a distância entre os navios, temos: Página 11 de 5

12 d cos 60 1 d d 196 d 14km Resposta da questão : [A] Aplicando o teorema dos cossenos, temos: x x x x cos x x 7 x x 9 x Logo, a medida dos lados congruentes desse triângulo, em centímetros, é cm. Página 1 de 5

13 Resposta da questão 4: [C] a a a No ΔCMB : cos0 x x x a a a No ΔENB : cos0 y y y CBE ˆ Aplicando o teorema dos cossenos no triângulo CBE, temos: CE x y.x.y.cos10 4a a a a 1 CE 5a a CE 7a CE CE a. 7 Resposta da questão 5: [D] Pela Lei dos Cossenos, obtemos: BC AC AB AC AB cosbac (0,8) 1 0,8 1cos150 0,64 1 0,8 1,64 0,8 1,7. Logo, BC 1,7 e, portanto, o resultado é 1 0,8 1,7,5. Página 1 de 5

14 Resposta da questão 6: [C] Considere a figura. Como AB AD 4 u.c. e BAD 0, pela Lei dos Cossenos, obtemos BD AB AD AB AD cosbad Portanto, BD 4 u.c. Resposta da questão 7: [C] Os ângulos internos deste triângulo poderão ser representados por x r, x, x + r. Somando x r + x + x + r = 180 x = 60. Escrevendo os lados em P.G., temos a seguinte figura: Aplicando, agora, o teorema dos cossenos no triângulo acima, temos: Página 14 de 5

15 a a 1 a a q a q q q Dividindo ambos os membros da equação por a, temos: 1 1 q 1 ( q ) q 4 q q 1 0 q 1 0 q 1 0 q 1 Logo, o triângulo é equilátero de lados a, a e a. E o triângulo equilátero jamais será obtusângulo. Resposta da questão 8: a) No triângulo assinalado: R é a medida do raio da terra. R 1 cosα α 60 R R Portanto, o arco AB mede 10 e seu comprimento será dado por: π R π π km. b) Aplicando o teorema dos cossenos no triângulo assinalado, temos: d R (R).R.R.cosθ d 5R 4.R.(/4) d.r d R d km Página 15 de 5

16 Resposta da questão 9: [B] Sejam S,P, G e C, respectivamente, os pontos que representam as cidades de Sorocaba, São Paulo, Guaratinguetá e Campinas. Sabendo que SPC 60 e CPG 90, vem SPG 150. Logo, aplicando a Lei dos Cossenos no triângulo SPG, encontramos SG SP PG SP PG cosspg cos (5 ) Portanto, SG 80 5 km. Resposta da questão 10: [C] Sejam x e y, respectivamente, as medidas do maior lado e do menor lado do paralelogramo. Desse modo, num dos triângulos determinado pela diagonal menor do paralelogramo, tem-se β oposto a x e β oposto a y. Assim, aplicando a Lei dos Senos, obtemos x y x senβcosβ senβ senβ y senβ x cos β. y Página 16 de 5

17 Resposta da questão 11: [E] Seja o lado do quadrado. Como AEFG é um quadrado, segue que o triângulo ABC é retângulo. Logo, ABC ˆ 60. Além disso, sabemos que BD é bissetriz de ABC ˆ e, portanto, ABD ˆ CBD ˆ 0. Daí, segue que BDC ˆ 10. Aplicando a Lei dos Senos no triângulo BCD, obtemos Assim, no triângulo ABC, temos que Por conseguinte, do triângulo BGF, vem BC CD BC BC 6cm. senbdc ˆ sencbd ˆ 1 ˆ AB cos ABC AB 6 cos60 cm. BC ˆ GF ( 1) tgabd cm. BG Resposta da questão 1: [B] Pela Lei dos Senos, segue que: AB R R R m. sen60 Resposta da questão 1: [A] Considere a figura, na qual AB 6, AC 10 e BC 8. Do triângulo retângulo ABD, obtemos Página 17 de 5

18 BD tgbad BD AB tg0 AB BD 6 BD. Além disso, pelo Teorema do Ângulo Externo, segue que ADC DAB ABD Portanto, pela Lei dos Senos, vem CD AC 8 10 sendac sen ADC sen sen10 Resposta da questão 14: = 05. Dados Iniciais 4 sen sen sen 5 4 sen. 10 (01) Verdadeiro. BC (AC) (AB) BC (x) (x) BC 10 x x 10 Logo, cosb 10x 10 (0) Falso. Dois triângulos são denominados congruentes quando têm a mesma forma e as mesmas dimensões. Logo, os triângulos BDC e FEC não são congruentes, pois não possuem o mesmo tamanho. (04) Verdadeiro. BC (BD) (DC) (BD)(DC)cos(BDC) 10x (x ) (x) (x )(x)cos(bdc) 10x x 4x 4 x cos(bdc) cosbdc senbdc Página 18 de 5

19 (08) Falso. Dois triângulos são denominados semelhantes se possuem seus três ângulos congruentes e seus lados proporcionais. Logo, os triângulos EDF e BDF não são semelhantes, (16) Falso. EC (EF) (FC) (EF)(FC)cos(EFC) x x 10 x x 10 x cos(efc) x 5x 1x x 5 cos(efc) 5 cosefc 5 Resposta da questão 15: [E] Considere a figura. Sabendo que ET 60km, ST 0km, cos 0,94 e que dos Cossenos, vem ES ET ST ET ST cos ES ,94 5 ES ,4 8 ES 000 9,4 ES ES ES 10km. 8 9, , pela Lei 1 Portanto, como 1min h, temos que a velocidade média pedida é dada por km h Página 19 de 5

20 Resposta da questão 16: a) No triângulo ABC assinalado, temos: 15 x x x x cos x x 5 x x 75 x 5 m b) No triângulo BDC, temos: y cos60 y y 175 y 5 7m Página 0 de 5

21 Resposta da questão 17: a) Calculando a medida x do lado que falta temos: x = cos60 x = 5 x = 1 x,6 (de acordo com as aproximações dadas) x 7, Portanto, o perímetro das figuras será dado por P = , = 1,. b) Não, pois 16 > (a medida do lado de um triângulo deve ser menor que a medida dos outros dois). Resposta da questão 18: [B] Aplicando a Lei dos Cossenos, obtemos BC AB AC AB AC cosbac 1 BC BC BC km. Resposta da questão 19: [D] AC a a aacos10 AC a Logo, AC a. AB a Página 1 de 5

22 Resposta da questão 0: [B] o o o o α= Aplicando o teorema dos senos, temos: AC 8 o sen60 sen45 AC. 8. AC 4 6 o Resposta da questão 1: [B] Aplicando o teorema dos senos no triângulo assinalado, temos: x 160 o sen150 0,4 o 0,4.x 160.sen150 0,4x 80 x,9 Aproximadamente 4m. Resposta da questão : [B] o No triângulo ABC ABC 45, aplicando o teorema dos senos, temos: 50 BC BC. 50 BC 5 o o sen45 sen0 No triângulo BDC, temos: o h 1 h sen0 h 1, Página de 5

23 Resposta da questão : a) Utilizando o teorema dos senos, temos: sen sen15 o sen Sabendo que = 15 o 6 o 15 o sen sen b) O triângulo ACB é isósceles logo AC = AB = cm., concluímos então que: Resposta da questão 4: [C] A razão entre os quadrados dos comprimentos das circunferências é igual a razão entre os quadrados dos raios. Observe a figura. Na figura, temos: No Δ OMB temos: x R r Aplicando agora o teorema dos cossenos no Δ OAB: Página de 5

24 o x R R.R.R.cos 45 4(R r ).R R. R ( ) 4.r R 4 r R r.( ) Resposta da questão 5: [B] Aplicando o teorema dos cossenos no triângulo BMN, temos: cos 4 Resolvendo, temos o cos e que cos ( 180 ) 4 4 Aplicando novamente o teorema dos cossenos no triângulo ADM, temos: 1 1 (AD) 1..1.cos 1 1 (AD) AD = AD = Página 4 de 5

25 Resposta da questão 6: [D] Aplicando o teorema dos cossenos, temos: d = 5 + ( ).5..cos0 o d = d = 5 45 d = 7 Resposta da questão 7: [A] Aplicando o teorema dos cossenos no triângulo assinalado, temos: AC AC AC AC 700m Página 5 de 5