Curso Wellington Matemática Trigonometria Lei dos Senos e Cossenos Prof Hilton Franco

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1 1. A figura a seguir apresenta o delta do rio Jacuí, situado na região metropolitana de Porto Alegre. Nele se encontra o parque estadual Delta do Jacuí, importante parque de preservação ambiental. Sua proximidade com a região metropolitana torna-o suscetível aos impactos ambientais causados pela atividade humana. A distância do ponto B ao ponto C é de 8 km, o ângulo µ A mede 45 e o ângulo µ C mede 75. Uma maneira de estimar quanto do Delta do Jacuí está sob influência do meio urbano é dada pela distância do ponto A ao ponto C. Essa distância, em km, é a) 8 6 b) 4 6 c) 8 + d) 8( + ) e) 6. Uma pessoa se encontra no ponto A de uma planície, às margens de um rio e vê, do outro lado do rio, o topo do mastro de uma bandeira, ponto B. Com o objetivo de determinar a altura h do mastro, ela anda, em linha reta, 50 m para a direita do ponto em que se encontrava e marca o ponto C. Sendo D o pé do mastro, avalia que os ângulos BÂC e valem 0, e o vale 105, como mostra a figura: a) 1,5. b) 1,5. c) 5,0. Página 1 de 17

2 d) 5,0. e) 5,0.. Um grupo de escoteiros pretende escalar uma montanha ate o topo, representado na figura abaixo pelo ponto D, visto sob ângulos de 40 do acampamento B e de 60 do acampamento A. Dado: sen 0º = 0,4 Considerando que o percurso de 160 m entre A e B e realizado segundo um angulo de 0 em relação a base da montanha, então, a distância entre B e D, em m, e de, aproximadamente, a) 190. b) 4. c) 60. d) Num paralelogramo, cada ângulo agudo mede 0 e os lados que formam cada um desses ângulos medem cm e 5 cm. Calcule a medida da menor das diagonais desse paralelogramo. a) 6 cm b) cm c) cm d) 7 cm e) 15 cm 5. Para explorar o potencial turístico de uma cidade, conhecida por suas belas paisagens montanhosas, o governo pretende construir um teleférico, ligando o terminal de transportes coletivos ao pico de um morro, conforme a figura a seguir. Para a construção do teleférico, há duas possibilidades: o ponto de partida ficar localizado no terminal de transportes coletivos (ponto A), com uma parada intermediária (ponto B), e o ponto de chegada localizado no pico do morro (ponto C); o ponto de partida ficar localizado no ponto A e o de chegada localizado no ponto C, sem parada intermediária. Página de 17

3 Supondo que AB = 00 m, BC = 00 m, BÂP = 0º e CBN ˆ = 50, é correto afirmar que a distância entre os pontos A e C é de: a) 700 m b) 70 m c) 704 m d) 706 m e) 708 m 6. No losango ABCD de lado 1, representado na figura, tem-se que M é o ponto médio de AB, N é o ponto médio de BC e MN = 14 4.Então, DM é igual a a) 4 b) c) d) e) 5 7. Considere o octógono regular ABCDEFG inscrito numa circunferência λ de raio R Se esse mesmo octógono circunscreve uma circunferência α de raio r, então a razão entre os quadrados dos comprimentos das circunferências λ e α é, nessa ordem, igual a a) ( + ) b) ( + ) c) ( ) d) 8. Assinale a(s) proposição(ões) correta(s). 0,π. 01) A equação sen x+cos x = 0 admite 4 soluções no intervalo [ ] 0) Um antigo mapa escondido embaixo de uma rocha continha as seguintes instruções para se encontrar uma panela de moedas de ouro enterrada pelos tropeiros naquela região: a partir da rocha ande 4 km, em linha reta, no sentido leste-oeste. Depois disso, gire 60 para norte e caminhe, em linha reta, km. A menor distância entre o local onde está enterrada a panela de moedas de ouro e a rocha onde estava escondido o mapa é de aproximadamente 6 km. tg40º + cos 0º 04) O valor numérico de y na expressão y = é. sen870º sec 11π π 08) Se sec x = 5 e x π, então tgx+cotgx é igual a. Página de 17

4 16) A figura a seguir mostra parte do gráfico de uma função periódica f, de IR em IR, de período. 9. As medidas dos lados de um triângulo são proporcionais a, e1. Os cossenos de seus ângulos internos são, portanto, a) 1, 1, b) 1, 1, c) 1, 1, d) 1, 1, 1. 4 e) 1, 1, Uma empresa de vigilância irá instalar um sistema de segurança em um condomínio fechado, representado pelo polígono da figura a seguir. A empresa pretende colocar uma torre de comunicação, localizada no ponto A, indicado na figura, que seja equidistante dos vértices do polígono, indicados por P, Q, R, S e T, onde serão instalados os equipamentos de segurança. Sabe-se que o lado RQ desse polígono mede 000 m e as medidas dos outros lados são todas iguais à distância do ponto A aos vértices do polígono. Calcule a distância do ponto A, onde será instalada a torre, aos vértices do polígono. 11. Laura decidiu usar sua bicicleta nova para subir uma rampa. As figuras a seguir ilustram a rampa que terá que ser vencida e a bicicleta de Laura. a) Suponha que a rampa que Laura deve subir tenha ângulo de inclinação α, tal que cos(α) = 0,99. Suponha, também, que cada pedalada faça a bicicleta percorrer,15 m. Calcule a altura h (medida com relação ao ponto de partida) que será atingida por Laura após dar 100 pedaladas. Página 4 de 17

5 b) O quadro da bicicleta de Laura está destacado na figura à direita. Com base nos dados da figura, e sabendo que a mede cm, calcule o comprimento b da barra que liga o eixo da roda ao eixo dos pedais. 1. Na figura abaixo, o triângulo ABC é um triângulo equilátero de cm de lado, e o triângulo retângulo BCD tem lados BD = 4 cm e CD = 5 cm e = 900. Qual a medida do segmento AD? a) b) 4 c) d) e) 1. Observe abaixo a ilustração de um pistão e seu esquema no plano. O pistão é ligado, por meio da haste BC, a um disco que gira em torno do centro A. Página 5 de 17

6 Considere que: o raio AB e a haste BC medem, respectivamente, 1 polegada e 4 polegadas; à medida que o disco gira, o pistão move-se verticalmente para cima ou para baixo, variando a distância AC e o ângulo BÂC. Se a medida do ângulo BÂC é dada por x radianos, a distância entre A e C, em polegadas, pode ser obtida pela seguinte equação: a) y = 4 + sen(x) b) y = 4 + cos(x) c) y = sen(x) + 16 cos (x) d) y = cos(x) + 16 sen (x) 14. Sejam α, β e γ, as medidas dos ângulos internos de um triângulo. Se sen α /senβ = /5, sen α /sen γ = 1 e o perímetro do triângulo é 44, então a medida do maior lado desse triângulo é: a) 5. b) 10. c) 15. d) 0. e) Os comprimentos dos lados de um triângulo ABC formam uma PA. Sabendo-se também que o perímetro de ABC vale 15 e que o ângulo  mede 10, então o produto dos comprimentos dos lados é igual a: a) 5 b) 45 c) 75 d) 105 e) Dois observadores, situados nos pontos A e B, a uma distância d um do outro, como mostra a figura a seguir, avistam um mesmo ponto no topo de um prédio de altura H, sob um mesmo ângulo è com a horizontal. Sabendo que o angulo A ˆB C também mede è e desconsiderando a altura dos observadores, a altura H do prédio e dada pela expressão: a) H = d sen θ cos è b) H = d cos è sen è c) H = d tg è sen è Página 6 de 17

7 d) H = d tg è sec è θ e) H = d sen sec è 17. Em um triângulo, as medidas de seus lados, em metros, são três números inteiros consecutivos e a medida do maior ângulo é o dobro da medida do menor. A medida do menor lado deste triângulo é a) m b) 4 m c) 5 m d) 6 m 18. Considere as seguintes informações: - De dois pontos A e B, localizados na mesma margem de um rio, avista-se um ponto C, de difícil acesso, localizado na margem oposta; - Sabe-se que B está distante 1000 metros de A; - Com o auxílio de um teodolito (aparelho usado para medir ângulos) foram obtidas as seguintes medidas: BÂC=0 e A $ B C= 80. Deseja-se construir uma ponte sobre o rio, unindo o ponto C a um ponto D entre A e B, de modo que seu comprimento seja mínimo. Podemos afirmar que o comprimento da ponte será de aproximadamente Dado: Considere sen 80 = 0,985, sen 70 = 0,940, cos 80 = 0,174 e cos 70 = 0,40 a) 54 metros b) 5 metros c) 1048 metros d) 500 metros e) 477 metros Dado: Considere sen 80 = 0,985, sen 70 = 0,940, cos 80 = 0,174 e cos 70 = 0, Leia com atenção o problema proposto a Calvin na tira seguinte. Supondo que os pontos A, B e C sejam vértices de um triângulo cujo ângulo do vértice A mede Página 7 de 17

8 60, então a resposta correta que Calvin deveria encontrar para o problema é, em centímetros, (5 ) a) (8 ) b) (10 ) c) d) 5 e) Em relação a um quadrilátero ABCD, sabe-se que med(bâd) =10, med(abc) = med(adc) = 90, AB = 1 e AD = 46. A medida do segmento AC é a) 60. b) 6. c) 64. d) 65. e) 7. Página 8 de 17

9 Gabarito: Resposta da questão 1: [B] α= o o o o = 60 Aplicando o teorema dos senos, temos: AC 8 = o sen60 sen45 AC. = 8. AC = 4 6 o Resposta da questão : [B] No triângulo ABC $ o ABC = 45, aplicando o teorema dos senos, temos: 50 BC = BC. = 50 BC = 5 o o sen45 sen0 No triângulo BDC, temos: o h 1 h sen0 = = h = 1,5 5 5 Resposta da questão : [B] Aplicando o teorema dos senos no triângulo assinalado, temos: Página 9 de 17

10 x 160 = o sen150 0,4 o 0,4.x = 160.sen150 0,4x = 80 x =,9 Aproximadamente 4m. Resposta da questão 4: [D] Aplicando o teorema dos cossenos, temos: o d = 5 + ( ).5..cos0 d = d = 5 45 d = 7 Resposta da questão 5: [A] Aplicando o teorema dos cossenos no triângulo assinalado, temos: ( ) AC = AC = AC = AC = 700m Página 10 de 17

11 Resposta da questão 6: [B] Aplicando o teorema dos cossenos no triângulo BMN, temos: = +...cosβ 4 Resolvendo, temos o cosβ = e que cos α = ( α + β = 180 ) 4 4 Aplicando novamente o teorema dos cossenos no triângulo ADM, temos: 1 1 (AD) 1..1.cos ( ) = + α 1 1 (AD) = AD = AD = ( ) Resposta da questão 7: [C] A razão entre os quadrados dos comprimentos das circunferências é igual a razão entre os quadrados dos raios. Observe a figura. Página 11 de 17

12 Na figura, temos: No Δ OMB temos: x = R r Aplicando agora o teorema dos cossenos no Δ OAB: ( ) o x = R + R.R.R.cos 45 4(R r ) =.R R. R ( + ) = 4.r R 4 = r + R r =.( ) Resposta da questão 8: = ) Falso: senx + cos x = 0 senx.cosx + cosx = 0 cosx.(senx + 1) = 0 logo cosx = 0 ou senx = -1/ π π 5π 7π 11π Temos, então, 5 soluções:,,, e ) Verdadeira o x = cos10 1 x = ( ) x = x = 7 x = 7 x ; 6,08km 04) Verdadeira + tg40º + cos 0º y = = = = = sen870º sec11π o sen150 sec π ) Falsa Página 1 de 17

13 sec x = 1+ tg x 5 = 1+ tg x tg x = 4 tgx = ± (III quadrante) 1 tgx = e cotgx = 1 5 cot gx + tgx = + = 16) Falsa: o período é 4. Resposta da questão 9: [C] Aplicando o teorema dos cossenos, temos: 1 = +..1cos A cosa = 7/8 E= cosb = CosC = 1 1 = 4 1/4, 1/4 e 7/8 Resposta da questão 10: Como AQ = AR = AS = AT = AP = RS = ST = TP = PQ, segue que os triângulos ARS, AST, ATP e APQ são equiláteros. Logo, RAS ˆ + SAT ˆ + TAP ˆ + PAQ ˆ = 40 implica em: QAR ˆ = = 10. Página 1 de 17

14 Aplicando a Lei dos Cossenos no triângulo QAR, obtemos: QR = AQ + AR AQ AR cosqar ˆ = AQ AQ AQ = ( AQ) = 000 AQ = = 1000 m. Portanto, a distância do ponto A, onde será instalada a torre, aos vértices do polígono é: 1000 m. Resposta da questão 11: 100 passos = 100.,15 = 15m a) Na figura 1 sen α = 1 cos α sen α = 1-0,99 sen α = 0,01 sen α = 1/100 logo 1 10 b) na figura h = h = 1,5m 15 aplicando o teorema dos cossenos. = b + b b.b. b b = + =. 1 +.( + ) b = + cm Página 14 de 17

15 Resposta da questão 1: [D] AC = cos150 o AC = AC = 5 +1 AC = 5 +1 Resposta da questão 1: [D] Aplicando a lei dos cossenos no triângulo ABC, vem: 4 = AC + 1 AC cos x 15 = (AC cos x) cos x AC cos x = 15 + cos x AC = 15 + cos 1 x + cos x 1 sen x AC = 16 sen x + cos x. Página 15 de 17

16 Resposta da questão 14: [D] Resposta da questão 15: [D] Resposta da questão 16: [D] Resposta da questão 17: [B] Resposta da questão 18: [A] Resposta da questão 19: [C] Resposta da questão 0: [B] Página 16 de 17

17 Resumo das questões selecionadas nesta atividade Data de elaboração: 0/09/011 às 00:7 Nome do arquivo: Seno Legenda: Q/Prova = número da questão na prova Q/DB = número da questão no banco de dados do SuperPro Q/prova Q/DB Matéria Fonte Tipo Matemática...Ufsm/011...Múltipla escolha matemática...unesp/011...múltipla escolha matemática...g1 - cftmg/011...múltipla escolha Matemática...G1 - ifal/011...múltipla escolha Matemática...Ufpb/011...Múltipla escolha Matemática...Fuvest/011...Múltipla escolha Matemática...G1 - epcar (Cpcar)/011...Múltipla escolha Matemática...Ufsc/011...Somatória Matemática...Ufrgs/010...Múltipla escolha Matemática...Ufg/010...Analítica Matemática...Unicamp/010...Analítica Matemática...Unemat/010...Múltipla escolha Matemática...Uerj/010...Múltipla escolha Matemática...Fatec/009...Múltipla escolha Matemática...Fuvest/009...Múltipla escolha Matemática...Ufg/008...Múltipla escolha Matemática...Uece/008...Múltipla escolha Matemática...Ufpa/008...Múltipla escolha Matemática...Pucsp/008...Múltipla escolha Matemática...Fgv/008...Múltipla escolha Página 17 de 17

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