RESUMO TEÓRICO. Ângulos Notáveis. 30 o 45 o 60 o 120 o 135 o 150 o. sen. cos

Transcrição

1 1 RESUMO TEÓRICO Ângulos Notáveis 0 o 45 o 60 o 10 o 15 o 150 o sen 1 1 cos 1 1 R sen C c sen B b sen A a ˆ ˆ ˆ cos c b c b a

2 ATIVIDADES 1) Calcule a medida do lado BC a seguir: PARTE A ) Um paralelogramo tem lados 4cm e 6 cm e um dos ângulos internos medindo 60 o. a) Desenhe o paralelogramo indicando todas as medidas dos lados e dos ângulos internos. b) Calcule a medida da diagonal menor. c) Calcule a medida da diagonal maior. ) (CFTRJ - 014) Considerando que ABC é um triângulo tal que AC 4 cm, BC 1 cm e  60, calcule os possíveis valores para a medida do lado AB. 4) Considere um triângulo de lados medindo 4cm, 5cm e 6cm. a) Calcule a medida do cosseno do ângulo formado pelos lados de medidas 4cm e 6cm. b) Calcule a medida da mediana relativa ao lado maior. PARTE B 5) Na figura abaixo, os ângulos do triângulo medem a  = 60 o e Ĉ = 45 o e o lado AB mede cm. Determine a medida: a) do lado CB b) do raio da circunferência. A C B 6) No triângulo da figura o ângulo  mede 60 o, o ângulo Ê mede 45 o e o lado EO mede 4 cm. Calcule: a) A medida do lado AO b) a medida do raio da circunferência.

3 7) (UFSM 005) Na instalação das lâmpadas de uma praça de alimentação, a equipe necessitou calcular corretamente a distância entre duas delas, colocadas nos vértices B e C do triângulo, segundo a figura. Assim, a distância "d" é a) 50 m b) 50 ( 6) m c) 50 m d) 5 6 m e) 50 6 m PARTE C 8) Sabendo que num paralelogramo um dos ângulos mede 60 o e que os lados medem 5 cm e 8 cm, podemos dizer que a diagonal menor mede: a) cm b) 4 cm c) 6 cm d) 6,4 cm e) 7 cm 9) Em um triângulo ABC, os lados AB e AC medem respectivamente cm e cm e formam um ângulo de 0 o. Calcule a medida do lado BC. a) 1 cm b) cm c) cm d) cm e) 5 cm 10) (UFSM 01) A caminhada é uma das atividades físicas que, quando realizada com frequência, torna-se eficaz na prevenção de doenças crônicas e na melhora da qualidade de vida. Para a prática de uma caminhada, uma pessoa sai do ponto A, passa pelos pontos B e C e retorna ao ponto A, conforme trajeto indicado na figura. Quantos quilômetros ela terá caminhado, se percorrer todo o trajeto? a),9. b),. c),16. d),50. e) 4,80. 11) (UFRGS 01) Os lados de um losango medem 4 e um dos seus ângulos 0. A medida da diagonal menor do losango é a). b). c) 4. d). e) 4. 1) (G1 - IFSP 014) A base de um triângulo isósceles mede cm e o ângulo oposto à base mede 10. A medida dos lados congruentes desse triângulo, em centímetros, é a). b). c). d) 1. e).

4 1) (UFPR 014) Dois navios deixam um porto ao mesmo tempo. O primeiro viaja a uma velocidade de 16 km/h em um curso de 45 em relação ao norte, no sentido horário. O segundo viaja a uma velocidade 6 km/h em um curso de 105 em relação ao norte, também no sentido horário. Após uma hora de viagem, a que distância se encontrarão separados os navios, supondo que eles tenham mantido o mesmo curso e velocidade desde que deixaram o porto? a) 10 km. b) 14 km. c) 15 km. d) 17 km. e) km. 14) (UNESP 01) Um professor de geografia forneceu a seus alunos um mapa do estado de São Paulo, que informava que as distâncias aproximadas em linha reta entre os pontos que representam as cidades de São Paulo e Campinas e entre os pontos que representam as cidades de São Paulo e Guaratinguetá eram, respectivamente, 80km e 160km. Um dos alunos observou, então, que as distâncias em linha reta entre os pontos que representam as cidades de São Paulo, Campinas e Sorocaba formavam um triângulo equilátero. Já um outro aluno notou que as distâncias em linha reta entre os pontos que representam as cidades de São Paulo, Guaratinguetá e Campinas formavam um triângulo retângulo, conforme mostra o mapa. Com essas informações, os alunos determinaram que a distância em linha reta entre os pontos que representam as cidades de Guaratinguetá e Sorocaba, em km, é próxima de a) 80 5 b) 80 5 c) 80 6 d) 80 5 e) ) (UNICAMP01) Na figura abaixo, ABC e BDE são triângulos isósceles semelhantes de bases a e a, respectivamente, e o ângulo CAB ˆ 0. Portanto, o comprimento do segmento CE é: a) 5 a b) 8 a c) 7 a d) a 4

5 16) (UNESP 01) No dia 11 de março de 011, o Japão foi sacudido por terremoto com intensidade de 8,9 na Escala Richter, com o epicentro no Oceano Pacífico, a 60 km de Tóquio, seguido de tsunami. A cidade de Sendai, a 0 km a nordeste de Tóquio, foi atingida pela primeira onda do tsunami após 1 minutos. (O Estado de S.Paulo, Adaptado.) Baseando-se nos dados fornecidos e sabendo que cos 0,94, onde é o ângulo Epicentro-Tóquio- 8 Sendai, e que 9, , a velocidade média, em km/h, com que a 1ª onda do tsunami atingiu até a cidade de Sendai foi de: a) 10. b) 50. c) 100. d) 50. e) ) (PUCRJ 01) Seja um hexágono regular ABCDEF. A razão entre os comprimentos dos segmentos AC e AB é igual a: a) b) c) 1 5 d) e) 18) (UFTM 01) Na figura estão posicionadas as cidades vizinhas A, B e C, que são ligadas por estradas em linha reta. Sabe-se que, seguindo por essas estradas, a distância entre A e C é de 4 km, e entre A e B é de 6 km. Nesse caso, pode-se concluir que a distância, em km, entre B e C é igual a a) b) c) 1. d) e) ) (G1 - IFAL 011) Num paralelogramo, cada ângulo agudo mede 0 e os lados que formam cada um desses ângulos medem cm e 5 cm. Calcule a medida da menor das diagonais desse paralelogramo. a) 6 cm b) cm c) cm d) 7 cm e) 15 cm 5

6 0) (G1 - CFTCE 007) Na figura a seguir, determine o valor de x e o perímetro do triângulo. 1) (UFSCAR 006) Se os lados de um triângulo medem x, x + 1 e x +, então, para qualquer x real e maior que 1, o cosseno do maior ângulo interno desse triângulo é igual a a) x / (x + 1). b) x / (x + ). c) (x + 1) / (x + ). d) (x - ) / x. e) (x - ) / x. π π ) (Ufrgs 004) Na figura a seguir, os ângulos u e v medem, respectivamente, e, OP = 4 OQ =. e Então, (PQ) é a) +. b) +. c) +. d) +. e) ( ) +. ) (UFPI 000) Em um triângulo, um dos ângulos mede 60 e os lados adjacentes a este ângulo medem 1cm e cm. O valor do perímetro deste triângulo, em centímetros, é: a) + 5 b) 5 + c) + d) + 7 e) ) Dado o triângulo a seguir: PARTE D O valor de x é: a) 4 b) c) d) 4 6 e) 6 6 6

7 5) Uma circunferência é circunscrita ao triângulo ABC. Sabendo que o lado AC mede 4cm e que o ângulo oposto a AC mede 0 o a medida do raio da circunferência é: a) 4 cm b) 4 cm c) 4 cm d) cm e) 1 cm 6) (UFJF 01) Uma praça circular de raio R foi construída a partir da planta a seguir: Os segmentos AB, BC e CA simbolizam ciclovias construídas no interior da praça, sendo que AB 80 m. De acordo com a planta e as informações dadas, é CORRETO afirmar que a medida de R é igual a: a) 160 m b) 80 m c) 16 m d) 8 m e) m 7) (UFSM 011) A figura a seguir apresenta o delta do rio Jacuí, situado na região metropolitana de Porto Alegre. Nele se encontra o parque estadual Delta do Jacuí, importante parque de preservação ambiental. Sua proximidade com a região metropolitana torna-o suscetível aos impactos ambientais causados pela atividade humana. A distância do ponto B ao ponto C é de 8 km, o ângulo A mede 45 e o ângulo C mede 75. Uma maneira de estimar quanto do Delta do Jacuí está sob influência do meio urbano é dada pela distância do ponto A ao ponto C. Essa distância, em km, é a) 8 6 b) 4 6 c) 8 d) 8( ) e) 6 8) (UFPB 010) A prefeitura de certa cidade vai construir, sobre um rio que corta essa cidade, uma ponte que deve ser reta e ligar dois pontos, A e B, localizados nas margens opostas do rio. Para medir a distância entre esses pontos, um topógrafo localizou um terceiro ponto, C, distante 00m do ponto A e 7

8 na mesma margem do rio onde se encontra o ponto A. Usando um teodolito (instrumento de precisão para medir ângulos horizontais e ângulos verticais, muito empregado em trabalhos topográficos), o topógrafo observou que os ângulos B Ĉ A e C Â B mediam, respectivamente, 0º e 105º, conforme ilustrado na figura a seguir. Com base nessas informações, é correto afirmar que a distância, em metros, do ponto A ao ponto B é de: a) 00 b) 180 c) 150 d) 100 e) 50 9) (UFG 01) Observe a figura a seguir, em que estão indicadas as medidas dos lados do triângulo maior e alguns dos ângulos. O seno do ângulo indicado por α na figura vale: a) 4 10 b) 4 10 c) 4 10 d) 4 10 e) ) (UFPE 004) Uma ponte deve ser construída sobre um rio, unindo os pontos A e B, como ilustrado na figura a seguir. Para calcular o comprimento AB, escolhe-se um ponto C, na mesma margem em que B está, e medem-se os ângulos CBA = 57 e ACB = 59. Sabendo que BC mede 0m, indique, em metros, a distância AB. (Dado: use as aproximações sen(59 ) 0,87 e sen(64 ) 0,90) 8

9 1) (UNESP 00) Cinco cidades, A, B, C, D e E, são interligadas por rodovias, conforme mostra a figura. A rodovia AC tem 40 km, a rodovia AB tem 50 km, os ângulos x, entre AC e AB, e y, entre AB e BC, são tais que senx = 4 e seny =. Deseja-se construir uma nova rodovia ligando as cidades D e E que, 7 dada a disposição destas cidades, será paralela a BC. a) Use a lei dos senos para determinar quantos quilômetros tem a rodovia BC. b) Sabendo que AD tem 0 km, determine quantos quilômetros terá a rodovia DE. ) (UNESP 1997) Para calcular a distância entre duas árvores situadas nas margens opostas de um rio, nos pontos A e B, um observador que se encontra junto a A afasta-se 0m da margem, na direção da reta AB, até o ponto C e depois caminha em linha reta até o ponto D, a 40m de C, do qual ainda pode ver as árvores. Tendo verificado que os ângulos DCB e BDC medem, respectivamente, cerca de 15 e 10, que valor ele encontrou para a distância entre as árvores, se usou a aproximação 6 =,4? ) (CESGRANRIO 1994) No triângulo ABC, os lados AC e BC medem 8 cm e 6 cm, respectivamente, e o ângulo A vale 0. O seno do ângulo B vale: a) 1/ b) / c) /4 d) 4/5 e) 5/6 4) (UNICAMP 1999) Sejam A, B e C pontos de uma circunferência tais que, AB=km, BC =1km e a medida do ângulo A B C seja de 15. a) Calcule o raio dessa circunferência. b) Calcule a área do triângulo ABC. 9

10 RESPOSTAS / SOLUÇÕES PARTE C 8) Alternativa: e) 7 cm 9) Alternativa: a) 1 cm 10) Alternativa: D Solução: Pela Lei dos Cossenos, obtemos: BC AC AB AC AB cosbac (0,8) 1 0,8 1cos150 0,64 1 0,8 1,64 0,8 1,7. Logo, BC 1,7 e, portanto, o resultado é 1 0,8 1,7,5. 11) Alternativa: C Solução: Considere a figura. Como AB AD 4 u.c. e BAD 0, pela Lei dos Cossenos, obtemos Portanto, BD 4 u.c. BD AB AD AB AD cosbad ) Alternativa: A Solução: Aplicando o teorema dos cossenos, temos: 10

11 x x x x cos x x 7 x x 9 x Logo, a medida dos lados congruentes desse triângulo, em centímetros, é cm. 1) Alternativa: B Solução: Depois de uma hora de viagem o navio 1 (N 1 ) terá percorrido 16 km e o navio (N ) terá percorrido 6 km. Temos, então, a seguinte figura: Sendo d a distância entre os navios, temos: d cos60 1 d d 196 d 14km 14) Alternativa: B Solução: Sejam S, P, G e C, respectivamente, os pontos que representam as cidades de Sorocaba, São Paulo, Guaratinguetá e Campinas. Sabendo que SPC 60 e CPG 90, vem SPG 150. Logo, aplicando a Lei dos Cossenos no triângulo SPG, encontramos Portanto, SG 80 5 km. SG SP PG SP PG cosspg cos (5 ) 11

12 15) Alternativa: C Solução: a a a No ΔCMB : cos0 x x x a a a No ΔENB : cos0 y y y CBE ˆ Aplicando o teorema dos cossenos no triângulo CBE, temos: CE x y.x.y.cos10 4a a a a 1 CE 5a a CE 7a CE CE a. 7 16) Alternativa: E Solução: Considere a figura. Sabendo que ET Cossenos, vem 60km, ST 0km, cos 0,94 e que ES ET ST ET ST cos ES ,94 5 ES ,4 8 ES 000 9,4 ES ES ES 10km. 8 9, , pela Lei dos 1

13 1 Portanto, como 1min h, temos que a velocidade média pedida é dada por km h ) Alternativa: D Solução: Logo, AC a. AB a AC a a a a cos10 AC a 18) Alternativa: B Solução: Aplicando a Lei dos Cossenos, obtemos BC AB AC AB AC cosbac 1 BC BC BC km. 19) Alternativa: D Solução: Aplicando o teorema dos cossenos, temos: d = 5 + ( ).5..cos0 o d = d = 5 45 d = 7. 0) Resposta: x = e o perímetro vale P = 7,5 cm 1) Alternativa: E ) Alternativa: A ) Alternativa: C 1

14 PARTE D 4) Alternativa: E 5) Alternativa: A 6) Alternativa: B Solução: Pela Lei dos Senos, segue que: 7) Alternativa: B Solução: AB R R R m. sen60 o o o o α= Aplicando o teorema dos senos, temos: 8) Alternativa: D Solução: AC 8 o sen60 sen45 AC. 8. AC 4 6 o x 00 o sen0 sen45 1 x x x 100 m o 14

15 9) Alternativa: A Solução: Considere a figura, na qual AB 6, AC 10 e BC 8. Do triângulo retângulo ABD, obtemos BD tgbad BD AB tg0 AB BD 6 BD. Além disso, pelo Teorema do Ângulo Externo, segue que ADC DAB ABD Portanto, pela Lei dos Senos, vem CD AC 8 10 sendac sen ADC sen sen10 4 sen sen sen 5 4 sen. 10 0) Resposta: 9 metros. 1) Respostas: a) BC = 70 km b) DE = 4 km ) Resposta: A distância entre as duas árvores é de 8 metros. ) Alternativa: B 4) Respostas: a) R = 5 km b) S = km 15