Geometria Plana 03 Prof. Valdir

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1 Geometria lana 03 rof. Valdir TS TÁVEIS E U TRIÂGUL 1. RIETR É o ponto de equilíbrio ou centro de gravidade do triângulo. baricentro coincide com o ponto de intersecção das medianas do triângulo (na figura a seguir G). ediana é o segmento de reta que une um vértice ao ponto médio do lado oposto. omo consequência da propriedade a), temos que: IETR É o centro da circunferência inscrita no triângulo. incentro coincide com o ponto de intersecção das bissetrizes dos ângulos internos de um triângulo. issetriz interna é o segmento de reta que une um vértice com o lado oposto formando dois ângulos de mesma medida. mediana relativa ao lado mediana relativa ao lado mediana relativa ao lado G bissetriz do ângulo  bissetriz do ângulo bissetriz do ângulo I é o incentro do ropriedades: a) baricentro divide cada mediana em dois segmentos na razão de 2 para 1. Justificativa: onsiderando a figura anterior, como é médio de e é médio de, teremos: // e 2. e //, então G G. ssim: G 2.G G 2.G G 2.G Teoremas: 1) Teorema das bissetrizes internas: I bissetriz do ângulo interno de um triângulo determina sobre o lado oposto dois segmentos de reta de medidas proporcionais aos dois lados que formam o referido ângulo. b) Uma mediana divide o triângulo em dois triângulos de mesma área; Se é a bissetriz do ângulo Â, então, pode-se afirmar que: Veja: s triângulos e têm bases iguais ( ) e H como altura. ssim, eles têm áreas iguais. c) s três medianas dividem o triângulo em seis triângulos de mesma área. H plicando a lei dos senos nos triângulos e da figura a seguir, teremos: G 1 2 θ β 1

2 o triângulo : (1) sen senθ o triângulo : (2) sen senβ omo β + θ 180, temos que senθ senβ. ssim, dividindo (1) por (2), vem que: sen senθ (rovado) sen senβ 2) Teorema da bissetriz externa Se a bissetriz de um ângulo externo de um triângulo intercepta a reta que contém o lado oposto, então ela divide este lado oposto externamente em segmentos proporcionais aos lados adjacentes. : 3. IRUETR É o centro da circunferência circunscrita no triângulo. circuncentro coincide com o ponto de intersecção das mediatrizes dos lados do triângulo. ediatriz de um segmento de reta é o lugar geométrico do plano cujos pontos são equidistantes dos extremos do segmento. r é a mediatriz do lado s é a mediatriz do lado r s ircuncentro do triângulo Então,, e são segmentos de reta que têm a mesma medida do raio da circunferência que passa por, e. r plicando a lei dos senos nos triângulos e da figura a seguir, teremos: o triângulo : (1) sen(180 - ) senθ o triângulo : (2) sen senθ omo sen(180 -) sen, dividindo (1) por (2), teremos: sen(180 - ) senθ sen senθ (rovado) θ s bservações: a) um triângulo retângulo, o circuncentro é o ponto médio da hipotenusa e a mediana relativa à hipotenusa tem o comprimento do raio da circunferência circunscrita. ( raio, onde é a mediana relativa à hipotenusa). b) circuncentro () de um triângulo obtusângulo é um ponto exterior ao triângulo. (0 < < 180 ) 2

3 4. RTETR É o ponto de intersecção das alturas de um triângulo. 8 cm 10 cm S 12 S 12 cm elo texto, S é bissetriz do ângulo. ssim, pelo teorema das bissetrizes internas, vem que: é a altura relativa ao lado. é a altura relativa ao lado. é a altura relativa ao lado. é o ortocentro do triângulo. bservações: a) o triângulo retângulo, o ortocentro é o vértice do ângulo reto e, no triângulo obtusângulo, é um ponto exterior ao triângulo. b) triângulo cujos vértices são os pontos,, é chamado de triângulo órtico. ortocentro () do triângulo é o incentro do triângulo órtico. u seja, a circunferência inscrita no triângulo tem centro no ponto. c) s pontos,, e pertencem à circunferência de diâmetro. ssim como os pontos,, e pertencem à circunferência de diâmetro e os pontos,, e pertencem à circunferência de diâmetro. S S S 12- S 16 S omo é mediana, temos que: 6 cm. ssim, teremos: S S S 2 3 cm Resposta: S 2/3 cm 02. Seja o triângulo de lados, e respectivamente iguais a cm, 8 cm e 10 cm. Sejam e as bissetrizes interna e externa do triângulo no vértice com e pontos da reta que contém o lado. ssim, calcule o comprimento do segmento de reta. 10 θ θ 8 Usando os teoremas das bissetrizes, teremos: cm 36 cm ssim, teremos: + 40 cm Exercícios resolvidos: 01. ado o triângulo cujos lados medem 10 cm, 8 cm e 12. Seja S o segmento de reta que passa pelo centro da circunferência inscrita no triângulo e a mediana relativa ao lado. etermine o comprimento do segmento de reta S. Resposta: 40 cm (Letra E) 03. a figura a seguir, é um triângulo retângulo no vértice, E é bissetriz do ângulo  e é mediana relativa ao lado. Sabendo-se que o ângulo Ê mede e o ângulo ˆ E mede β, então calcule + β. S F β E

4 triângulo é retângulo em. ssim, o ponto, médio de, é o circuncentro do triângulo. que se pode concluir que. omo o triângulo é isósceles, o ângulo E mede 20 e o ângulo F mede 70 (complemento). Sendo E uma bissetriz, o ângulo E mede 35. elo teorema do ângulo externo, nos triângulos F e FE, temos que: + β Resposta: + β a figura a seguir, é um triângulo retângulo em sendo 3 cm e 4cm. segmento é uma bissetriz e uma mediana. Sendo assim, calcule a medida do segmento de reta. 3 cm onsiderando x, e aplicando o teorema das bissetrizes internas no, teremos: 3 4 2,5-x 2,5+x 3 4 7x 2,5 x 5/14 Resposta: 5/14 cm Relação de Stewart 4 cm 7,5 + 3x 10 4x Seja um triângulo e a ceviana relativa ao lado, sendo um ponto do lado, como mostra a figura a seguir. b m +x +2.x.m.cos β c n +x -2x.n.cos β ultiplicando a 1ª equação por n e a 2ª por m, teremos: b nm n+x n+2.x.m.n.cos β c mnm+x m-2x.n.mcos β dicionando as duas equações, teremos: b 2 n + c 2 m m 2 n + n 2 m + x 2 m + x 2 n b 2 n + c 2 m mn(m+n) + x 2 (m + n) n.b 2 + m.c 2 (m + n).(m.n + x 2 ) omo m + n a, vem que: n.b 2 + m.c 2 a(m.n + x 2 ) (Relação de Stewart) Exercícios resolvidos: 01. Seja o triângulo cujos lados, e medem, respectivamente 8 cm, cm, 10 cm. etermine o comprimento da mediana relativa ao lado. 8 plicando a relação de Stewart, teremos: 5 5 x 10 n.b 2 + m.c 2 a.(m.n + x 2 ) (5.5 + x 2 ) x 2 x 2 47,5 b x c Resposta: x 6, cm. m Sendo: x: comprimento da ceviana a, b, c: medidas dos lados do triângulo m, n: medidas dos segmentos e, partes do lado a β n 02. Seja o triângulo cujos lados, e medem, respectivamente 8 cm, 10 cm, cm. etermine o comprimento da bissetriz S relativa ao vértice. 8 x 10 relação de Stewart será: n.b 2 + m.c 2 a(m.n + x 2 ) plicando a lei dos cossenos nos triângulo e, teremos: b m +x -2.x.m.cos c n +x -2x.n.cosβ omo cos cosβ, teremos: alculando m e n pelo teorema das bissetrizes internas. m n m 10-m m 4 cm n 5 cm ssim, aplicando a relação de Stewart, teremos: n.b 2 + m.c 2 a.(m.n + x 2 ) (4.5 + x 2 ) x 2 x 2 35 x 5, cm Resposta: x 5, cm m S n 4

5 LÍGS VEXS bs.: um polígono regular, lados e ângulos são congruentes. Logo, teremos: i 2 e 2 i 3 e 3 i 1 i 2 i 3... i i S i / n e 1 e 2 e 3... e e S e / n e 1 i 1 i 4 e 4 4. ÚER E IGIS LÍG número de diagonais () de um polígono convexo de n lados é dado por:... n.(n-3) 2 bservando o polígono... da figura anterior, teremos: 1. ELEETS,,,,... vértices do polígono.,,, lados do polígono.,,,... diagonais do polígono. i 1, i 2, i 3,... medidas dos ângulos internos. e 1, e 2, e 3,... medidas dos ângulos externos. 2. S S ÂGULS EXTERS (S e ) onsiderando um polígono convexo de n lados, a soma dos seus ângulo externo será dada por: S e 360 bserva-se que e 1, e 2, e 3,... e n, são os desvios angulares, em cada, vértice quando consideramos uma trajetória que coincide com o polígono. ssim, para efetuar uma volta completa em, cominhando pelos lados do polígono, o desvio angular é de 360. essa forma, iagonal é um segmento de reta que liga dois vértices não consecutivos de um polígono convexo. ortanto, (n 3) é o número de diagonais que saem de cada vértice. u seja, de um vértice não sai diagonal para ele mesmo e nem para os dois vértices consecutivos a ele. onclui-se, então, que o número total de diagonais de um polígono convexo de n vértices é dado por n.(n-3) (rovado) 2 bs1.: Se o polígono for regular de n lados, teremos: a) Se n for par, n/2 diagonais passam pelo seu centro e assim, teremos n.(n 4)/2 diagonais que não passam pelo seu centro. b) Se n for ímpar, então nenhuma diagonal passa pelo centro do polígono. bs. 2.: Todo polígono regular é inscritível e circunscritível em uma circunferência. e 1 + e 2 + e e n 360 S e 360 (rovado) 3. S S ÂGULS ITERS (S i ) onsiderando um polígono convexo de n lados, a soma dos ângulos internos do polígono será dada por: S i (n 2).180 bserva-se que, em cada vértice do polígono, a soma das medidas dos ângulos interno e externo é 180. Então: e 1 + i e 2 + i e 3 + i e n + i n 180 dicionando as n parcelas, teremos: e 1 + e 2 + e e n + i 1 + i 2 + i i n n S i 180.n S i 180.n 360 S i (n 2).180 (rovado) Exercícios resolvidos: 01. Um polígono convexo de 15 lados tem as medidas de seus ângulos internos em progressão aritmética de razão igual a 2. etermine o maior ângulo interno desse polígono. Se os ângulos internos formam uma crescente de razão 2º, então, o termo central (i 8 ) é a média aritmética das medidas dos ângulos internos. ssim, S S (15-2).180 n o n 15 i8 156 medida do maior ângulo interno será: i 15 i r i Resposta:

6 02. Um polígono convexo tem dois ângulos de 150º e os outros medem 155º. etermine o número de diagonais desse polígono. Se i 1 150º e 1 30º e i 2 155º e 2 25º. ssim, como a soma dos ângulos externos é 360, teremos: L (n 2) º (n 2) n 2 12 n 14 alculando o número de diagonais, teremos: n.(n-3) 14.(14-3) Resposta: 77 diagonais. 02. erâmicas pentagonais regulares foram usadas para compor o piso de uma sala, como mostra a figura a seguir. bserva-se que, ao compor o piso, entre as peças justapostas aparece um espaço vazio na forma de um estrela de cinco pontas chamada pentagrama. onsiderando a figura e as informações do texto, determine: a) medida do ângulo θ de cada ponta da estrela. b) distância entre duas pontas consecutivas da estrela sabendo-se que a medida do lado da cerâmica pentagonal é 10 cm e cos 108-0,3. θ 03. o polígono regular EF... o número de diagonais é o triplo do número de lados. Sendo assim, determine a medida do ângulo formado pelas diagonais e E desse polígono. (Lembrete: todo polígono regular é inscritível). Sendo n o número de lados, teremos: n.(n-3) 3.n n 2 n 0 n (eneágono) 2 Inscrevendo o eneágono em um círculo, teremos: E a) a soma dos ângulos externos do pentágono regular, teremos: 5.e 360 e 72 i 108 ssim, no piso, teremos: θ + i + i + i 360 θ θ 36 Resposta: θ 36 b) distância entre duas pontas consecutivas da estrela é igual à medida da diagonal do pentágono regular. ssim, aplicando a lei dos cossenos no triângulço, teremos: cos (-0,3) m Resposta: 2 65 m i e 10 m 10 m G F omo o polígono tem lados, vem que: o 360 o 40 E 80 omo é um ângulo inscrito, teremos: E 40 2 Resposta: