Polos Olímpicos de Treinamento. Aula 17. Curso de Geometria - Nível 2. Pontos Notáveis 3: Circuncentro e Ortocentro. Prof.

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1 Polos Olímpicos de Treinamento urso de Geometria - Nível 2 Prof. ícero Thiago ula 17 Pontos Notáveis 3: ircuncentro e Ortocentro Teorema 1. Sejam, e P três pontos distintos no plano. Temos que P = P se, e somente se, o ponto P pertence à mediatriz do segmento. r P Sejam o ponto médio de e r a sua mediatriz. Suponha inicialmente que P pertence à mediatriz. om isso = e r é perpendicular à. É fácil ver que os triângulos P e P são congruentes pelo caso L..L. e, com isso, P = P. Reciprocamente, suponha agora, que P = P, com isso P é isósceles de base. Tracemos a mediana relativa ao lado. É fácil ver que os triângulos P e P são congruentes pelo caso L.L.L. e, com isso, P P = 90, ou seja, P está sobre a mediatriz. Teorema 2. s três mediatrizes de um triângulo se intersectam num ponto chamado circuncentro que é o centro da circunferência circunscrita.

2 r O s Sejam r e s as mediatrizes relativas aos lados e, respectivamente, e seja O o ponto de interseção das duas mediatrizes. Pelo teorema 1, temos que O = O e O = O. Então, O = O e, também pelo teorema 1, O deve estar sobre a mediatriz relativa ao lado. lém disso o circuncentro é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo pois é equidistante dos três vértices do triângulo. Teorema 3. s três alturas de um triângulo se intersectam num ponto chamado ortocentro. 2

3 P E N F H Inicialmente tracemos pelos vértices, e, retas paralelas aos lados, e, respectivamente, que determinam o triângulo N P. Já sabemos que as três mediatrizes de um triângulo se intersectam em seu circuncentro. É fácil perceber que, e são os pontos médios dos segmentos NP, P e N, respectivamente, pois P, N e são paralelogramos e, portanto, os lados opostos de um paralelogramo são iguais. Tracemos as mediatrizes dos segmentos P, N e PN que irão se intersectar no ponto H. as as mediatrizes do triângulo NP são as alturas do triângulo. Portanto, provamos que as três alturas de um triângulo se intersectam em um ponto que será chamado de ortocentro. Teorema 4. Seja O o centro da circunferência circunscrita ao triângulo acutângulo e seja a projeção de sobre então = O. 3

4 O β β E Seja E um diâmetro. lém disso, = E. Portanto, = E. Teorema 5. O ortocentro, o baricentro e o circuncentro de um triângulo, não equilátero, são colineares. reta determinada por esses pontos é chamada de Reta de Euler. Sejam e N os pontos médios de e, respectivamente. Então, N e N =. O teorema 4 garante que = O. omo O é o circuncentro 2 então O = O e, com isso, O = O. O quadrilátero NO é inscritível então O = NO = ON e ON = 180. lém disso, o quadrilátero EH também é inscritível e, com isso, HE = 180. omo HE = H concluímosqueotriânguloh ésemelhanteaotriângulono e, com isso, N = H = 2. Temos que HG = GO pois H é paralelo a O e, como O G G é o baricentro, = 2. Portanto, o triângulo HG é semelhante ao triângulo GO G e, com isso, HG = GO provando então que H, G e O estão alinhados e HG = 2GO. 4

5 E H N G O Teorema 6. Os pés das alturas deum triângulo, os pontos médios do três lados e os pontos médios dos segmentos que ligam os vértices ao ortocentro estão sobre uma circunferência chamada ircunferência dos 9 pontos. Queremos provar que, L, P,, E, F, R, S e T são concíclicos. É suficiente provar que R e estão sobre a circunferência circunscrita ao triângulo LP, pois o restante é análogo. onsidere a circunferência Γ de diâmetro R. É fácil ver que pertence a Γ. Por outro lado, RL H, L e H, o que implica que RL = 90. Portanto, L (e por simetria P) pertence a Γ. R E F P S H N O L T Teorema 7. O centro dacircunferência dos 9 pontos é o pontomédio dosegmento formado pelo ortocentro e pelo circuncentro. Seja R um diâmetro da circunferência dos 9 pontos e seja N a interseção de R e OH. 5

6 omo R é ponto médio de H então RH = O. lém disso, H O. Portanto, RHN NO, RN = N e HN = ON. R E F P H L S N G O T Problema 1. Seja um triângulo e sejam H o ortocentro e o O o circuncentro do triângulo. Se H = HO = O e H = O determine a medida do ângulo. Solução. omo O é o circuncentro então O = O = H. lém disso, H = O = 2O. omo o triângulo O é retângulo então O = 60. ssim, O = 120 e = 60. 6

7 H O Problema 2. Seja H o ortocentro de um triângulo, tal que. O segmento que une os pontos médios de H e intersecta a bissetriz de no ponto N. Sabendo que o circuncentro do triângulo pertence à reta que passa pelos pontos H e N, determine a medida do. Solução. Seja o ponto médio de, L o ponto médio deh, O o circuncentro do triângulo e R o raio do círculo circunscrito ao triângulo. É bem sabido queo = 1 H = L. 2 omo O é paralelo a L, então OL é um paralelogramo. Por outro lado, a bissetriz do ângulo é bissetriz também do ângulo OH, daí LN = NO = NL e NL = L = LH, o que implica HN = 90, logo N é altura e bissetriz do triângulo HO, assim H = O e, portanto, = 60. Problemas propostos 1. Seja um triângulo tal que = 50. Seja F um ponto qualquer sobre o lado. Se e N são os ortocentros dos triângulos F e F, respectivamente, determine a medida do ângulo FN. 7

8 2. Seja um triângulo tal que = 40 e seja P um ponto sobre o lado tal que o ortocentro de coincide com o circuncentro de P. etermine a medida do ângulo P. 3. (IT) Em um triângulo de vértices, e, a altura, a bissetriz e a mediana, relativamente ao vértice, dividem o ângulo em quatro ângulos iguais. Se l é a medida do lado oposto ao vértice, calcule: (a) medida da mediana em função de l. (b) Os ângulos, e. 4. Seja um triângulo que não é isósceles. Os pontos O e H são, respectivamente, o circuncentro e o ortocentro e o ponto médio de OH. (a) Se é um triângulo acutângulo e a bissetriz interna de passa por, determine a medida do ângulo. (b) Se é um triângulo obtusângulo e a bissetriz externa do ângulo passa por, determine a medida do ângulo. 5. (Torneio das cidades), E e F são alturas de um triângulo. K, e N são os ortocentros dos triângulos EF, F e E. Prove que KN e EF são triângulos congruentes. 6. Seja um triângulo. Sobre os lados e são construídos no exterior do triângulo os quadrados E e FG. Prove que, F e a altura relativa ao vértice são concorrentes. 7. (O) Sejam H, I e O o ortocentro, o incentro e o circuncentro do triângulo, respectivamente. reta I corta o circuncírculo de no ponto L, distinto de. Sabe-se que = IL e H = OH. etermine os ângulos do triângulo. 8. (Irã) Em um triângulo temos que = 60. Seja um ponto que varia sobre o lado. Sejam O 1 o circuncentro de e O 2 o circuncentro de. Seja a interseção de O 1 e O 2 e N o circuncentro de O 1 O 2. Prove que N passa por um ponto fixo. 8