Polos Olímpicos de Treinamento. Aula 15. Curso de Geometria - Nível 3. Quádruplas harmônicas e circunferência de Apolônio. Prof.

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1 olos Olímpicos de Treinamento urso de Geometria - Nível 3 rof. ícero Thiago ula 15 Quádruplas harmônicas e circunferência de polônio Teorema 1. (issetriz interna) bissetriz interna L do ângulo de um triângulo divide internamente o lado oposto na razão, ou seja, L L = em que L é o ponto de intersecção da bissetriz interna com o lado. Demonstração. α α α α L Seja a intersecção da paralela à bissetriz L traçada pelo ponto. É fácil ver que L = L = =, com isso, =. elo teorema de Tales temos que = L L. omo =, então = L L.

2 OT Geometria - Nível 3 - ula 15 - rof. ícero Thiago Teorema 2. (issetriz externa) bissetriz externa L do ângulo de um triângulo divide externamente o lado oposto na razão, ou seja, L L = em que L é o ponto de intersecção da bissetriz externa com o lado. Demonstração. E β β β β L Seja a intersecção da paralela à bissetriz L traçada pelo ponto. É fácil ver que EL = L = =, com isso, =. elo teorema de Tales temos que = L L. omo =, então = L L. Definição 1. Sejam,,, D quatro pontos alinhados nessa ordem. Dizemos que,,, D formam uma divisão harmônica ou uma quádrupla harmônica se, e somente se, = D D. Teorema 3. Seja um triângulo e sejam X, Y e Z pontos sobre os lados, e, respecivamente. Seja W a intersecção da reta YZ com o prolongamento do lado. Então, X, e W formam uma quádrupla harmônica se, e somente se, X, Y e Z são concorrentes. Demonstração. 2

3 OT Geometria - Nível 3 - ula 15 - rof. ícero Thiago Z Y X W Suponha que X, Y e Z estejam alinhados. elo teorema de eva temos que X X Y Y Z Z = 1. lém disso, pelo teorema de Menelaus temos que então X X = W W W W Z Z Y Y = 1 e, portanto,, X, e W formam uma quádrupla harmônica. Suponha que, X, e W formam uma quádrupla harmônica, ou seja, X X = W W. elo teorema de Menelaus temos que ortanto, X, Y e Z são concorrentes. W W Z Z Y Y = 1. X X Z Z Y Y = 1, e Teorema 4. (ircunferência de polônio) Sejam e dois pontos fixos e k 1 é uma constante real. O lugar geométrico dos pontos que satisfazem = k é uma circunferência conhecida como circunferência de polônio. Demonstração. rimeiro observe que sobre a reta existem exatamente dois pontos do lugar geométrico. or e trace segmentos paralelos MN e Q com Q = 1 e M = N = k. Sejam e S as intersecções de QN e QM com, respectivamente. 3

4 OT Geometria - Nível 3 - ula 15 - rof. ícero Thiago M Q S N omo os triângulos N e Q são semelhantes então = N Q = k = k. lém 1 disso, também são semelhantes os triângulos SM e SQ então S S = M Q = k 1 = k. ortanto, e S pertencem ao lugar geométrico. Suponha que é um ponto do lugar geométrico, então = k =, portanto é a bissetriz interna do ângulo e como = k = S então S é a bissetriz externa do mesmo ângulo, isto garante que S está sobre a circunferência de diâmetro S (orque o ângulo S = 90?). S eciprocamente, considere um ponto sobre a circunferência de diâmetro S. Demonstraremos que é um ponto do lugar geométrico. elo ponto trace paralelas E e F às retas e S de tal forma que intersectem em E e F, respectivamente. omo os triângulos e E são semelhantes com lados paralelos, pelo teorema de Tales temos que E = = k. elo mesmo motivo os triângulos semelhantes F e S garantem que F = S = k. ssim, E = F, ou seja, é o ponto médio do segmento EF e S como otriângulo EF é retângulo temos que = E = F. ortanto, = E = k, 4

5 OT Geometria - Nível 3 - ula 15 - rof. ícero Thiago com isso podemos afirmar que pertence ao lugar geométrico. F E S Teorema 5. Seja,, e D uma quádrupla harmônica. Seja O um ponto que não pertence à reta. Se uma paralela pelo ponto à O intersecta O e OD em pontos e Q então = Q. Demonstração. O Q D Temos que os triângulos O e são semelhantes então O =. lém disso, os triângulos OD e QD são semelhantes então O Q = D D. omo,, e D é uma quádrupla harmônica então = D. ortanto, é fácil concluir que, = D Q. Teorema 6. Sejam,, e D quatros pontos colineares e seja O um ponto que não pertence à reta. Se a paralela à O passando por intersecta O e OD em pontos e Q, 5

6 OT Geometria - Nível 3 - ula 15 - rof. ícero Thiago respectivamente, tais que = Q então,, e D formam umaquádruplaharmônica. Demonstração. O Q D Temos que os triângulos O e são semelhantes então O =. lém disso, os triângulos OD e QD são semelhantes então O Q = D D. omo = Q, então = D. ortanto, é fácil concluir que,,, e D é uma D quádrupla harmônica. Teorema 7. Seja,, e D uma quádrupla harmônica e um ponto O que não pertence à reta. Sejam M,, N e S as intersecções de O, O, O e OD, respectivamente, com uma reta arbitrária. Então, M,, N e S formam uma quádrupla harmônica. Demonstração. elos pontos e N trace paralelas à O que intersectam O e OD, respectivamente, nos pontos, Q e L, T. É fácil ver que LN = O ON = Q NT. omo,, e D formam uma quádrupla harmônica então, pelo teorema 5, que = Q. om isso, LN = NT e, portanto, M,, N e S formam uma quádrupla harmônica pelo teorema 6. 6

7 OT Geometria - Nível 3 - ula 15 - rof. ícero Thiago O T M L N S Q D roblema1. SejaDumquadriláteroinscritoemumacircunferênciatalque = D e é um diâmetro. Seja um ponto sobre o arco que não contém e D. Se e D intersectam o lado nos pontos E e F, respectivamente, e E = 3 e EF = 2, determine F. Solução. omo = D então = D = α. omo = 90 então F = 90 α = β e Q = 90 α = β. ortanto, E e são bissetrizes interna e externa do ângulo F, respectivamente e, com isso,, E, F e formam um quádrupla harmônica então E EF = F 3 F +5 = F = F 7

8 OT Geometria - Nível 3 - ula 15 - rof. ícero Thiago Q α α β β E F O D roblema 2. (Turquia) Seja um triângulo com. s bissetrizes interna e externa relativas ao vértice intersectam a reta em D e E, respectivamente. Se os pés das perpendiculares baixadas de um ponto F do círculo de diâmentro DE sobre as retas, e são K, L e M, respectivamente, prove que KL = KM. Solução. O círculo de diâmetro DE é um círculo de polônio do triângulo relativo ao vértice então F F =. (1) ela lei dos senos temos que De (1) e (2) temos que = sin sin. (2) F F = sin sin Fsin = Fsin. (3) omo o círculo de diâmetro F passa pelos pontos K e M, então KM = Fsin. 8

9 OT Geometria - Nível 3 - ula 15 - rof. ícero Thiago De maneira similar, temos que ortanto, de (3), temos que KL = KM. KL = Fsin. M L F D K E Exercícios propostos 1. Em um triângulo, D e E são as bissetrizes interna e externa, respectivamente. Se D = 5 e D = 3, determine a medida do segmento E. 2. Seja um triângulo e sejam D o pé da bissetriz relativa ao vértice, I o incentro e I a o ex - incentro oposto ao vértice. rove que, I, D e I a formam uma quádrupla harmônica. 3. Em um triângulo não equilátero, a reta que passa pelo baricentro e pelo incentro é paralela a um dos lados do triângulo. Demonstre que os lados do triângulo estão em progressão aritmética. 4. (Shortlist IMO) Seja um triângulo, e sejam D,E,F os pontos de tangência do círculo inscrito no triângulo com os lados, e respectivamente. Seja X um ponto no interior do triângulo tal que o círculo inscrito no triângulo X tangencia X,X e em Z,Y e D, respectivamente. rove que EFZY é inscritível. 9

10 OT Geometria - Nível 3 - ula 15 - rof. ícero Thiago 5. (TST Jr alkan - omênia) Seja um triângulo retâgulo com = 90 e D um ponto sobre o lado. Sejam E o simétrico de com relação a D e F o ponto de intersecção de E com a perpendicular a por D. rove que F,DE e são concorrentes. ibliografia 1. Geometría - Teoría y práctica. Fernando lva Gallegos 2. ollege Geometry - n introduction to the modern geometry of the triangle and the circle. Nathan ltshiller - ourt 3. Geometría admila ulajich Manfrino e José ntonio Gómez Ortega 4. Harmonic Division and its pplications osmin ohoata 10