RESUMO. Palavras chave: pontos notáveis, triângulo, média ponderada.
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- Célia Melgaço Pinhal
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1 4 RESUMO O objetivo desse trabalho é apretar as coordenadas de pontos notáveis de um triângulo qualquer como médias ponderadas, caracterizadas de acordo com os pesos atribuídos. Palavras chave: pontos notáveis, triângulo, média ponderada.
2 5 STRT The objective of this work is displaying the coordinates of notable points of any triangle as weighted averages, characterized according to the weights assigned. Keywords: notable points, triangle, weighted average
3 6 ÍNDIE INTRODUÇÃO PÍTULO Definições Fundamentais Plano artesiano... 5 PÍTULO oordenadas do baricentro de um triângulo qualquer oordenadas do incentro de um triângulo qualquer oordenadas do ortocentro de um triângulo qualquer oordenadas do circuncentro de um triângulo qualquer Reta de Euler ONLUSÃO REFERÊNIS ILIOGRÁFIS... 36
4 7 INTRODUÇÃO Este trabalho tem como objetivo mostrar que as coordenadas dos pontos notáveis de um triângulo qualquer podem ser obtidas através do cálculo das médias ponderadas dos vértices, em que cada ponto possui os seus respectivos pesos. No capítulo, apretamos algumas definições fundamentais, tais como base média de um triângulo, mediana de um segmento, mediatriz de um segmento, altura de um triangulo, bissetrizes de ângulos, dentre outros especificados no mesmo. No capitulo, na seção. calculamos as coordenadas do baricentro de um triângulo qualquer. Na seção., calculamos as coordenadas do incentro de um triângulo qualquer. Na seção.3, calculamos as coordenadas do ortocentro de um triângulo qualquer. Na seção.4, calculamos as coordenadas do circuncentro de um triângulo qualquer e apretamos a reta de Euler na seção.5.
5 8 PITULO DEFINIÇÕES FUNDMENTIS Definição : SE MÉDI DE UM TRIÂNGULO É um segmento cujos extremos são pontos médios de dois lados de um triângulo. Teorema : TEOREM D SE MÉDI DE UM TRIÂNGULO Sejam M e N os pontos médios dos lados e do triângulo. Então, MN //, e MN. Demonstração: Seja P um ponto na semirreta MN, de forma que MN ( NP Temos que ΔMN ΔPN, pois:
6 9 MN PN NM ˆ NP ˆ N N Pelo caso LL de congruência de triângulos. Daí, temos: // P, pois MN ˆ Pˆ N, que são ângulos alternos internos formados pelas retas e P com a transversal. M P, pois P M M. Dessas duas relações concluímos que o quadrilátero MP é um paralelogramo. Donde concluímos que MP e MP //, consequentemente MN e MN //. Isso conclui a demonstração. Definição : MEDIN DE UM TRIÂNGULO mediana de um triângulo com relação a um vértice do triângulo é o segmento de extremos que vai deste vértice ao ponto médio do lado oposto. Teorema : s três medianas de um triângulo qualquer se encontram em um mesmo ponto. Tal ponto é chamado de baricentro do triângulo. Demonstração: onsideremos um triângulo de vértices, e (veja pg. Sejam M e N as medianas do relativas aos vértices e e denotemos por G a interseção dessas medianas. onsidere Q e R os pontos médios de G e G, respectivamente.
7 0 O quadrilátero MNQR é um paralelogramo. De fato, pelo teorema da base média temos: No que MN // e MN no. ssim MN // QR e MN QR. G que QR // e QR lém disso, do G a interseção das diagonais do paralelogramo MNQR, temos: G G M e G G N. onsideremos agora as medianas M e P. O quadrilátero MUTP é um paralelogramo. De fato, pelo teorema da base média temos: NO ssim G que UT // e no que UT // PM e UT PM. UT e PM // e PM. lém disso, do G a interseção das diagonais do paralelogramo MUTP, temos: T Q, G G M e G G P. omo existe um único ponto sobre M tal que que G G. M, concluímos
8 Dessa forma fica provado que as três medianas se encontram em um mesmo ponto. orolário: O baricentro está sobre cada mediana, a uma distancia do vértice de 3 da mediana relativa ao vértice. Definição 3: MEDITRIZ DE UM SEGMENTO É a reta perpendicular ao segmento, traçada pelo seu ponto médio. Observação: Da geometria plana pode-se demonstrar que a mediatriz de um segmento, é o lugar geométrico dos pontos que eqüidistam dos extremos deste segmento. Teorema 3: s três mediatrizes de um triângulo qualquer se encontram em um mesmo ponto. Tal ponto é chamado de circuncentro de um triângulo. Demonstração: Dado um e sejam m, m, m as mediatrizes referentes aos lados, e. O ponto O interseção de também, de pertence a equidista de m e m é o ponto que equidista de e e, e. Portanto, o ponto O eqüidista de e. Logo, O m. Isto é, as três mediatrizes se intersectam em O, que, e.
9 Definição 4: LTUR DE UM TRIÂNGULO É um segmento contido na reta que passa por um vértice e que é perpendicular e cujos extremos são esse vértice e a interseção dessa reta com o lado oposto. Teorema 4: s retas que contêm as alturas de um triângulo qualquer se encontram em um mesmo ponto. O ortocentro de um triângulo é o ponto onde se intersectam as retas que contêm as alturas do triângulo. Demonstração: Seja um triângulo qualquer. Pelos vértices, e desse triângulo, tracemos retas paralelas aos lados opostos a estes vértices, obtendo o MNP.
10 3 Temos que: NP e NP // MP e MP // MN e MN //. Daí: P é paralelogramo P N é paralelogramo N Logo, é ponto médio de PN. De forma análoga, concluímos que é ponto médio de PM, e é ponto médio de MN. s retas que contêm as alturas do são mediatrizes dos lados PM, PN e MN do PMN. Pelo teorema das mediatrizes sabemos que estas retas se encontram em um mesmo ponto. Este ponto é o ortocentro do triângulo. Definição 5: ISSETRIZ DE UM ÂNGULO bissetriz de um ângulo O ˆ é a semirreta de origem O, incluída no ângulo, e que o divide em dois outros de mesma medida.
11 4 Definição 6: ISSETRIZ DO ÂNGULO DE UM TRIÂNGULO bissetriz do triângulo relativa ao vértice, é o segmento contido na bissetriz do ângulo e cujos extremos são e a interseção desta com o lado oposto. Observação: Vale observar que a bissetriz de um ângulo, é o lugar geométrico dos pontos que equidistam dos lados do ângulo. TEOREM 5: s bissetrizes de um triângulo qualquer se encontram em um ponto comum. Tal ponto é chamado de incentro de um triângulo. Demonstração: Dado o, tracemos a bissetriz P e a bissetriz Q. Seja I a interseção de P e Q. Então: I Q d( I, d( I, e I P d( I, d( I,,donde d ( I, d( I,. Logo, I R.
12 5 PLNO RTESINO: Definição 7: SOM DE VETORES I II Definição 8: DIVISÃO DE UM SEGMENTO N RZÃO DD Dados três pontos colineares x, y, ( x, y, ( x, y, tal que (, dizemos que o ponto divide o segmento na razão r, com r > 0, e escrevemos r, se r. Proposição: oordenadas do ponto que divide na razão r.
13 6 Então, r cartesianas da seguinte forma:. Essa equação vetorial pode ser escrita em coordenadas r r( ( nalogamente, ( Y Y Y Y r Logo, ( r( r( Y Y Y,. EEMPLO: vamos calcular as coordenadas do ponto médio de um segmento Dado um segmento, determinar as coordenadas do ponto médio, M, desse segmento. Solução: Temos que M Daí obtemos que: M r, em que x x y y (, r Definição 9: Vetores linearmente dependentes Dois vetores são linearmente dependentes, quando um deles for um múltiplo escalar do outro.
14 7 Observação: Se dois vetores não nulos são linearmente dependentes, então eles têm a mesma direção. Definição 0: Vetores linearmente independentes Dois vetores são linearmente independentes, quando nenhum deles for um múltiplo escalar do outro. Observação: Se dois vetores são linearmente independentes, então eles possuem direções diferentes. Todo vetor no plano se escreve como combinação linear de dois vetores linearmente independentes. Repretando por u e v dois vetores linearmente independentes, então um vetor w é uma combinação linear de u e v, isto é, existem reais x e y tais que w x u y v. Definição : VETOR UNITÁRIO Dado um vetor OP 0, o seu vetor unitário é dado por OP u. Isto é, OP chamaremos de vetor unitário o vetor de norma, com o mesmo tido de OP.
15 8 Definição : EQUÇÃO D ISSETRIZ DO ÂNGULO NÃO NULO P ÔQ. Sejam os vetores unitários OP u e OP v OQ OQ. Então o vetor OD u v tem a direção da bissetriz do ângulo formado por u e v. De fato, OD dá a direção da diagonal do paralelogramo de lados paralelos a u e v. ssim a equação da bissetriz de PO ˆ Q é λ OD, com λ 0.
16 9 PÍTULO. OORDENDS DO RIENTRO DE UM TRIÂNGULO QULQUER: Teorema 6: Dado um triângulo qualquer de vértices, Y,, Y,, Y, o baricentro desse triângulo é dado por: ( ( ( G Y Y, 3 3 Y Demonstração: Seja M a mediana do relativa ao lado. Então, Y Y M, e G M. 3 Daí usando o teorema 6, temos: G G G G ( 3 M nalogamente temos:
17 0 Y G Y Y 3 Y Dessa forma podemos escrever Y Y G, 3 3 Observação: partir dessa seção usaremos notações envolvendo,,, com o intuito de expressar uma relação que vale simultaneamente para a abscissa e a ordenada de cada um desses pontos. Y Por exemplo, Y Y Y G, OORDENDS DO INENTRO DE UM TRIÂNGULO QULQUER Teorema 7: Dado o no plano, as coordenadas do incentro desse triângulo são dadas por: lados opostos aos vértices a b c I, do a, b, c as medidas dos a b c,, respectivamente. Demonstração: Na figura abaixo, I repreta o incentro do. Temos que : P e I P, R P e I P, R
18 Temos ainda as seguintes equações: I II I I De II temos: ( P ( P I I Observação: b, a, c III 0 b a c a De (I Podemos escrever: ( c c e substituir em III, em seguida colocamos e em evidência. Dessa forma obtemos: 0 b c a a c c i 0 b c b ii 0 a a c Substituindo i em ii, obtemos: ab. a b c Podemos então escrever que: I. Donde, x I x ab x x I a b c b ( b( a x x a b c ax ax bx bx x I a b c x I ax bx cx a b c x x a b c x x x a
19 nalogamente para a segunda coordenada, temos: c b a cy by ay I y Dessa forma podemos escrever c b a cy by Y a c b a c b a I, ( ( ( c b a Y c c b a Y b c b a Y a I,,, c b a c b a I
20 3.3 OORDENDS DO ORTOENTRO DE UM TRIÂNGULO QULQUER Teorema 8: s coordenadas do ortocentro de um triângulo por: é dada H tg tg tg tg tg tg Y tg Y tg Y tg,, isto é, tg tg tg H tg tg tg. tg tg tg Demonstração: s coordenadas dos pontos são, Y,, Y e, Y. ( ( ( Sejam,, e os pés das alturas relativas aos lados, e. Do triângulo tg tg, temos: Do triângulo, temos: tg tg Das relações obtidas em e, obtemos:
21 4 tg tg tg. Donde tg tg tg tg tg tg tg e, conseqüentemente, tg tg ssim concluímos que Daí, tg tg tg ( tg tg tg tg tg tg. tg tg tg. tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg nalogamente obtemos: tg tg tg tg onsiderando H, temos: ( H H ( H λ ( H λ ( H λ ( p (3 H ϑ ( H ϑ ( H ϑ ( q
22 5 (4 w, em que w tg tg tg Substituindo esses valores encontrados na equação (, vamos obter: (5 λ ( p ϑ ( q w 0 Para encontrarmos os valores de I p p p e q, faremos: Sabemos que tg e tg. Igualando as tangentes, temos: ( tg ( tg ( tg ( tg ( tg p ( tg tg ( ( tg tg tg tg ( tg tg ( tg tg ( tg ( tg ( tg II q q Sabemos que tg e tg. Igualando as tangentes, temos:
23 6 ( tg ( tg ( tg q ( tg tg ( ( tg tg tg tg ( tg tg ( tg tg ( tg ( tg ( tg Substituindo os valores de p e q em (5 e organizando a equação temos: λ λ ( p ϑ ( q w 0 ( p λ ϑ q ϑ w 0 ( λ p ϑ w ( λ ϑ q 0 I λ p ϑ w 0 λ II λ ϑ q 0 λ ϑ q ϑ q Substituindo II em I, temos: ϑ ϑ ϑ tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg ( tg tg ( tg tg ( tg tg ( tg tg tg ( tg tg ( tg tg ( tg tg De (3, temos:
24 7 H ϑ ( q H ϑ ϑ q H ϑ ( ϑ q( H ( ϑ ϑ q ( ϑ q ϑ ϑ tg tg tg tg ( tg tg ( tg tg ( tg tg ( tg tg tg tg ( tg tg ( tg tg tg tg ( tg tg ( tg tg Simplificando, obtemos: tg tg tg tg ϑ q tg tg tg ( tg tg tg ( ( ( tg tg tg tg tg tg Simplificando, obtemos: tg tg tg tg ϑ q ϑ ϑ ( q tg tg tg ( tg tg tg ( ( tg tg tg tg ( tg tg Simplificando, obtemos: tg tg tg tg
25 8 H tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg nalogamente, YH tg tg tg tg Y tg tg tg Y tg tg tg tg Y tg Dessa forma podemos escrever H tg tg tg. tg tg tg
26 9.4 OORDENDS DO IRUNENTRO DE UM TRIÂNGULO QULQUER Teorema 9: s coordenadas do circuncentro de um é dada por: N ( ( ( ( ( ( Demonstração: Vamos considerar o, e a seguir tomaremos os pontos P, Q e R, médios aos respectivos lados,, e. Temos que: P, Os triângulos que: Q, PR //, QP //, QR //. R. e PQR têm os ângulos iguais e podemos dizer também Logo as mediatrizes dos lados do contêm as alturas do PQR.
27 30 Portanto o circuncentro N do Logo: N P tg Q tg R tg tg tg tg é o ortocentro do PQR. N N N N N N tg tg tg tg tg tg ( tg ( tg ( ( tg tg tg tg ( tg ( tg tg ( tg tg ( tg tg tg tg ( tg tg tg ( tg tg tg tg ( tg tg tg tg ( tg tg tg tg ( tg tg tg ( tg ( tg tg tg ( tg tg ( tg tg tg tg tg tg (*. Essa é uma primeira expressão para N. Trabalharemos a seguir para obter como uma média ponderada. Na verdade, N De fato ( ( ( ( ( (
28 ( ( tg tg tg tg tg tg N Então: ( N ( ( N ( N ( ( - ( ( ( ( ( N ( ( ( ( N Observações: º 80 ( ( ( º 80 3 ( ( ( º 80 4 ( ( ( λ º 80 3
29 3 Substituindo as observações,,3 e 4 na equação a seguir N ( ( ( (, temos: N N ( ( ( ( ( ( ( ( Multiplicando o numerador e o denominador por, segue: N N 4 4 ( ( ( ( ( Devolvendo apenas o denominador ( 4, temos: ( ( ( ( ( ( ( ( 4 gora vamos mostrar que: ( ( ( ( ( 4 ( ( ( ( ( (
30 33 ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (. ssim, ( ( ( ( ( 4. Dessa forma podemos escrever N ( ( ( ( ( (.
31 34.5 RET DE EULER Da relação em (* da pg.6, temos que: 3 N G H 3G H G N, G e H são colineares. reta que contém esses pontos do. HG, o que quer dizer que os pontos N, G e H é denominada a reta de Euler
32 35 ONLUSÃO: o iniciar este trabalho, percebi como os conteúdos matemáti estão entrelaçados de uma maneira muito interessante e desafiadora. Em alguns momentos, tive muita dificuldade em perceber esta relação entre os diversos conteúdos utilizados para as demonstrações feitas nos capítulos anteriores. idéia de unificar uma fórmula para provar que os centros dos triângulos partem de uma mesma fórmula, e o que as diferencia são os pesos utilizados, é realmente muito interessante e divertido de descobrir. prendi que para atingirmos nossos objetivos, nesse caso, das demonstrações é necessário muita dedicação, atenção e força de vontade. Precisei superar medos, inseguranças e tabus que eu também tinha sobre alguns conteúdos matemáti. Meu orientador foi de muita importância para que eu atingisse esse objetivo. Ele me deu forças e conselhos, que me ajudaram a me esforçar e cumprir a tarefa a que me dispus. Que este trabalho possa ser um meio de ajuda para outros colegas que como eu, tive a força de vontade para superar as dificuldades que às vezes encontramos em nossos caminhos matemáti.
33 36 REFERÊNIS ILIOGRÁFIS: Revistas R.P.M. Vol. e 3 Seção de problemas Sociedade rasileira de Matemática. Revista R.P.M. Vol.43 Seção sobre oordenadas para os centros dos triângulos Sociedade rasileira de Matemática.
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