Polos Olímpicos de Treinamento. Aula 8. Curso de Geometria - Nível 3. Teorema de Menelaus e problemas de colinearidade. Prof.
|
|
- Victor Gabriel Gama Valverde
- 7 Há anos
- Visualizações:
Transcrição
1 Polos Olímpicos de Treinamento urso de Geometria - Nível 3 Prof. ícero Thiago Aula 8 Teorema de Menelaus e problemas de colinearidade Teorema 1. Se uma reta intersecta as retas, A e A de um triângulo A nos pontos L, M e N, respectivamente, então L L N NA AM M = 1. Inversamente, se L, M e N são pontos sobre os lados, A e A do triângulo A tais que L L N NA AM = 1, então L, M e N são colineares. M Demonstração. A Q N P M R L Sejam AP, Q e R as perpendiculares traçadas a partir de A, e, respectivamente, à reta em que se encontram L, M e N. É fácil ver que os triângulos retângulos APN e QN são semelhantes, assim como os triângulos retângulos QL e RL. Então N AN = Q AP e L L = R Q. Por outro lado, os triângulos retângulos APM e RM também são semelhantes. De modo que AM M = AP R.
2 POT Geometria - Nível 3 - Aula 8 - Prof. ícero Thiago Portanto, N AN L L AM M = Q AP R Q AP R = 1. A N N 1 M L Suponha, de maneira falsa, que L L N NA AM = 1 e os pontos L, M e N não são M colineares. Prolongue LM até intersectar A em N 1. Pelo que foi provado acima temos que L L N 1 N 1 A AM M = 1, assim N1 N 1 A = N NA N = N 1. Dessa forma, L, M e N são colineares. Teorema 2. (Pascal) Seja ADEF um hexágono inscrito em um círculo e sejam H, K e I os pontos de intersecção de A e ED, e FE e AF e D, respectivamente. Então, H, K e I são colineares. Demonstração. As retas A, D e EF determinam o triângulo XYZ. onsidere as retas AFI, K e HDE que cortam as retas que formam o triângulo XYZ. Aplicando o teorema de Menelaus, temos XA AZ ZF FY YI IX = 1, X Z ZK KY Y X = 1, XH HZ ZE EY YD DX = 1. Multiplicando as três igualdades e considerando que XA X = X XD =,Y YD = YE YF e ZE ZF = ZA Z(provaremos a validade destas igualdades na aula de Potência 2
3 POT Geometria - Nível 3 - Aula 8 - Prof. ícero Thiago deponto e Eixoradical), obtemos YI XH ZK = 1. Pelo teorema demenelaus temos que IX HZ KY I, K eh sãocolineares. OteoremadePascal permitevariaçõescomooexercícioresolvido2. I Z F A E Y D X K H Exercícios resolvidos 1. Dadas três circunferências 1, 2 e 3 de centros O 1, O 2 e O 3 e raios r 1, r 2 e r 3, respectivamente. Seja X a intersecção das tangentes comuns externas de 1 e 2, Y a intersecção das tangentes comuns externas de 1 e 3 e, finalmente, Z a intersecção das tangentes comuns externas de 2 e 3. Prove que X, Y e Z são colineares. Solução. Éfácil verificarquex, O 1 eo 2 sãocolineares. Assim, XO 1 P 1 XO 2 P 2 e, com isso, O 1X O 2 X = O 1P 1 = r 1. Analogamente, O 3Y O 2 P 2 r 2 O 1 Y = r 3 e O 2Z r 1 O 3 Z = r 2. Portanto, r 3 O 1 X O 2 X O3Y O 1 Y O2Z O 3 Z = 1. Pela recíproca do teorema de Menelaus concluímos que X, Y e Z são colineares. Este resultado é conhecido como teorema de Monge. 3
4 POT Geometria - Nível 3 - Aula 8 - Prof. ícero Thiago Z Y O 2 O 1 X P 1 P 2 O 3 2. SejaP umpontonointerior dotriângulo A. Sejam M en as projeções dep sobre A e A, respectivamente. Seja K a projeção de A sobre P e seja L a projeção de A sobre P. Prove que KM, LM e são concorrentes. Solução. É fácil ver que A, K, M, P, N e L são concíclicos. No hexágono AKMPNL temos que AM LP =, AN KP =, KM LN = Q. 4
5 POT Geometria - Nível 3 - Aula 8 - Prof. ícero Thiago Pelo teorema de Pascal temos que, e Q são colineares, ou seja, KM, LM e são concorrentes. A L K N M P Q 3. Prove que as bissetrizes internas de dois ângulos de um triângulo isósceles e a bissetriz externa do terceiro ângulo do triângulo intersectam os lados opostos em três pontos colineares. Solução. No triângulo A, M e N são bissetrizes internas dos ângulos e, respectivamente, e AL é a bissetriz externa do ângulo A. Pelo teorema da bissetriz interna temos que AM M = A e N NA = A. Além disso, pelo teorema da bissetriz externa temos que Assim, L L = A A. 5
6 POT Geometria - Nível 3 - Aula 8 - Prof. ícero Thiago AM M N NA L L = A A A A = 1. Pela recíproca do teorema de Menelaus temos que N, M e L são colineares. N A M L 4. Seja G o baricentro do triângulo A e sejam AM, N e K as bissetrizes internas com M em, N em A e K em A. Prove que umadas alturas do triângulo A é igual a soma das outras duas se, e somente se, G pertence a um lado do triângulo MNK. Solução. Vamos supor que o baricentro G pertence ao lado NK do triângulo MNK. Seja X AN o ponto médio de A. K M G A D N onsidere o triângulo AX, em que K, G e N são colineares e pertencem, respectivamente, às retas A, X e XA. Pelo teorema de Menelaus temos AK K G GX XN NA = 1. (1) Além disso, pelo toerema da bissetriz interna e por G ser o baricentro temos AK K = A e G GX = 2. (2) 6
7 POT Geometria - Nível 3 - Aula 8 - Prof. ícero Thiago Se = a, A = b e A = c e substituindo (2) em (1) temos Temos que AN = bc a+c Então, Substituindo em (3) temos b XN 2 a NA = 1. (3) pelo teorema da bissetriz interna. Por outro lado, XN = AN AX = bc a+c b 2 = bc ba 2(a+c). XN AN = bc ba 2(a+c) a+c = c a bc 2c. 1 = 2 b a c a ac = bc ab 2c bc = ac+ab. (4) Se s = [A] e h A, h e h são as alturas do triângulo A correspondentes aos vértices A, e temos que Então, se em (4) multiplicarmos por ou seja, 2s = a h A = b h = c h. s, temos que abc s a = s b + s c, h A = h +h. Reciprocamente, se h A = h +h, fazendo o processo inverso chegamos em AK K G GX XN NA = 1. Assim, pelo teorema de Menelaus temos que K, G e N são colineares. 7
8 POT Geometria - Nível 3 - Aula 8 - Prof. ícero Thiago 5. (Reta de Newton) Seja AD um quadrilátero tal que A e D intersectam - se em E, AD e intersectam - se em F e sejam N, L e M os pontos médios de EF, A e D, respectivamente. Prove que N, L e M são colineares. Solução. E A P M L D Q N R F Sejam P, Q e R os pontos médios de E, E,, respectivamente. Pelo teorema da base média temos que Q, L e R são colineares e QL LR = EA A. Da mesma forma, P, MR e R são colineares e e N, Q e P são colineares e RM MP = D DE, PN NQ = F F. Aplicando o teorema de Menelaus no triângulo E cortado pela transversal ADF temos EA A F F D DE = 1, portanto QL LR RM MP PN NQ = EA A D DE F = 1. Pelo teorema de Menelaus aplicadoaotriângulopqreospontosm, LeN concluímos quem, LeN F sãocolineares. Exercícios propostos 8
9 POT Geometria - Nível 3 - Aula 8 - Prof. ícero Thiago 1. Prove que as bissetrizes externas dos ângulos de um triângulo, não isósceles, intersectam os lados opostos em três pontos colineares. 2. O ortocentro de um triângulo A é o ponto médio da altura relativa ao vértice. Prove que cos = cos A cos, em que A, e são os ângulos do triângulo A. 3. A bissetriz AD de um triângulo A divide o lado na razão 2 : 1. Determine a razão em que a mediana E divide a bissetriz. 4. (Macedônia) Seja Γ a circunferência circunscrita ao triângulo A. Seja D a intersecção da tangente à Γ, em A, com o lado, E a intersecção da tangente à Γ, em, com o lado A e F a intersecção da reta tangente à Γ, em, com o lado A. Prove que D, E e F são colineares. 5. (OM) No triângulo A, D é ponto médio de A e E ponto sobre o lado tal que E = 2 E. Sabendo que AD = AE, calcule o valor de A. 6. (IMO) As diagonais A e E de um hexágono regular ADEF são divididas internamente pelos pontos M e N, respectivamente, narazão AM A = N = r. Determine E r se, M e N são colineares. 7. Seja A um triângulo e sejam E e D pontos sobre o lado tal que E = ED = D. Seja F o ponto médio de A e G o ponto médio de A. Seja H a intersecção de EG e FD. Determine o valor de EH HG. 8. Seja AD um trapézio com A D e seja X um ponto no segmento A. Se P é a intersecção de e AD, Y a intersecção de D e PX, R a intersecção de AY e 1 D e T a intersecção de PR e A. Prove que AX = 1 AX + 1 A. 9. (one Sul) Seja uma circunferência de centro O, A um diâmetro dela e R um ponto qualquer em distinto de A e de. Seja P a intersecção da perpendicular traçada por O a AR. Sobre a reta OP se marca o ponto Q, de maneira que QP é a metade de PO e Q não pertence ao segmento OP. Por Q traçamos a paralela a A que corta a reta AR em T. hamamos de H o ponto de intersecção das retas AQ e OT. Provar que H, R e são colineares. 9
10 POT Geometria - Nível 3 - Aula 8 - Prof. ícero Thiago 10. Seja AD um quadrilátero. Seja P a intersecção de e AD, Q a intersecção de A e D e R a intersecção de A e D. Prove que os pontos de intersecção de e QR, de A e RP e de A e PQ são colineares. ibliografia 1. Leccture Notes on Mathematical Olympiad ourses For senior Section, vol. 1 Xu Jiagu 2. Advanced Euclidean Geometry Alfred Posamentier 3. III Olimpiada Nacional Escolar de Matemática 2006 Jorge Tipe, John uya, laudio Espinoza e Sergio Vera. 4. Explorations in Geometry ruce Shawyer 5. oleção Elementos de Matemática, vol.2 Marcelo Rufino de Oliveira 6. The theorem of Menelaus. Orach Quantum - May/Jun Problemas de Geometría - Planimetria I. Shariguin 10
Teorema de Ceva e Teorema de Menelaus. [ ACD] [ CPD] = [ APB] . Assim, BD FB = K C K A
Polos Olímpicos de Treinamento urso de Geometria - Nível 2 Prof. ícero Thiago ula 14 Teorema de eva e Teorema de Menelaus. Teorema 1. (eva) Sejam D, E e F pontos sobre os lados, e, respectivamente, do
Leia maisTeorema de Ceva [ ACD] [ CPD] = [ APB] . Assim, BD FB = K C K A
Polos Olímpicos de Treinamento urso de Geometria - Nível 3 Prof. ícero Thiago ula 7 Teorema de eva Teorema 1. Sejam D, E e F pontos sobre os lados, e, respectivamente, do triângulo. Os segmentos D, E e
Leia maisPotência de ponto e eixo radical
Polos Olímpicos de Treinamento Curso de Geometria - Nível 3 Prof. Cícero Thiago Aula 11 Potência de ponto e eixo radical Chamaremos de Eixo radical o lugar geométrico dos pontos que possuem a mesma potência
Leia maisPolos Olímpicos de Treinamento. Aula 17. Curso de Geometria - Nível 2. Pontos Notáveis 3: Circuncentro e Ortocentro. Prof.
Polos Olímpicos de Treinamento urso de Geometria - Nível 2 Prof. ícero Thiago ula 17 Pontos Notáveis 3: ircuncentro e Ortocentro Teorema 1. Sejam, e P três pontos distintos no plano. Temos que P = P se,
Leia maisPolos Olímpicos de Treinamento. Aula 8. Curso de Geometria - Nível 2. Quadriláteros inscritíveis. Prof. Cícero Thiago
Polos Olímpicos de Treinamento urso de Geometria - Nível 2 Prof. ícero Thiago ula 8 Quadriláteros inscritíveis Teorema 1. Um quadrilátero é inscritível se, e somente se, a soma dos ângulos opostos é 180.
Leia maisTEOREMA DE CEVA E MENELAUS. Teorema 1 (Teorema de Ceva). Sejam AD, BE e CF três cevianas do triângulo ABC, conforme a figura abaixo.
TEOREMA DE CEVA E MENELAUS Definição 1. A ceviana de um triângulo é qualquer segmento de reta que une um dos vértices do triângulo a um ponto pertencente à reta suporte do lado oposto a este vértice. Teorema
Leia maisPonto médio lembra? Outro ponto médio! Dois pontos médios lembram? Base média!
Ponto médio lembra? Outro ponto médio! Dois pontos médios lembram? ase média! ícero Thiago 8 de março de 011 Propriedade 1. Num triângulo retângulo, a mediana M relativa à hipotenusa mede metade da hipotenusa.
Leia maisAlgumas propriedades importantes de triângulos
Polos Olímpicos de Treinamento urso de Geometria - Nível Prof. ícero Thiago ula 5 lgumas propriedades importantes de triângulos Propriedade 1. Num triângulo retângulo, a mediana M relativa à hipotenusa
Leia maisPolos Olímpicos de Treinamento. Aula 11. Curso de Geometria - Nível 2. Potência de ponto e eixo radical. Prof. Cícero Thiago
olos Olímpicos de Treinamento Curso de Geometria - Nível 2 rof. Cícero Thiago Aula 11 otência de ponto e eixo radical 1. Definição Seja Γ uma circunferência de centro O e raio R. Seja um ponto que está
Leia maisOrtocentro, Reta de Euler e a Circunferência dos 9 pontos
Prof. ícero Thiago - cicerothmg@gmail.com rtocentro, Reta de uler e a ircunferência dos 9 pontos Propriedade 1. Seja o centro da circunferência circunscrita ao triângulo acutângulo e seja a projeção de
Leia maisPolos Olímpicos de Treinamento. Aula 16. Curso de Geometria - Nível 2. Pontos Notáveis 2: Incentro. Prof. Cícero Thiago
Polos Olímpicos de Treinamento urso de Geometria - Nível Prof. ícero Thiago ula 16 Pontos Notáveis : ncentro Teorema 1. Seja XOY umângulodadoep umpontoemseuinterior. Então, adistância de P a XO é igual
Leia maisPolos Olímpicos de Treinamento. Aula 13. Curso de Geometria - Nível 3. Prof. Cícero Thiago
Polos Olímpicos de Treinamento urso de Geometria - Nível 3 Prof. ícero Thiago ula 13 Revisão I Problema 1. Em um triângulo, = 100 e =. Seja D a bissetriz de, com D sobre o lado. Prove que D +D =. É fácil
Leia maisLista 5. Geometria, Coleção Profmat, SBM. Problemas selecionados da seção 4.1, pág. 147 em diante.
MA13 Exercícios das Unidades 8, 9 e 10 2014 Lista 5 Geometria, Coleção Profmat, SBM. Problemas selecionados da seção 4.1, pág. 147 em diante. 1) As retas r, s e t são paralelas com s entre r e t. As transversais
Leia maisPontos Notáveis II: Baricentro e reta de Euler
Polos Olímpicos de Treinamento urso de Geometria - Nível 3 Prof. ícero Thiago ula 5 Pontos Notáveis II: aricentro e reta de Euler Propriedade 1. Num triângulo retângulo, a mediana relativa à hipotenusa
Leia maisPolos Olímpicos de Treinamento. Aula 15. Curso de Geometria - Nível 2. Pontos Notáveis 1: Baricentro. Prof. Cícero Thiago
olos Olímpicos de Treinamento urso de Geometria - Nível rof. ícero Thiago ula 15 ontos Notáveis 1: aricentro ropriedade 1. s três medianas de um triângulo intersectam - se num mesmo ponto, chamado baricentro,
Leia maisPolos Olímpicos de Treinamento. Aula 9. Curso de Geometria - Nível 2. Teorema de Ptolomeu. Prof. Cícero Thiago
Polos Olímpicos de Treinamento urso de Geometria - Nível 2 Prof. ícero Thiago ula 9 Teorema de Ptolomeu Teorema 1. (Ptolomeu) O produto dos comprimentos das diagonais de um quadrilátero inscritível é igual
Leia maisPolos Olímpicos de Treinamento. Aula 6. Curso de Geometria - Nível 2. Quadriláteros Notáveis. Prof. Cícero Thiago
Polos Olímpicos de Treinamento urso de Geometria - Nível 2 Prof. ícero Thiago ula 6 Quadriláteros Notáveis 1. Paralelogramo: Um quadrilátero convexo é dito um paralelogramo quando possuir lados opostos
Leia maisEstudo de Triângulos - Teorema de Menelaus e Relação de Stewart. Teorema de Menelaus. 9 ano E.F. Professores Cleber Assis e Tiago Miranda
Estudo de Triângulos - Teorema de Menelaus e Relação de Stewart Teorema de Menelaus 9 ano E.F. Professores Cleber Assis e Tiago Miranda Estudo de Triângulos - Teorema de Menelaus e Relação de Stewart Teorema
Leia maisPolos Olímpicos de Treinamento. Aula 12. Curso de Geometria - Nível 2. Prof. Cícero Thiago. Teorema 1. (Fórmula tradicional.) BC AD.
Polos Olímpicos de Treinamento urso de Geometria - Nível Prof ícero Thiago ula 1 Relações entre áreas I Teorema 1 (Fórmula tradicional) área do triângulo pode ser calculada por [ ] = Teorema (Área de um
Leia maisCircunferências ex - inscritas
Polos Olímpicos de Treinamento urso de Geometria - Nível Prof. ícero Thiago ula 18 ircunferências ex - inscritas Teorema 1. Seja XOY umângulodadoep umpontoemseuinterior. ntão, adistância de P a XO é igual
Leia maisLista 3. Geometria, Coleção Profmat, SBM. Problemas selecionados da seção 2.5, pág. 81 em diante.
MA13 Exercícios das Unidades 4 e 5 2014 Lista 3 Geometria, Coleção Profmat, SBM. Problemas selecionados da seção 2.5, pág. 81 em diante. 1) Seja ABCD um quadrilátero qualquer. Prove que os pontos médios
Leia maisPolos Olímpicos de Treinamento. Aula 15. Curso de Geometria - Nível 3. Quádruplas harmônicas e circunferência de Apolônio. Prof.
olos Olímpicos de Treinamento urso de Geometria - Nível 3 rof. ícero Thiago ula 15 Quádruplas harmônicas e circunferência de polônio Teorema 1. (issetriz interna) bissetriz interna L do ângulo de um triângulo
Leia maisTeorema de Tales. MA13 - Unidade 8. Resumo elaborado por Eduardo Wagner baseado no texto: A. Caminha M. Neto. Geometria.
Teorema de Tales MA13 - Unidade 8 Resumo elaborado por Eduardo Wagner baseado no texto: A. Caminha M. Neto. Geometria. Coleção PROFMAT Proporcionalidade 1. Dizemos que o segmento x é a quarta proporcional
Leia maisTema III Geometria analítica
Tema III Geometria analítica Unidade 1 Geometria analítica no plano Páginas 154 a 181 1. a) A(1, ) B( 3, 1) d(a, B) = ( 3 1) + (1 ( )) = ( 4) + 3 = 16 + 9 = 5 = 5 b) C ( 3, 3) O(0, 0) d(c, O) = (0 3 )
Leia maisCircunferência e círculo. Posições relativas de ponto e circunferência. Posições relativas de reta e circunferência
Circunferência e círculo Circunferência de centro O e raio r é o lugar geométrico dos pontos do plano que estão a uma distância r do ponto O. Observação O conjunto constituído dos pontos de uma circunferência
Leia mais(A) 30 (B) 6 (C) 200 (D) 80 (E) 20 (A) 6 (B) 10 (C) 15 (D) 8 (E) 2 (A) 15 (B) 2 (C) 6 (D) 27 (E) 4 (A) 3 (B) 2 (C) 6 (D) 27 (E) 4
TEOREMA DE TALES 1. Na figura abaixo as retas r, s e t são (A) 0 (B) 6 (C) 00 (E) 0. Três retas paralelas são cortadas por duas Se AB = cm; BC = 6 cm e XY = 10 cm a medida, em cm, de XZ é: (A) 0 (B) 10
Leia maisPropriedades do ortocentro
Programa límpico de Treinamento Curso de Geometria - Nível 3 Prof. Rodrigo ula 4 Propriedades do ortocentro ortocentro é o ponto de encontro das três alturas de um triângulo arbitrário. Se o triângulo
Leia maisENSINO PRÉ-UNIVERSITÁRIO PROFESSOR(A) TURNO. 01. Determine a distância entre dois pontos A e B do plano cartesiano.
SÉRIE ITA/IME ENSINO PRÉ-UNIVERSITÁRIO PROFESSOR(A) ALUNO(A) TURMA MARCELO MENDES TURNO SEDE DATA Nº / / TC MATEMÁTICA Geometria Analítica Exercícios de Fixação Conteúdo: A reta Parte I Exercícios Tópicos
Leia maisTRIÂNGULOS. Condição de existência de um triângulo
TRIÂNGULOS Condição de existência de um triângulo Em todo triângulo, a soma das medidas de dois lados sempre tem que ser maior que a medida do terceiro lado. EXERCÍCIO 1º Será que conseguiríamos desenhar
Leia maisAula 9 Triângulos Semelhantes
MUL 1 - UL 9 ula 9 Triângulos Semelhantes efinição: ois triângulos são semelhantes se os três ângulos são ordenadamente congruentes e se os lados homólogos são proporcionais. figura mostra dois triângulos
Leia maisMA13 Geometria AV1 2014
MA13 Geometria AV1 2014 Questão 1 [ 2,0 pt ] Considere um paralelogramo ABCD e sejam M o centro da circunferência definida pelos vértices A, B e C N o centro da circunferência definida pelos vértices B,
Leia maisMATEMÁTICA 3 GEOMETRIA PLANA
MATEMÁTICA 3 GEOMETRIA PLANA Professor Renato Madeira MÓDULO 13 Circunferência e Círculo Circunferência é o lugar geométrico dos pontos do plano cujas distâncias a um ponto fixo (centro) são iguais a uma
Leia maisTeorema de Ceva AULA. META: O Teorema de Ceva e algumas aplicações. OBJETIVOS: Enunciar e demonstrar o Teorema de Ceva; Aplicar o Teorema de Ceva.
META: O Teorema de Ceva e algumas aplicações. OBJETIVOS: Enunciar e demonstrar o Teorema de Ceva; Aplicar o Teorema de Ceva. PRÉ-REQUISITOS O aluno deverá ter compreendido as aulas anteriores. .1 Introdução
Leia maisAvaliação 1 Solução Geometria Espacial MAT 050
Avaliação 1 Solução Geometria Espacial MAT 050 6 de abril de 2018 As respostas das quatro questões a seguir devem ser entregue até o final da aula de hoje: 1. (3 pontos) Mostre que por dois pontos dados
Leia maisAxiomas e Proposições
Axiomas e Proposições Axiomas: I Incidência I.1 Existem infinitos pontos no plano. I.2 Por dois pontos distintos (ou seja, diferentes) passa uma única reta. I.3 Dada uma reta, existem infinitos pontos
Leia mais1. Área do triângulo
UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA Geometria Plana II Prof.:
Leia maisMATEMÁTICA 3 GEOMETRIA PLANA Professor Renato Madeira. MÓDULO 5 Quadriláteros
MATEMÁTICA 3 GEOMETRIA PLANA Professor Renato Madeira MÓDULO 5 Quadriláteros Os dois dias mais importantes da sua vida são o dia em que você nasceu e o dia em que você descobre o porquê. (Mark Twain) SUMÁRIO
Leia maisGeometria Plana - Aula 05
Geometria Plana - Aula 05 Elaine Pimentel Universidade Federal de Minas Gerais, Departamento de Matemática Geometria Plana Especialização 2008 - p. 1 Esquema da aula Quadrilátero - definição e. Quadriláteros
Leia maisPOTÊNCIA DE PONTO, EIXO RADICAL, CENTRO RADICAL E APLICAÇÕES Yuri Gomes Lima, Fortaleza - CE
PTÊNI PNT, IX RIL, NTR RIL PLIÇÕS Yuri Gomes Lima, Fortaleza - Nível INTRUÇÃ Muitas vezes na Geometria Plana nos deparamos com problemas em que não temos muitas informações a respeito de ângulos e comprimentos,
Leia maisPolos Olímpicos de Treinamento. Aula 10. Curso de Geometria - Nível 2. Potência de ponto. Prof. Cícero Thiago
olos límpicos de Treinamento Curso de Geometria - Nível 2 rof. Cícero Thiago ula 10 otência de ponto 1. Definição Seja Γ uma circunferência de centro e raio R. Seja um ponto que está a uma distância d
Leia maisMatemática. Nesta aula iremos aprender as. 1 Ponto, reta e plano. 2 Posições relativas de duas retas
Matemática Aula 5 Geometria Plana Alexandre Alborghetti Londero Nesta aula iremos aprender as noções básicas de Geometria Plana. 1 Ponto, reta e plano Estes elementos primitivos da geometria euclidiana
Leia maisMatemática D Extensivo V. 3
Extensivo V. Resolva Aula 9 9.0) C 9.01) B Em AC, temos: 8 x + 7 x = 9 6 = x x = PQRO é um losango. Assim, os ângulos opostos são iguais. + 00 = 60 = 80 o Aula 10 9.0) B 10.01) Comprimento:. = Comprimento:.
Leia maisÁreas IME (A) (B) (C) (D) 104 (E) e 2
Áreas IME 1. (IME 010) Seja ABC um triângulo de lados AB, BC e AC iguais a 6, 8, e 18, respectivamente. Considere o círculo de centro O isncrito nesse triângulo. A distância AO vale: 104 (A) 6 104 (B)
Leia maisPolos Olímpicos de Treinamento. Aula 18. Curso de Geometria - Nível 3. Transformações geométricas II - Simetria e rotação. Prof.
olos límpicos de Treinamento urso de Geometria - Nível 3 rof. ícero Thiago ula 18 Transformações geométricas II - Simetria e rotação. 1. Simetria com relação a um ponto. Dizemos que o ponto é o simétrico
Leia maisProfessor Mascena Cordeiro
www.mascenacordeiro.com Professor Mascena Cordeiro º Ano Ensino Médio M A T E M Á T I C A. Determine os valores de m pertencentes ao conjunto dos números reais, tal que os pontos (0, -), (, m) e (-, -)
Leia maisLISTA DE EXERCÍCIOS MAT GEOMETRIA E DESENHO GEOMÉTRICO I
LISTA DE EXERCÍCIOS MAT 230 - GEOMETRIA E DESENHO GEOMÉTRICO I 1. Numa geometria de incidência, o plano tem 5 pontos. Quantas retas tem este plano? A resposta é única? 2. Exibir um plano de incidência
Leia maisTriângulos classificação
Triângulos classificação Quanto aos ângulos Acutângulo: possui três ângulos agudos. Quanto aos lados Equilátero: três lados de mesma medida. Obs.: os três ângulos internos têm medidas de 60º. Retângulo:
Leia mais» Teorema (CROSSBAR) Seja ABC um triângulo e seja X um ponto em seu interior. Então todo raio AX corta o lado BC.
» Teorema (CROSSBAR) Seja ABC um triângulo e seja X um ponto em seu interior. Então todo raio AX corta o lado BC. Iniciamos, nesta seção, o estudo sistemático da geometria dos quadriláteros. Dentre os
Leia maisEstudo de Triângulos - Teorema de Menelaus e Relação de Stewart. 9 ano E.F. Professores Cleber Assis e Tiago Miranda
Estudo de Triângulos - Teorema de Menelaus e Relação de Stewart Relação de Stewart 9 ano E.F. Professores Cleber Assis e Tiago Miranda Estudo de Triângulos - Teorema de Menelaus e Relação de Stewart Relação
Leia maisAula 7 Complementos. Exercício 1: Em um plano, por um ponto, existe e é única a reta perpendicular
MODULO 1 - AULA 7 Aula 7 Complementos Apresentamos esta aula em forma de Exercícios Resolvidos, mas são resultados importantes que foram omitidos na primeira aula que tratou de Conceitos Básicos. Exercício
Leia maisConceitos básicos de Geometria:
Conceitos básicos de Geometria: Os conceitos de ponto, reta e plano não são definidos. Compreendemos estes conceitos a partir de um entendimento comum utilizado cotidianamente dentro e fora do ambiente
Leia maisPONTO MÉDIO LEMBRA? OUTRO PONTO MÉDIO! DOIS PONTOS MÉDIOS LEMBRAM? BASE MÉDIA! Cícero Thiago Magalhães
PONTO MÉDIO LEMBRA? OUTRO PONTO MÉDIO! DOIS PONTOS MÉDIOS LEMBRAM? BASE MÉDIA! Cícero Thiago Magalhães Nível Iniciante Propriedade 1 Num triângulo retângulo ABC, a mediana BM relativa à hipotenusa mede
Leia maisMaterial Teórico - Módulo: Vetores em R 2 e R 3. Módulo e Produto Escalar - Parte 2. Terceiro Ano - Médio
Material Teórico - Módulo: Vetores em R 2 e R 3 Módulo e Produto Escalar - Parte 2 Terceiro Ano - Médio Autor: Prof. Angelo Papa Neto Revisor: Prof. Antonio Caminha M. Neto Nesta segunda parte, veremos
Leia maisO TRIÂNGULO PSEUDO-RETÂNGULO E A HIPÉRBOLE EQUILÁTERA
O TRIÂNGULO PSEUDO-RETÂNGULO E A HIPÉRBOLE EQUILÁTERA SERGIO ALVES IME-USP salves@ime.usp.br Sejam A e A dois pontos distintos de um fixado plano euclidiano E. Se E indica a circunferência de diâmetro
Leia maisQuadriláteros Inscritíveis II. Nesta aula, trataremos de três teoremas muito utilizados em problemas de quadriláteros inscritíveis.
Programa Olímpico de Treinamento urso de Geometria - Nível 3 Prof. Rodrigo ula 2 Quadriláteros Inscritíveis II Nesta aula, trataremos de três teoremas muito utilizados em problemas de quadriláteros inscritíveis.
Leia maisa média de gols da primeira rodada, M G a média de gols das duas primeiras rodadas e x o número de gols da segunda rodada, tem-se 15 + x 15 M G
MATEMÁTICA O número de gols marcados nos 6 jogos da primeira rodada de um campeonato de futebol foi 5,,,, 0 e. Na segunda rodada, serão realizados mais 5 jogos. Qual deve ser o número total de gols marcados
Leia maisObjetivos. em termos de produtos internos de vetores.
Aula 5 Produto interno - Aplicações MÓDULO 1 - AULA 5 Objetivos Calcular áreas de paralelogramos e triângulos. Calcular a distância de um ponto a uma reta e entre duas retas. Determinar as bissetrizes
Leia maisGeometria plana. Índice. Polígonos. Triângulos. Congruência de triângulos. Semelhança de triângulos. Relações métricas no triângulo retângulo
Índice Geometria plana Polígonos Triângulos Congruência de triângulos Semelhança de triângulos Relações métricas no triângulo retângulo Quadriláteros Teorema de Tales Esquadros de madeira www.ser.com.br
Leia mais1ª Aula. Introdução à Geometria Plana GEOMETRIA. 3- Ângulos Consecutivos: 1- Conceitos Primitivos: a) Ponto A. b) Reta c) Semi-reta
1ª Aula 3- Ângulos Consecutivos: Introdução à Geometria Plana 1- Conceitos Primitivos: a) Ponto A Na figura, os ângulos AÔB e BÔC são consecutivos, portanto AÔC=AÔB+AÔC b) Reta c) Semi-reta d) Segmento
Leia maisGeometria Analítica - Aula
Geometria Analítica - Aula 18 228 IM-UFF K. Frensel - J. Delgado Aula 19 Continuamos com o nosso estudo da equação Ax 2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 1. Hipérbole Definição 1 Uma hipérbole, H, de focos F 1
Leia maisBANCO DE EXERCÍCIOS - 24 HORAS
BANCO DE EXERCÍCIOS - 24 HORAS 9º ANO ESPECIALIZADO/CURSO ESCOLAS TÉCNICAS E MILITARES FOLHA Nº 13 EXERCÍCIOS 1) A representação cartesiana da função y = ax 2 + bx + c é a parábola abaixo. Tendo em vista
Leia maisHewlett-Packard TRIÂNGULOS. AULAS 01 a 04. Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos
Hewlett-Packard TRIÂNGULOS AULAS 01 a 04 Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos Sumário TRIÂNGULOS... 1 DEFINIÇÃO E ELEMENTOS... 1 SOMA DAS MEDIDAS DOS ÂNGULOS INTERNOS DE UM TRIÂNGULO...
Leia maisJ. Delgado - K. Frensel - L. Crissaff Geometria Analítica e Cálculo Vetorial
76 Capítulo 4 Distâncias no plano e regiões no plano 1. Distância de um ponto a uma reta Dados um ponto P e uma reta r no plano, já sabemos calcular a distância de P a cada ponto P r. Definição 1 Definimos
Leia maisApresente suas soluções de forma clara, indicando, em cada caso, o raciocínio que conduziu à resposta. Exercício 1. Exercício 2. Exercício 3.
OBMEP na Escola 2017 Polo CPII Campus Niterói Professor Fábio Vinícius Lista de Exercícios do Encontro 1 da 2ª semana do Ciclo 3 Nível 3 Geometria Conteúdo: Ângulo, triângulo, quadrilátero (paralelogramos
Leia maisPREPARATÓRIO PROFMAT/ AULA 8 Geometria
PREPARATÓRIO PROFMAT/ AULA 8 Geometria QUESTÕES DISCURSIVAS Questão 1. (PROFMAT-2012) As figuras a seguir mostram duas circunferências distintas, com centros C 1 e C 2 que se intersectam nos pontos A e
Leia maisGEOMETRIA PLANA. Prof. Fabiano
GEOMETRIA PLANA Prof. Fabiano POLÍGONOS REGULARES R.. a. O O O a R a R R = Raio - raio da circunf. circunscrita - distância do centro a um vértice a = Apótema - Raio da circunferência inscrita - distância
Leia maisGeometria Básica. Bruno Holanda. 12 de novembro de 2011
eometria ásica runo Holanda 12 de novembro de 2011 Resumo ste trabalho representa um conjunto de notas de aulas de um curso inicial em eometria uclidiana Plana para alunos do ensino fundamental. principal
Leia maisBissetrizes e suas propriedades.
Semana Olímpica 013 - Prof. ícero Thiago - olégio ETP/SP issetrizes e suas propriedades. Teorema 1. Seja XOY umângulodadoep umpontoemseuinterior. Então, adistância de P a XO é igual à distância de P a
Leia maisAula 11 Polígonos Regulares
MODULO 1 - AULA 11 Aula 11 Polígonos Regulares Na Aula 3, em que apresentamos os polígonos convexos, vimos que um polígono regular é um polígono convexo tal que: a) todos os lados são congruentes entre
Leia mais. f3 = 4 e 1 3 e 2. f2 = e 1 e 3, g 1 = e 1 + e 2 + e 3, 2 g 2 = e 1 + e 2,
INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO MAT-457 Álgebra Linear para Engenharia I Segunda Lista de Exercícios - Professor: Equipe da Disciplina EXERCÍCIOS 1. Dê a matriz de mudança
Leia maisHomotetias, composição de homotetias eoproblema6daimo2008
Homotetias, composição de homotetias eoproblema6daimo2008 Antes de começar a discussão, vamos enunciar o problema 6 da IMO 2008, que é a motivação principal desse artigo. Problema 6, IMO 2008. Seja ABCD
Leia maisPolígonos PROFESSOR RANILDO LOPES 11.1
Polígonos PROFESSOR RANILDO LOPES 11.1 Polígonos Polígono é uma figura geométrica plana e fechada formada apenas por segmentos de reta que não se cruzam no mesmo plano. Exemplos 11.1 Elementos de um polígono
Leia mais3º trimestre SALA DE ESTUDOS Data: 11/17 Ensino Médio 3º ano A, B e C. Prof. Maurício Nome: nº
º trimestre SALA DE ESTUDOS Data: 11/17 Ensino Médio º ano A, B e C. Prof. Maurício Nome: nº CONTEÚDOS: EQUAÇÃO DA RETA E EQUAÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA. 1. (Eear 017) O triângulo ABC a) escaleno b) isósceles
Leia maisAVF - MA Gabarito
MESTRADO PROFISSIONAL EM MATEMÁTICA EM REDE NACIONAL AVF - MA13-016.1 - Gabarito Questão 01 [,00 pts ] Em um triângulo ABC de perímetro 9, o lado BC mede 3 e a distância entre os pés das bissetrizes interna
Leia maisMaterial Teórico - Módulo de Semelhança de Triângulos e Teorema de Tales. Teorema de Tales - Parte II. Nono Ano do Ensino Fundamental
Material Teórico - Módulo de Semelhança de Triângulos e Teorema de Tales Teorema de Tales - Parte II Nono no do Ensino Fundamental Prof. Marcelo Mendes de Oliveira Prof. ntonio aminha Muniz Neto Portal
Leia maisPONTOS NOTÁVEIS DE UM. Professora Joseane Fernandes TRIÂNGULO
PONTOS NOTÁVEIS DE UM Professora Joseane Fernandes TRIÂNGULO PONTOS NOTÁVEIS DE UM TRIÂNGULO. Baricentro; Incentro; Circuncentro; Ortocentro. BARICENTRO - MEDIANA Mediana segmento de reta que liga o ponto
Leia maisMA13 Geometria AV3 2014
MA13 Geometria AV3 014 Questão 1 [,0 pt ] Sejam P T e P U segmentos tangentes a duas circunferências concêntricas, com T pertencente à menor e U à maior. Se o segmento P T corta a circunferência maior
Leia maisMódulo Quadriláteros. Quadriláteros Inscritos e Circunscritos. 9 ano E.F. Professores Cleber Assis e Tiago Miranda
Módulo Quadriláteros Quadriláteros Inscritos e Circunscritos 9 ano E.F. Professores Cleber Assis e Tiago Miranda Quadriláteros Quadriláteros Incritos e Circunscritos Exercício 5. Determine o valor de x
Leia maisOs pentágonos regulares ABCDE e EF GHI da figura abaixo estão em posição tal que as retas CD e GH são perpendiculares.
GABARITO MA1 Geometria I - Avaliação - 01/ Questão 1. (pontuação: ) Os pentágonos regulares ABCDE e EF GHI da figura abaixo estão em posição tal que as retas CD e GH são perpendiculares. Calcule a medida
Leia maisHewlett-Packard TRIÂNGULOS. AULAS 01 a 04. Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos
Hewlett-Packard TRIÂNGULOS AULAS 01 a 04 Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos Sumário TRIÂNGULOS... 1 DEFINIÇÃO E ELEMENTOS... 1 SOMA DAS MEDIDAS DOS ÂNGULOS INTERNOS DE UM TRIÂNGULO...
Leia maisMódulo de Triângulo Retângulo, Lei dos Senos e Cossenos, Poĺıgonos Regulares. 9 o ano E.F.
Módulo de Triângulo Retângulo, Lei dos Senos e ossenos, Poĺıgonos Regulares. Relações Métricas em Poĺıgonos Regulares 9 o ano.. Triângulo Retângulo, Lei dos Senos e ossenos, Polígonos Regulares. Relações
Leia mais3 Na figura, ABCD é um paralelogramo. Sabemos que D = 60, AD = 2 e AB = O ponto. bissetriz de C. Encontre o ângulo K.
5 th Olimpíada Iraniana de Geometria Nível Iniciante Quinta-feira, 6 de Setembro de 08 Os problemas desta prova devem ser mantidos em sigilo até que eles sejam postados no site oficial da IGO: http://igo-official.ir.
Leia mais3) O ponto P(a, 2) é equidistante dos pontos A(3, 1) e B(2, 4). Calcular a abscissa a do ponto P.
Universidade Federal de Pelotas Cálculo com Geometria Analítica I Prof a : Msc. Merhy Heli Rodrigues Lista 2: Plano cartesiano, sistema de coordenadas: pontos e retas. 1) Represente no plano cartesiano
Leia mais(R. 2 3 ) a) 243 b) 81 c) 729 d) 243 e) 729
08. Determine o valor de 8 + 14 + 6 + 4. (R. ) 01. O valor da expressão LISTA 1 GEOMETRIA PLANA PROF. NATHALIE 1º Ensino Médio - 017 1 + 1 + 1 1 a) b) c) 0 d) 4 e) 4 (Alternativa E) 0. A expressão com
Leia maisColégio Adventista Portão EIEFM MATEMÁTICA Geometria Analítica 3º Ano APROFUNDAMENTO/REFORÇO
Colégio Adventista Portão EIEFM MATEMÁTICA Geometria Analítica 3º Ano APROFUNDAMENTO/REFORÇO Professor: Hermes Jardim Disciplina: Matemática Lista 1 1º Bimestre 2012 Aluno(a): Número: Turma: 1) Resolva
Leia maisGeometria plana. Índice. Polígonos. Triângulos. Congruência de triângulos. Semelhança de triângulos. Relações métricas no triângulo retângulo
Índice Geometria plana Polígonos Triângulos Congruência de triângulos Semelhança de triângulos Relações métricas no triângulo retângulo Quadriláteros Teorema de Tales Esquadros de madeira www.ser.com.br
Leia maisMATEMÁTICA II LISTA DE GEOMETRIA PLANA - III
MATEMÁTICA II LISTA DE GEOMETRIA PLANA - III 0 Dois círculos de centros A e B são tangentes exteriormente e tangenciam interiormente um círculo de centro C. Se AB = cm, AC = 7 cm e BC = 3 cm, então o raio
Leia mais1. Quantos são os planos determinados por 4 pontos não coplanares?justifique.
Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Matemática Disciplina: Geometria euclidiana espacial (GMA010) Assunto: Paralelisno e Perpendicularismo; Distância e Ângulos no Espaço. Prof. Sato 1 a Lista
Leia maisGrupo 1 - N1M2 - PIC OBMEP 2011 Módulo 2 - Geometria. Resumo do Encontro 6, 22 de setembro de Questões de geometria das provas da OBMEP
Grupo 1 - N1M2 - PIC OBMEP 2011 Módulo 2 - Geometria Resumo do Encontro 6, 22 de setembro de 2012 Questões de geometria das provas da OBMEP http://www.obmep.org.br/provas.htm 1. Áreas - capítulo 2 da apostila
Leia maisGeometria Plana 1 (UEM-2013) Em um dia, em uma determinada região plana, o Sol nasce às 7 horas e se põe às 19 horas. Um observador, nessa região, deseja comparar a altura de determinados objetos com o
Leia maisCírculos que Tangenciam à Perfeição O Teorema de Casey
Círculos que Tangenciam à Perfeição O Teorema de Casey Prof. Davi Lopes OBM 22ª Semana Olímpica Anápolis 25/01/2019 1. Introdução O Teorema de Ptolomeu diz que, se ABCD é um quadrilátero convexo e inscritível,
Leia maisMódulo Quadriláteros. Relação de Euler para Quadrilátero. 9 ano E.F. Professores Cleber Assis e Tiago Miranda
Módulo Quadriláteros Relação de Euler para Quadrilátero 9 ano E.F. Professores Cleber Assis e Tiago Miranda Quadriláteros Relação de Euler para Quadriláteros Exercícios de Fixação Exercício 6. No triângulo
Leia maisExercícios Propostos. Exercício 1: Cinco retas distintas em um plano cortam-se em n pontos. Determine o maior valor que n pode assumir.
Exercícios Propostos Exercício 1: Cinco retas distintas em um plano cortam-se em n pontos. Determine o maior valor que n pode assumir. Exercício 2: As bissetrizes de dois ângulos adjacentes AÔB e BÔC são,
Leia maisTeorema do ângulo externo e sua consequencias
Teorema do ângulo externo e sua consequencias Definição. Os ângulos internos de um triângulo são os ângulos formados pelos lados do triângulo. Um ângulo suplementar a um ângulo interno do triângulo é denominado
Leia maisSemelhanças, Congruências, Razões e alguns tópicos adicionais
Semelhanças, Congruências, Razões e alguns tópicos adicionais XXII Semana Olímpica, Anápolis GO Nível 1 George Lucas Aqui abordaremos alguns assunto e ideias relacionados a razões e semelhanças/congruência
Leia maisDesenho e Projeto de Tubulação Industrial Nível II
Desenho e Projeto de Tubulação Industrial Nível II Módulo I Aula 04 TRIÂNGULOS Triângulo é um polígono de três lados. É o polígono que possui o menor número de lados. Talvez seja o polígono mais importante
Leia maisGEOMETRIA ANALÍTICA 2017
GEOMETRIA ANALÍTICA 2017 Tópicos a serem estudados 1) O ponto (Noções iniciais - Reta orientada ou eixo Razão de segmentos Noções Simetria Plano Cartesiano Abcissas e Ordenadas Ponto Médio Baricentro -
Leia maisDuração: 90 minutos (3 valores) Sabe-se que a b. Atendendo à gura, calcule a medida do ângulo D indicado.
aculdade de Ciências Departamento de Matemática e Informática Licenciatura em Informática, Diurno 1 0 Teste de undamentos de Geometria. Correcção. ariante Duração: 90 minutos 18.0.01 1. ( valores) Sabe-se
Leia maisCoordenadas Cartesianas
1 Coordenadas Cartesianas 1.1 O produto cartesiano Para compreender algumas notações utilizadas ao longo deste texto, é necessário entender o conceito de produto cartesiano, um produto entre conjuntos
Leia maisGEOMETRIA ANALÍTICA. 2) Obtenha o ponto P do eixo das ordenadas que dista 10 unidades do ponto Q (6, -5).
GEOMETRIA ANALÍTICA Distância entre Dois Pontos Sejam os pontos A(xA, ya) e B(xB, yb) e sendo d(a, B) a distância entre eles, temos: Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo ABC, vem: [d
Leia mais