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1 Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Matemática Disciplina: Geometria euclidiana espacial (GMA010) Assunto: Paralelisno e Perpendicularismo; Distância e Ângulos no Espaço. Prof. Sato 1 a Lista de Exercícios 1. Quantos são os planos determinados por 4 pontos não coplanares?justifique. 2. Qual a seção determinada em um paralelepípedo ABCDEFGH pelo plano ABG? 3. Qual das afirmações abaixo é verdadeira? Justifique. (i) Se duas retas distintas não são paralelas, então elas são concorrentes. (ii) Duas retas não coplanares são reversas. (iii) Se duas retas não se intersectam, então elas são paralelas. (iv) Se três retas são paralelas, então existe um plano que as contém. (v) Se três retas distintas são duas a duas concorrentes, então elas determinam um único 4. Considere duas circunferências de mesmo raio, centros comuns e contidas em planos distintos. Qual é a intersecção dessas circunferências? 5. Sejam A, B C e D pontos do espaço (não necessariamente coplanares). Sejam M, N, P e Q pontos médios de AB, BC, CD e DA, respectivamente. Mostre que MNPQ é um paralelogramo. Use este fato para demonstrar que os três segmentos que unem os pontos médios das arestas opostas de um tetraedro qualquer ABCD se encontram em um mesmo ponto. 6. Qual das afirmações é correta? Justifique. (i) Se duas retas concorrentes de um plano são, respectivamente, paralelas a duas retas de outro plano, então esses planos são paralelos. (ii) Por uma reta dada pode-se conduzir um plano paralelo a um plano dado. (iii) Por qualquer ponto é possível conduzir uma reta que se apoia em duas retas reversas dadas. (iv) Se uma reta é paralela a dois planos, então esses planos são paralelos. (v) Existem planos reversos, isto é, não paralelos e sem intersecção. 7. Sejam r e s duas retas reversas e P um ponto qualquer do espaço. Diga como obter: a) um plano contendo r e paralelo a s. b) um par de planos paralelos contendo r e s, respectivamente; c) uma reta passando por P e se apoiando em r e s. 8. Sejam r e s duas retas do espaço concorrentes em P. Sejam r e s retas paralelas a r e s, respectivamente, traçadas por um ponto Q. Mostre que os ângulos formados por r e s são iguais aos ângulos formados por r e s. 9. Dois triângulos ABC e DEF, situados em dois planos distintos, são tais que as retas AB, AC e BC encontram as retas DE, DF e EF nos pontos M, N e P, respectivamente. Mostre que M, N e P são colineares. 10. Dadas duas retas reversas r e s, então: (i) Existe plano paralelo a ambas. 1

2 (ii) Existe um único plano paralelo a ambas. (iii) Todo plano perpendicular a uma, encontra a outra em um ponto. (iv) Existe sempre um plano perpendicular a uma, que contém a outra. (v) r e s são ortogonais. 11. As retas r, s e t são reversas duas a duas. Então: (i) Sempre existem inifinitas retas paralelas a r todas tocando em s e t. (ii) Sempre existem duas retas paralelas a r ambas tocando em s e t. (iii) Sempre existe uma reta paralela a r tocando em s e t. (iv) Pode não existir reta paralela a r tocando em s e t. 12. Suponha que os planos α, β e γ têm exatamente um ponto em comum. Existe uma reta que seja simultaneamente paralela a α, β e γ? 13. Considere um paralelepípedo ABCDEFGH tal que AB = AD = AE = 6. Estude as seções determinadas neste paralelepípedo definidos pelos ternos de pontos (M, N, P) abaixo. a) M = A, N = ponto médio de CG e P = ponto médio de DH. b) M = A, N = C e P = ponto médio de FG. c) M = A, N = ponto médio de CG e P = ponto médio de FG. d) M =ponto médio de AE, N = ponto médio de BC e P = ponto médio de GH. 14. Seja r uma reta do espaço e P um ponto fora dela. Demonstrar que os pés das perpendiculares tiradas de P a cada um dos planos que passam por r, estão situados em um mesmo 15. Dados uma reta e um ponto fora dela, considere o feixe de planos por aquela reta. O lugar geométrico dos traços das perpendiculares conduzidas pelo ponto a cada um dos planos é uma: (i) reta; (ii) elipse; (iii) circunferência; (iv) parábola; (v) curva reversa, isto é, curva que não está contida em plano algum. 16. Sejam r e s retas reversas e P um ponto do espaço. Construa uma reta passando por P e se apoiando em r e s. Considere as diversas situações possíveis. 17. O segmento PA é perpendicular ao plano que contém o triângulo equilátero ABC. Suponha que AB = 2.AP e que M seja o ponto médio do segmento BC. Determinar o ângulo formado pelos segmentos PA e PM. 18. Sejam α, β e γ três planos distintos. Mostre que as posições relativas possíveis dos planos são: a) Os três planos são paralelos. b) Dois deles são paralelos e o terceiro é secante a ambos, cortando-os segundo retas paralelas. c) Os três planos se cortam segundo uma reta. d) Os três planos se cortam dois a dois segundo três retas paralelas. e) Os três planos se cortam dois a dois segundo três retas concorrentes; o ponto de interseção comum às três retas é o único ponto comum aos três planos. 19. Sejam r uma reta secante a um plano α e P um ponto exterior a α. É sempre possível traçar uma reta que passa por P, encontra r e é paralela a α? 20. O triângulo ABC, retângulo em A, esta contido em um plano α. Sobre a perpendicular a a traçada por C tomamos um ponto D. Por C traçamos, por sua vez, as perpendiculares 2

3 CE e CF a AD e BD, respectivamente. Mostre que: AB é perpendicular a AD; CE é perpendicular a EF; DF é perpendicular a EF. 21. Verdadeiro ou falso? Justifique. (i) Se dois planos são paralelos, toda reta que tem um ponto comum com um, tem um ponto comum com o outro. (ii) Uma condição necessária e suficiente para que dois planos concorrentes sejam perpendiculares é que toda reta de um deles, perpendicular à intesecção, seja perpendicular ao outro. (iii) Dois segmentos reversos são diagonais de um quadrilátero reverso (isto é, que não esteja contido em um plano) 22. Considere o plano de uma mesa e um ponto dado deste Você dispõe de uma folha de papel que possui um só bordo reto. Dobrando esta folha de papel, é possível conduzir a perpendicular ao plano da mesa, pelo ponto dado. (Pense em como fazer isso!) A justificativa para tal construção é dada por qual teorema? (i) Se uma reta é perpendicular a um plano, então todo plano que passa por ela é perpendicular ao primeiro. (ii) Se dois planos são perpendiculares, então toda reta de um deles que for perpendicular a intersecção, será perpendicular ao outro. (iii) Se uma reta é perpendicular a duas retas concorrentes de um plano, então ela é perpendicular ao (iv) Por um ponto exterior a um plano passa uma, e somente uma, reta perpendicular ao (v) Todas as perpendiculares a uma reta, traçadas por um de seus pontos, estão em um 23. Dadas as retas reversas duas a duas r, s e t encontrar uma reta que as encontre nos pontos R, S e T, respectivamente, de modo que S seja ponto médio de RT. 24. Uma reta r não é paralela e nem está contida em um plano α. Provar que existe uma reta s em α que é perpendicular a r. 25. o espaço, tome um cubo de aresta a, um plano α paralelo a uma face do cubo e um plano β que forma com α um ângulo agudo θ e é paralelo a quatro das arestas do cubo. Projeta-se o cubo sobre α paralelamente a β e obtém-se um retângulo de dimensões a e 3a. Determinar tgθ. 26. Três retas r, s, e t são duas a duas reversas e todas paralelas ao plano α. O plano β contém r e concorre com s e t nos pontos P e Q. As projeções das três retas sobre α na direção PQ são: (i) três retas coincidentes; (ii) três retas concorrentes em três pontos distintos; (iii) três retas concorrentes em um mesmo ponto; (iv) PQ é paralela a α. 27. O ângulo formado por duas retas reversas é ϕ, e a distância entre elas é a. Toma-se em uma delas um ponto B, situado à distância b da perpendicular comum às duas retas. Qual é a distância de B à outra reta? 28. Mostre que dois planos são perpendiculares se e só se duas retas respectivamente perpendiculares a cada um deles são ortogonais. 3

4 29. Dada uma reta r e um plano α, diga se é sempre possível construir um plano perpendicular a α contendo r. 30. Em um cubo ABCDEFGH mostre que os planos diagonais ABHG e EFDC são perpendiculares. 31. Dizemos que um plano α é um plano de simetria de uma figura F quando a imagem de F pela reflexão em torno de α é igual a F. Encontre os planos de simetria (se existirem) das seguintes figuras: a) cubo. b) tetraedro regular. C) pirâmide quadrangular regular d) cilindro de revolução. E) cone de revolução. 32. Mostre que as arestas de um tetraedro regular são ortogonais entre si. 33. Qual é o lugar geométrico dos pontos eqüidistantes de planos secantes dados? E se os planos forem paralelos? 34. Um pedaço de papel em forma de um quadrado ABCD é dobrado ao longo da diagonal AC de modo que os lados AB e AD passem a formar um ângulo de 60 graus. A seguir, ele é colocado sobre uma mesa, apoiado sobre esses lados. Nestas condições, calcule o ângulo que a reta AC e o plano que contém ABC formam com o plano horizontal. 35. Um tetraedro pode ser construído a partir de um envelope da forma descrita abaixo. a) Tome um envelope comum, feche-o e trace as diagonais do retângulo por ele determinado. b) A seguir, corte o envelope como indicado, removendo seu quarto superior. (B) c) Agora, dobre o envelope, encaixando uma borda na outra. Pronto! Temos um tetraedro. Que propriedade interessante possui o tetraedro formado? Sob que condições ele é um tetraedro regular? 36. Considere três retas mutuamente perpendiculares x, y e z, concorrentes em O. Uma reta r passa por O e forma ângulos iguais a α, β e γ com x, y e z. Mostre que cos 2 α+cos 2 β + cos 2 γ = Considere um octaedro regular de aresta a. Determine: a) A distância entre duas faces opostas. b) O ângulo do diedro formado por duas faces adjacentes. 38. Qual é seção determinada em um tetraedro regular ABCD por um plano paralelo às arestas AB e CD e passando pelo ponto médio da aresta AC? 39. Seja P um ponto exterior a um plano α e Q um ponto de α. Qual é o lugar geométrico dos pés das perpendiculares traçadas de P às retas de α que passam por Q? 4

5 Referências Bibliográficas [DP] Dolce, O & Pompeo, J. N. Fundamentos de Matemática Elementar. (10 vols). Vol 10: Geometria Espacial. 4a. ed. São Paulo: Atual Editora [LCW] Lima, E. L., Carvalho, P. C. P., Wagner, E. & Morgado, A. C. A Matemática do Ensino Médio. (3 vols). Vol 2. 4a. ed., Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática - SBM. (Coleção do Professor de Matemática)

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