Polos Olímpicos de Treinamento. Aula 12. Curso de Geometria - Nível 2. Prof. Cícero Thiago. Teorema 1. (Fórmula tradicional.) BC AD.

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1 Polos Olímpicos de Treinamento urso de Geometria - Nível Prof ícero Thiago ula 1 Relações entre áreas I Teorema 1 (Fórmula tradicional) área do triângulo pode ser calculada por [ ] = Teorema (Área de um triângulo em função do raio da circunferência inscrita) Sejam a, b e c as medidas dos lados, e do triângulo, respectivamente, e seja r a medida do raio da circunferência inscrita Então, a área do triângulo pode ser calculada por [ ] = p r, em que p = a+b+c emonstração

2 POT 01 - Geometria - Nível - ula 1 - Prof ícero Thiago F r I r r E [ ] = [ I]+[ I]+[ I] [ ] = a r + b r + c r Å ã a+b+c [ ] = r [ ] = p r Teorema 3 (Fórmula trigonométrica da área de um triângulo) Sejam a, b e c as medidas dos lados, e do triângulo, respectivamente área do triângulo pode ser calculada por [ ] = b c sin = a c sin = a b sin emonstração Vamos demonstrar uma das igualdades s outras são análogas

3 POT 01 - Geometria - Nível - ula 1 - Prof ícero Thiago H α Seja = α Temos que [ ] = = a H Por outro lado, no triângulo, temos sinα = H c H = c sinα, então [ ] = a c sinα Teorema 4 (Área de um triângulo em função do raio da circunferência circunscrita) Sejam a, b e c as medidas dos lados, e do triângulo, respectivamente, e seja R o raio da circunferência circunscrita Então, a área do triângulo [ ] pode ser calculada por [ ] = abc 4R emonstração 3

4 POT 01 - Geometria - Nível - ula 1 - Prof ícero Thiago O β β Sejam a, b e c as medidas dos lados, e do triângulo, respectivamente Temos que [ ] = a c sinβ Por outro lado, seja um diâmetro então, no, temos que Portanto, Teorema 5 (Fórmula de Heron) sinβ = b R [ ] = abc 4R Sejam a, b e c as medidas dos lados, e do triângulo, respectivamente Então, a área do triângulo pode ser calculada por em que p = a+b+c emonstração [ ] =» p (p a) (p b) (p c), 4

5 POT 01 - Geometria - Nível - ula 1 - Prof ícero Thiago c h b m a m plicando o teorema de Pitágoras nos triângulos e, temos: 1 c = m +h b = (a m) +h e (), temos: b = (a m) +h b = a am+m +h Substituindo em (1), temos: b = a am+c m = a +c b a h = c = Ç a +c b å +h a Ç a h = c +c b å a å Ç c+ a +c b a Ç c a +c b a Ç ac+a h +c b å Ç ac a c +b å = a a 4a h = [(a+c) b ] [(b (a c) ] 4a h = (a+c+b) (a+c b) (b+a c) (b+c a) 4a h = (a+b+c) (b+c a) (a+c b) (a+b c) 4a h = p (p a) (p b) (p c) a h = p (p a) (p b) (p c) 5 å

6 POT 01 - Geometria - Nível - ula 1 - Prof ícero Thiago [ ] = p (p a) (p b) (p c)» [ ] = p (p a) (p b) (p c) Teorema 6 (Relação entre as áreas de triângulos semelhantes) Sejam e EF dois triângulos semelhantes tais que E = F = EF [ ] [ EF] = k emonstração Se EF com E = F = EF = G H [ ] [ EF] = G EF H = k, então = EF G H = k k = k = k, então G E H F Teorema 7 Sejam r e s retas paralelas Sejam e pontos distintos sobre a reta s e 1 e pontos distintos sobre a reta r Então, [ 1 ] = [ ] emonstração O resultado é imediato pois [ 1 ] = [ ] = H 6

7 POT 01 - Geometria - Nível - ula 1 - Prof ícero Thiago r 1 H s Teorema 8 (Usando áreas para calcular razão de segmentos) Seja um triângulo e, E e F pontos sobre os lados, e tais que, E e F são concorrentes no ponto P efina K = [], K = [P], K = [P] e K = [P] omo K = K +K +K, então (a) (b) emonstração = K K, P P = K +K K, E E = K K e F F = K K P PE = K +K K e P PF = K +K K F H P E H 1 S R (a) Temos que = [ ] [ ] = [ P] [ P] = [ ] [ P] [ ] [ P] = [ P] [ P] = K K 7

8 POT 01 - Geometria - Nível - ula 1 - Prof ícero Thiago a mesma maneira demonstra - se que E E = K K e F F = K K (b) Temos que S PR P = H = [ ] H 1 [ P] = K +K +K K P P = K +K K a mesma maneira demonstra - se que P PE = K +K K Teorema 9 (Área de quadrilátero convexo qualquer) e P PF = K +K K Seja um quadrilátero convexo qualquer tal que θ é o menor ângulo entre as diagonais Então, [ ] = sinθ emonstração Temos que [] = [] = [ P]+[ P]+[ P]+[ P] P P sinθ + P P sinθ + P P sinθ + P P sinθ (P P +P P +P P +P P)sinθ [] = (P+P)(P +P)sinθ sinθ [] = [] = Exercícios Resolvidos 1 (Olimpíada de Maio) é um triângulo equilátero N é o ponto do lado tal que = 7N, M é o ponto do lado tal que MN é paralelo a e P o ponto do lado tal que MP é paralelo a etermine o valor de área(mnp) área() Solução É fácil ver que PMN é um paralelogramo e, com isso, área(mnp) = 1 área(pmn) lém disso, área(mn) área() = 1 49 e área(mp) Å ã 6 área() = = Portanto, 1 área(pmn) 1 área() = =

9 POT 01 - Geometria - Nível - ula 1 - Prof ícero Thiago São dados 1000 pontos no plano não colineares tais que se três deles determinam um triângulo então sua área é menor ou igual a 1 Prove que todos os pontos estão em um triângulo de área menor ou igual a quatro Solução Z Y X omo existe um número finito de triângulos que podem ser construídos usando os 1000 pontos então, escolhemos aquele de área máxima que chamaremos de XY Z Seja o triângulo tal que X, Y e Z são os pontos médios de, e, respectivamente, então [ ] = 4[ XYZ] 4 Seja, um ponto no conjunto dos 1000 pontos dados, no exterior do triângulo então [ XYZ] < [ XZ], o que contradiz a escolha de Portanto, todos os pontos estão no interior do triângulo 3 (oréia) Seja um quadrilátero convexo e seja P o ponto de interseção das diagonais Prove que [ P]+[ P] = [ P]+[ P] se, e somente se, P é o ponto médio de ou Solução Observe que [ P] [ P] = [ P] [ P] = 1 P P 4 P P sinp Os números [ P], [ P] e [ P], [ P] tem a mesma soma e o mesmo produto, então [ P] = [ P] e [ P] = [ P] ou [ P] = [ P] e [ P] = [ P], ou seja, P é o ponto médio de ou 4 (OM) Os lados de um triângulo são expressos, em cm, por três inteiros consecutivos e sua área, em cm, é dada por um inteiro Prove que o menor lado do triângulo é ímpar 9

10 POT 01 - Geometria - Nível - ula 1 - Prof ícero Thiago Solução Sejam x 1, x, x+1os lados dotriângulo Pela fórmula deheron, a área dotriângulo é 3x [ ] = (x+) x (x ) 3x (x 4) = = 1» 3x 16 4 (x 4) omo [ ] Z, devemos ter 3x (x 4) par, o que nos diz que x deve ser par Portanto, o menor lado do triângulo, que é x 1, deve ser ímpar 5 (Hong Kong) Seja um triângulo e sejam X, Y e Z pontos sobre os lados, e, respectivamente, tais que X X = 4 5, Y Y = 6 7 e Z Z = 8 Se a área do 9 triângulo é 1989, determine a área do triângulo XYZ Solução [ XY Z] 1989 = 1 = 1 Å 4 9 Ç [ XZ] [ XY] , Portanto, a área do triângulo XYZ é = [ YZ] å 1989 ã 8 17 Exercícios Propostos 1 No triângulo, os pontos L, M e N estão sobre, e respectivamente, e L, M e N são concorrentes no ponto P (a) Encontre o valor numérico de (b) Encontre o valor numérico de PL L + PM M + PN N P L + P M + P N 10

11 POT 01 - Geometria - Nível - ula 1 - Prof ícero Thiago (Ibero) Se, E e F são três cevianas concorrentes no circuncentro O do triângulo, demonstre que E + 1 F = R 3 (IME) Num triângulo, 1, 1 e 1 estão sobre os lados, e, respectivamente ado que 1, 1 e 1 são concorrentes no ponto O, e que O + O + O = 9 Encontre o valor de O O O O 1 O 1 O 1 O 1 O 1 O 1 4 Em um,, E e F são concorrentes no ponto P tal que P = P = 6, EP = 3, P = 9 e F = 0 Qual é a área do? 5 Em um triângulo, sejam S o ponto médio da mediana correspondente ao vértice e Q o ponto de interseção de S com o lado emonstrar que S = 3QS 6 Três segmentos 1, 1 e 1 com extremos sobre os lados do triângulo são paralelos aos lados e passam pelo ponto P Prove que as áreas dos triângulos e são iguais 7 (OM) É dado um quadrilátero convexo Sejam E, F, G e H os pontos médios dos lados,, e, respectivamente etermine a posição de um ponto P de forma que os quadriláteros PHE, PEF, PFG e PGH tenham a mesma área 8 Seja E um pentágono convexo(não necessariamente regular) tal que os triângulos,, E, E e E tem área 1 Qual a área do pentágono? 9 Seja um quadrilátero convexo e EH, EI, EF e EG são segmentos paralelos e iguais a,, e, como mostra a figura abaixo etermine a razão entre as áreas dos triângulos HIFG e G H E F I 11

12 POT 01 - Geometria - Nível - ula 1 - Prof ícero Thiago 10 (IME) Quadrados S 1 e S são inscritos em um triângulo retângulo, como mostrado na figura abaixo etermine + se área(s 1 ) = 441 e área(s ) = 440 S 1 S 11 Seja P um ponto no interior de um triângulo equilátero, e sejam, E e F os simétricos de P em relação aos lados, e, respectivamente Qual é maior, a área do triângulo ou a área do triângulo EF? E P F 1 (Portugal) Seja [ ] um triângulo retângulo em onsidere um ponto E sobre a hipotenusa e traça - se a partir desse ponto uma paralela ao cateto Seja a interseção desta paralela com o cateto Prove que sendo S a área do triângulo E + E = S, 13 (Portugal) Os lados, e do triângulo representado na figura medem, respectivamente, 7, 11 e 8 Traçam - se WR, UP e VQ, perpendiculares aos lados 1

13 POT 01 - Geometria - Nível - ula 1 - Prof ícero Thiago Sabendo que UW mede, determine a razão entre a área do triângulo UVW e a área do triângulo R U Q W V P 14 (OM) é um quadrilátero convexo e inscritível e M é um ponto sobre o lado, tal que o triângulo M e o quadrilátero M têm a mesma área e o mesmo perímetro Prove que tem dois lados de comprimentos iguais 15 Os pontos médios das diagonais, E, E,, F e F do hexágono convexo EF são vértices de um novo hexágono alcular a relação entre as áreas do dois hexágonos 16 (Mandelbrot) Seja um quadrilátero convexo tal que = 1, = 6 e = 0 Suponha que possui uma circunferência inscrita que é tangente ao lado em seu ponto médio Qual é a área do quadrilátero? ibliografia 1 oleção Elementos da Matemática, vol - Geometria Plana Marcelo Rufino de Oliveira e Márcio Rodrigo da Rocha Pinheiro Olimpíadas earenses de Matemática, Ensino Médio, Emanuel arneiro, Francisco ntônio M de Paiva e Onofre ampos 3 Olimpíadas de Matemática, ategoria, 10, 11 e 1 anos, vol1 Jorge Picado e Paulo Eduardo Oliveira 13

14 POT 01 - Geometria - Nível - ula 1 - Prof ícero Thiago 4 Tópicos de Matemática Elementar, vol, Geometria Euclidiana Plana ntonio aminha Muniz Neto 5 rea y Volumen, en la geometria elemental José raujo, Guilermo Keilhauer, Norma Pietrocola e Valeri Vavilov 6 Which Way did the icycle Go? nd other intriguing mathematical mysteries Joseph E Konhauser, an Velleman e Stan Wagon Problems for Mathematical ontests Titu ndreescu e orin ndrica 8 Áreas para achar razões de segmentos ícero Thiago e Marcelo Mendes Revista Eureka 5 9 Mathematical Olympiad Treasures Titu ndreescu e ogdan Enescu 10 Mandelbrot Morsels Sam Vandervelde 14