Teorema de Ceva e Teorema de Menelaus. [ ACD] [ CPD] = [ APB] . Assim, BD FB = K C K A

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1 Polos Olímpicos de Treinamento urso de Geometria - Nível 2 Prof. ícero Thiago ula 14 Teorema de eva e Teorema de Menelaus. Teorema 1. (eva) Sejam D, E e F pontos sobre os lados, e, respectivamente, do triângulo. Os segmentos D, E e F intersectam - se em um ponto P se, e somente se, D D E E F F = 1. Demonstração. F P E D Defina = [], = [P], = [P] e = [P]. Temos que D D = [ D] [ D] = [ PD] [ PD] = [ D] [ PD] [ D] [ PD] = [ P] [ P] =. De maneiraanáloga, E E = e F F =. ssim, D D E E F F = = 1. Sejam D, E e F pontos sobre os lados, e tais que D D E E F F = 1 mas D, E e F não são concorrentes. Seja F 1 sobre tal que D, E e F 1 são

2 POT Geometria - Nível 2 - ula 14 - Prof. ícero Thiago concorrentes em P. ssim, D D E E F 1 F 1 = 1. Dessa forma, F F = F 1 F 1 F = F 1. F 1 F P E D Exercícios resolvidos 1. Prove que as medianas de um triângulo são concorrentes em um ponto que se chama baricentro. Sejam M, N e R os pontos médios de, e, respectivamente. Então ou seja, N, M e R são concorrentes. M M N N R R = 1, 2. Prove que as bissetrizes internas de um triângulo são concorrentes em um ponto que se chama incentro. Sejam X, Y e Z os pés das bissetrizes relativas aos lados, e, respectivamente. Pelo teorema das bissetrizes internas temos que ou seja, X, Y e Z são concorrentes. Y Y X X Z Z = = 1, 3. Prove que as alturas de um triângulo são concorrentes em um ponto que se chama ortocentro. 2

3 POT Geometria - Nível 2 - ula 14 - Prof. ícero Thiago N H M L M L N H Sejam L, M e N as alturas do triângulo. É fácil ver que Multiplicando (I), (II) e (III) temos que ou seja, as alturas são concorrentes. N M N M = (I) L N L N = (II) M L M L = (III). N M L N M L = = 1, 4. Seja DEF um hexágono convexo tal que cada uma das diagonais D, E e F dividem o hexágono em duas regiões de áreas iguais. Prove que D, E e F são concorrentes. 3

4 POT Geometria - Nível 2 - ula 14 - Prof. ícero Thiago Y F E Z X D Sejam X a intersecção de D e E, Y a intersecção de E e F e Z é a intersecção de e E. Denotaremos por [MNP] a área do triângulo MNP, e seja a área do hexágono DEF. É fácil ver que X XE = [X] [XE] = [DX] [DEX] = [X]+[DX] [XE]+[DEX] = [D] [DE] = 2 []. 2 [EF] De maneira análoga, e Portanto, EY Y = Z Z = 2 [DE] 2 [] 2 [FE]. 2 [DE] X XE EY Y Z Z = 2 [] 2 [EF] 4 2 [DE] 2 [] 2 [FE] = 1. 2 [DE]

5 POT Geometria - Nível 2 - ula 14 - Prof. ícero Thiago Pela recíproca do teorema de eva no triângulo E temos que X, Y e EZ são concorrentes e, com isso, D, E e F são concorrentes. 5. Seja um triângulo e sejam P e Q pontos sobre os lados e, respectivamente, tais que PQ. Prove que P, Q e a mediana M, com M em, são concorrentes. omo PQ, então P P = Q Q P P Q Q = 1 (I). omo M é um mediana então M = M, assim Multiplicando (I) e (II), temos M M = 1 (II). P P Q Q M M = 1. Pela recíproca do teorema de eva temos que M, Q e P são concorrentes. P Q M Exercícios propostos 5

6 POT Geometria - Nível 2 - ula 14 - Prof. ícero Thiago 1. Sejam D, E e F os pontos de contato da circunferência inscrita com os lados, e, respectivamente, do triângulo. Prove que D, E e F são concorrentes em um ponto que se chama Ponto de Gergonne. 2. Sejam l e l 1 duas retas paralelas dadas no plano. Usando apenas régua encontre o ponto médio do segmento que está na reta l. 3. (oréia) Seja um triângulo com, seja V a intersecção da bissetriz do ângulo com e seja D pé da altura relativa ao vértice. Se E e F são as intersecções dos círculos circunscritos aos triângulos V D com e, respectivamente, mostre que D, E e F são concorrentes. 4. Seja P um ponto no interior de um triângulo. s bissetrizes de P, P e P intersectam, e em X, Y e Z, respectivamente. Prove que X, Y e Z são concorrentes. Teorema 2. Se uma reta intersecta as retas, e de um triângulo nos pontos L, M e N, respectivamente, então L L N N M M = 1. Inversamente, se L, M e N são pontos sobre os lados, e do triângulo tais que L L N N M = 1, então L, M e N são colineares. M Demonstração. Q N P M R L Sejam P, Q e R as perpendiculares traçadas a partir de, e, respectivamente, à reta em que se encontram L, M e N. É fácil ver que os triângulos retângulos PN e 6

7 POT Geometria - Nível 2 - ula 14 - Prof. ícero Thiago QN são semelhantes, assim como os triângulos retângulos QL e RL. Então N N = Q P e L L = R Q. Por outro lado, os triângulos retângulos PM e RM também são semelhantes. De modo que M M = P R. Portanto, N N L L M M = Q P R Q P R = 1. N N 1 M L Suponha, de maneira falsa, que L L N N M = 1 e os pontos L, M e N não são M colineares. Prolongue LM até intersectar em N 1. Pelo que foi provado acima temos que L L N 1 N 1 M M = 1, assim N 1 N 1 = N N N = N 1. Dessa forma, L, M e N são colineares. Exercícios resolvidos 1. Dadas três circunferências 1, 2 e 3 de centros O 1, O 2 e O 3 e raios r 1, r 2 e r 3, respectivamente. Seja X a intersecção das tangentes comuns externas de 1 e 2, Y a intersecção das tangentes comuns externas de 1 e 3 e, finalmente, Z a intersecção das tangentes comuns externas de 2 e 3. Prove que X, Y e Z são colineares. Éfácil verificarquex, O 1 eo 2 sãocolineares. ssim, XO 1 P 1 XO 2 P 2 e, com isso, O 1X O 2 X = O 1P 1 = r 1. nalogamente, O 3Y O 2 P 2 r 2 O 1 Y = r 3 e O 2Z r 1 O 3 Z = r 2. Portanto, r 3 7

8 POT Geometria - Nível 2 - ula 14 - Prof. ícero Thiago O 1 X O 2 X O3Y O 1 Y O2Z O 3 Z = 1. Pela recíproca do teorema de Menelaus concluímos que X, Y e Z são colineares. Este resultado é conhecido como teorema de Monge. Z Y O 2 O 1 X P 1 P 2 O 3 2. Prove que as bissetrizes internas de dois ângulos de um triângulo isósceles e a bissetriz externa do terceiro ângulo do triângulo intersectam os lados opostos em três pontos colineares. 8

9 POT Geometria - Nível 2 - ula 14 - Prof. ícero Thiago No triângulo, M e N são bissetrizes internas dos ângulos e, respectivamente, e L é a bissetriz externa do ângulo. Pelo teorema da bissetriz interna temos que M M = e N N =. lém disso, pelo teorema da bissetriz externa temos que ssim, L L =. M M N N L L = = 1. Pela recíproca do teorema de Menelaus temos que N, M e L são colineares. N M L Exercícios propostos 1. Prove que as bissetrizes externas dos ângulos de um triângulo, não isósceles, intersectam os lados opostos em três pontos colineares. 2. O ortocentro de um triângulo é o ponto médio da altura relativa ao vértice. Prove que cos = cos cos, em que, e são os ângulos do triângulo. 3. bissetriz D de um triângulo divide o lado na razão 2 : 1. Determine a razão em que a mediana E divide a bissetriz. 4. (OM) No triângulo, D é ponto médio de e E ponto sobre o lado tal que E = 2 E. Sabendo que D = E, calcule o valor de. 9

10 POT Geometria - Nível 2 - ula 14 - Prof. ícero Thiago 5. (IMO) s diagonais e E de um hexágono regular DEF são divididas internamente pelos pontos M e N, respectivamente, narazão M = N = r. Determine E r se, M e N são colineares. 6. Seja um triângulo e sejam E e D pontos sobre o lado tal que E = ED = D. Seja F o ponto médio de e G o ponto médio de. Seja H a intersecção de EG e FD. Determine o valor de EH HG. 7. (one Sul) Seja uma circunferência de centro O, um diâmetro dela e R um ponto qualquer em distinto de e de. Seja P a intersecção da perpendicular traçada por O a R. Sobre a reta OP se marca o ponto Q, de maneira que QP é a metade de PO e Q não pertence ao segmento OP. Por Q traçamos a paralela a que corta a reta R em T. hamamos de H o ponto de intersecção das retas Q e OT. Provar que H, R e são colineares. ibliografia 1. Leccture Notes on Mathematical Olympiad ourses For senior Section, vol. 1 Xu Jiagu 2. dvanced Euclidean Geometry lfred Posamentier 3. III Olimpiada Nacional Escolar de Matemática 2006 Jorge Tipe, John uya, laudio Espinoza e Sergio Vera. 4. Explorations in Geometry ruce Shawyer 5. oleção Elementos de Matemática, vol.2 Marcelo Rufino de Oliveira 6. The theorem of Menelaus. Orach Quantum - May/Jun Problemas de Geometría - Planimetria I. Shariguin 10