Polos Olímpicos de Treinamento. Aula 11. Curso de Geometria - Nível 2. Potência de ponto e eixo radical. Prof. Cícero Thiago

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1 olos Olímpicos de Treinamento Curso de Geometria - Nível 2 rof. Cícero Thiago Aula 11 otência de ponto e eixo radical 1. Definição Seja Γ uma circunferência de centro O e raio R. Seja um ponto que está a uma distância d de O, vamos definir a potência do ponto em relação à circunferência Γ por ot Γ = d 2 R 2. É fácil ver que se é um ponto no exterior de Γ então a potência será positiva, se é um ponto sobre a circunferência então sua potência será zero e se é um ponto no interior da circunferência então sua potência será negativa. Teorema 1. Seja um ponto e Γ uma circunferência. Se uma reta que passa por intersecta a circunferência nos pontos A e B, então o produto A B é constante. Demonstração. 1 caso: é um ponto no exterior. A m M m R B O

2 OT Geometria - Nível 2 - Aula 11 - rof. Cícero Thiago Seja OM a mediatriz de AB. Então A B = (M m) (M +m) = M 2 m 2 = M 2 +OM 2 (OM 2 +m 2 ) = O 2 R 2 = ot Γ. Vamos analisar também o caso em que pelo ponto é traçada uma tangente a Γ. T R O Dessa forma pelo teorema de itágoras temos que 2 caso: é um ponto no interior. O 2 = T 2 +R 2 T 2 = O 2 R 2 = ot Γ. 2

3 OT Geometria - Nível 2 - Aula 11 - rof. Cícero Thiago m B A m M R O Seja OM a mediatriz de AB. Então A B = (m M) (m+m) = m 2 M 2 = m 2 +OM 2 (OM 2 +M 2 ) 2. Eixo radical = R 2 O 2 = ot Γ. Chamaremos de Eixo radical o lugar geométrico dos pontos que possuem a mesma potência com relação a duas circunferências dadas. Teorema 2. O conjunto dos pontos que possuem a mesma potência com relação a duas circunferências dadas é uma reta perpendicular à reta que contém os centros. Demonstração. 3

4 OT Geometria - Nível 2 - Aula 11 - rof. Cícero Thiago α O 1 M Q O 2 Sejam Γ 1 e Γ 2 circunferências com centros O 1 e O 2 e raios R 1 e R 2, respectivamente. Além disso, seja um ponto que possui a mesma potência com relação as duas circunferências. Assim, ot Γ 1 = ot Γ 2 O 2 1 R2 1 = O2 2 R2 2 O 2 1 O 2 2 = R 2 1 R 2 2. Seja M o ponto médio de O 1 O 2, Q a projeção de sobre O 1 O 2 e MQ = α. Aplicando a lei dos cossenos nos triângulos O 1 M e O 2 M temos Então, or outro lado, cosα = MQ M O 2 1 = O 1 M 2 +M 2 2 O 1 M M cos(180 α) = O 2 1 = O 1M 2 +M 2 +2 O 1 M M cosα O 2 2 = O 2M 2 +M 2 2 O 2 M M cosα. O 2 1 O 2 2 = 2 O 1 O 2 M cosα. MQ = M cosα, com isso MQ = R2 1 R2 2 2 O 1 O 2 = Fixo. ortanto, o lugar geométrico dos pontos é a reta perpendicular a O 1 O 2 que passa por Q. 4

5 OT Geometria - Nível 2 - Aula 11 - rof. Cícero Thiago or outro lado, seja 1 um ponto de Q. Vamos provar que 1 possui a mesma potência com relação às duas circunferências. Assim, pelo toerema de itágoras 1 O 2 1 = O 1 Q Q 2, 1 O 2 2 = O 2 Q Q 2. Então, 1 O O 2 2 = O 1 Q 2 O 2 Q 2. 1 O 1 Q O 2 Além disso, O 2 1 = O 1 Q 2 +Q 2, O 2 2 = O 2Q 2 +Q 2. Então, O 2 1 O2 2 = R2 1 R2 2 = O 1Q 2 O 2 Q 2 = 1 O 2 1 1O O 2 1 R2 1 = 1O 2 2 R2 2 ot 1 Γ 1 = ot 1 Γ 2. roblema 1. Dois círculos Γ 1 e Γ 2 intersectam - se em e Q. Uma reta passando por intersecta Γ 1 e Γ 2 novamente em A e B, respectivamente, se X é o ponto médio de AB e a reta que passa por Q e X intersecta Γ 1 e Γ 2 novamente em Y e Z, respectivamente. rove que X é o ponto médio de YZ. 5

6 OT Geometria - Nível 2 - Aula 11 - rof. Cícero Thiago Solução. ot X Γ 2 = X XB = XZ XQ, Então, ot X Γ 1 = X XA = XY XQ. X XB X XA = XZ XQ XY XQ XY = XZ. Γ 1 Y Γ 2 A X B Z O 1 O 2 Q roblema 2. (OCM) Duas tangentes OA e OB são traçadas a um círculo de um ponto externo O. Uma corda AC é construída paralela a OB e uma secante OC é desenhada intersectando o círculo em E. Se K é o ponto de interseção de OB com o prolongamento de AE, prove que OK = KB. 6

7 OT Geometria - Nível 2 - Aula 11 - rof. Cícero Thiago Solução. Temos que KOC = ECA pois OB AC e ECA = EAO pois OA é tangente ao círculo. Então OKE AKO assim OK KA = KE OK OK2 = KE KA. Usando a potência de K com relação à circunferência temos ortanto, OK = KB. KB 2 = KE KA. α A O α E α C K B roblema 3. Seja C uma semicircunferência de centro O e diâmetro AB e D é o ponto médio do arco AB. Sobre a reta OD toma - se o ponto E, do mesmo lado de D com relação a AB, tal que OE = BD. Se BE corta a semicircunferência em F e é o ponto de AB tal que F é perpendicular a AB. rove que B = AB 3. Solução. Sem perda de generalidade faça OA = OB = 1. Logo, OD = 1, OE = BD = 2 e EB = 3. Utilizando a potência de E com relação à circunferência de diâmetro AB temos EF EB = EO 2 R 2 = EO

8 OT Geometria - Nível 2 - Aula 11 - rof. Cícero Thiago Assim, EF 3 = ( 2) 2 1 EF = Além disso, BF BOE então 3 3 e FB = ortanto, B BO = BF BE B = 2 3. B AB = = 1 3 B = AB 3. E D F A O B roblema 4. Considere três círculos Γ 1, Γ 2 e Γ 3 tais que seus centros O 1, O 2 e O 3, respectivamente, não estão alinhados. Sejam r, s e t os eixos radicais de Γ 1 e Γ 2, Γ 1 e Γ 3 e Γ 2 e Γ 3, respectivamente. rove que r, s e t são concorrentes em um ponto chamado centro radical. Solução. 8

9 OT Geometria - Nível 2 - Aula 11 - rof. Cícero Thiago Seja um ponto sobre r s, ou seja, possui a mesma potência com relação Γ 1, Γ 2 e Γ 3. ortanto, está sobre a reta t. r O 1 O 2 s t O 3 Exercícios propostos 1. Em um triângulo ABC, a bissetriz do ângulo A e a mediana relativa a BC intersectam este lado em pontos distintos O e M, respectivamente. O círculo circunscrito ao triângulo AOM intersecta os lados AB e AC em E e F, respectivamente. rove que BE = CF. 2. Seja BD a bissetriz do ângulo B do triângulo ABC. Se o círculo circunscrito ao triângulo BDC intersecta AB em E e o círculo circunscrito ao triângulo ABD intersecta BC em F, prove que AE = CF. 3. Um triângulo acutângulo ABC está inscrito numa circunferência de centro O. As alturas do triângulo são AD, BE e CF. A reta EF intersecta a circunferência em e Q. 9

10 OT Geometria - Nível 2 - Aula 11 - rof. Cícero Thiago (a) rove que OA é perpendicular a Q. (b) Se M é o ponto médio de BC, prove que A 2 = 2AD.OM. 4. Seja C um ponto sobre o semicírculo de diâmetro AB e seja D o ponto médio do arco AC. Se E é a projeção de D sobre BC e F é a interseção de AE com o semicírculo, prove que BF bissecta o segmento DE. 5. Seja um ponto no interior de um círculo tal que existem três cordas que passam por e tem o mesmo comprimento. rove que é o centro do círculo. 6. Sejam Γ 1 e Γ 2 círculos concêntricos, com Γ 2 no interior de Γ 1. artindo de um ponto A pertencente a Γ 1, é desenhada uma tangente AB à Γ 2 (B Γ 2 ). Seja C o segundo ponto de interseção de AB com Γ 1, e D o ponto médio de AB. Um reta passando por A intersecta Γ 2 em E e F de tal maneira que as mediatrizes de DE e CF se intersectam em um ponto M sobre AC. Determine a razão AM MC. 7. (IMO) Seja ABC um triângulo com circuncentro O. Sejam e Q pontos no interior dos lados CA e AB, respectivamente. Sejam K, L e M os pontos médios dos segmentos B, CQ e Q, respectivamente, e seja Γ o círculo que passa por K, L e M. Se Q é tangente a Γ, prove que O = OQ. 8. (IMO) Um círculo de centro O passa pelos vértices A e C de um triângulo ABC e intersecta os segmentos AB e BC novamente em pontos distintos K e N, respectivamente. Os círculos circunscritos aos triângulos ABC e KBN se intersectam em exatamente 2 pontos distintos B e M. rove que OMB = 90. Bibliografia 1. roblemas de las olimpiadas matematicas del Cono Sur (I a a IV a ) Fauring - Wagner - Wykowski - Gutierrez - edraza - Moreira 2. Olimpíadas Cearenses de Matemática - Ensino Fundamental Emanuel Carneiro, Francisco Antônio M. de aiva e Onofre Campos 3. otência de um ponto em relação a uma circunferência Eduardo Wagner Revista do professor de matemática - Número 45 10

11 OT Geometria - Nível 2 - Aula 11 - rof. Cícero Thiago 4. Mathematical Olympiad Challenges Titu Andreescu e Razvan Gelca 5. Lecture Notes on Mathematical Olympiad Courses - For senior section - Vol. 1 Xu Jiagu 6. Tópicos de Matemática Elementar - Volume 2 Antonio Caminha Muniz Neto 11