Lista 5. Geometria, Coleção Profmat, SBM. Problemas selecionados da seção 4.1, pág. 147 em diante.

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1 MA13 Exercícios das Unidades 8, 9 e Lista 5 Geometria, Coleção Profmat, SBM. Problemas selecionados da seção 4.1, pág. 147 em diante. 1) As retas r, s e t são paralelas com s entre r e t. As transversais u e v determinam sobre r, s, t, pontos A, B, C e A, B, C, respectivamente, tais que AB = x + 2, BC = 2y, A B = y e B C = ( x 10) 2. Sabendo que x + y = 18, determine AB. 2) Sejam P 1 e P 2 pontos no interior do segmento AB tais que que os pontos P 1 e P 2 coincidem. P1 A P B 1 P2 A =. Prove P B 2 3) Dados os segmentos a e b, dizemos que um segmento x é terceira proporcional de a b a e b quando =. Mostre como construir x com régua e compasso. b x 4) Em um triângulo ABC, P é o pé da bissetriz interna relativa a A. Os pontos M e N dos lados AB e AC, respectivamente são tais que BM = BP e CN = CP. Prove que MN é paralela a BC. Geometria, Coleção Profmat, SBM. Problemas selecionados da seção 4.2, pág. 158 em diante. 5) Na figura abaixo mostra três quadrados. Calcule o lado do quadrado maior sabendo que os dois menores têm lados 4cm e 6cm.

2 6) O triângulo ABC é retângulo em A e P é o pé da bissetriz interna relativa ao ângulo reto. Calcule a distância de P ao lado AC em função dos catetos b e c. 7) Seja ABCD um paralelogramo com lados AB = 10 e AD = 24. Sejam E e F os pés das perpendiculares baixadas desde A aos lados BC e CD. Sabendo que AF = 20 calcule o comprimento de AE. 8) Seja ABC um triângulo com BC = a, AC = b e AB = c. Sejam M, N e P pontos sobre os lados AB, BC e CA, respectivamente, de forma que AMNP é um losango. a) Calcule o lado do losango em função de a, b e c. b) Mostre como determinar com régua e compasso a posição do ponto M. 9) Em um trapézio ABCD de bases AB = a e CD = b uma reta paralela às bases é traçada pelo ponto de interseção das diagonais cortando os lados AD e BC em M e N. Mostre que MN é média harmônica entre a e b. 10) Seja ABC um triângulo tal que B ˆ = 2Cˆ. Mostre que b = c 2 + ac 2. 11) Seja ABC um triângulo retângulo de catetos b e c e altura h relativa à hipotenusa Mostre que = h b c 12) Dados segmentos de comprimentos a, b e c, construa com régua e compasso o segmento de comprimento a + b c. 13) Duas torres, uma com 30m de altura e outra com 40m de altura estão situadas em terreno plano a 50m uma da outra. Entre ambas há uma fonte para a qual dois passarinhos partem, no mesmo instante e com velocidades iguais do alto de cada torre. Sabendo que os passarinhos chegam à fonte simultaneamente, calcule a distância da fonte à torre mais baixa. 14) No quadrado ABCD e lado 10, P é um ponto da circunferência circunscrita. Calcule o valor da soma dos quadrados das distâncias de P aos vértices do quadrado. 15) Seja ABCD um trapézio retângulo em A de bases AB = 12 e CD = 4. Sabendo que ABCD é circunscritível calcule as distâncias dos vértices do trapézio ao centro da circunferência inscrita. 16) As retas r e s são tangentes à circunferência circunscrita ao triângulo ABC respectivamente em B e C. Sendo D, E e F os pés das perpendiculares baixadas de A às retas BC, r e s, respectivamente, prove que AD 2 = AE AF.

3 Geometria, Coleção Profmat, SBM. Problemas selecionados da seção 4.3, pág. 173 em diante. 17) Construa com régua e compasso o triângulo ABC conhecendo as posições dos pontos B e C e do pé da bissetriz interna relativa a A bem como o comprimento b do lado AC. 18) Em um paralelogramo ABCD, de diagonais AC e BD denotamos por H o ortocentro do triângulo ABD e por O o circuncentro do triângulo BCD. Prove que os pontos H, O e C são colineares. 19) Em um triângulo ABC de ortocentro H e circuncentro O temos AO = AH. Calcule as possíveis medidas para o ângulo BAC. Problemas suplementares Problemas adaptados da seção ) Na figura a seguir tem-se MB MC 2 = 3 e NA NC 1 = 3 (razões não orientadas) PA Calcule as razões PM PB e. PN 21) Teorema de Ceva

4 Dado o triângulo ABC, os pontos A, B e C pertencem aos lados AB, BC e CA, respectivamente. i) Se as cevianas A A, B B e C C concorrem em um único ponto então B A CB AC = A C B A C B. ii) Se B A CB AC = A C B A C B então as cevianas A A, concorrem em um único ponto. B B e C C 22) Prove que, em todo triângulo, as cevianas que unem cada vértice ao ponto de tangência da circunferência inscrita com o lado oposto são concorrentes (Ponto de Gergonne). 23) Mostre que as três alturas de um triângulo concorrem em um único ponto (ortocentro).

5 MA13 Exercícios das Unidades Lista 6 Geometria, Coleção Profmat, SBM. Problemas selecionados da seção 4.5, pág. 201 em diante. 1) AB é uma corda de um círculo Γ de centro medindo 8cm. Marcamos sobre AB um ponto C situado a 3cm de B. O raio de Γ passando por O e C intersecta Γ em D com CD = 1 cm. Calcule o raio de Γ. AB = 8 2) Em um triângulo ABC cm. Sendo M o ponto médio de AB calcule os possíveis valores de BC de modo que o círculo circunscrito ao triângulo AMC tangencie o lado BC. 3) Duas cordas AB e CD de um círculo são perpendiculares e se intersectam no ponto E situado no interior do círculo e tal que círculo. AE = 2, EB = 6 e ED = 3. Calcule o raio do BC = a 4) Seja ABC um triângulo isósceles de base raio do círculo circunscrito a ABC é a 2 + 4h 2 R = 8h. com altura AH = h. Mostre que o 5) São dados uma reta r e os pontos A e B num mesmo semipleno determinado por r. Construa com régua e compasso os círculos que passam por A e B e são tangentes a r. 6) Em um triângulo acutângulo ABC a reta suporte da altura relativa a AC intersecta o círculo de diâmetro AC em M e N. A reta suporte da altura relativa a AB intersecta o círculo de diâmetro AB em P e Q. Mostre que M, N, P e Q são concíclicos. Problema suplementar

6 7) ABCD é um quadrado de lado 1 e M é o ponto médio do lado AB. O segmento AM corta a circunferência inscrita no quadrado em N. Calcule o comprimento da corda MN.

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