Axiomas de Incidência Axiomas de Ordem Axiomas de Congruência Axioma das paralelas Axiomas de Continuidade

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1 1 GEOMETRIA PLANA Atualizado em 04/08/ Bibliografia 1. Pogorélov, A.V. Geometria Elemental Editora Mir. 2. Dolce, Osvaldo e Nicolau, Pompeu Geometria Plana Volume 9 da Coleção Fundamentos de Matemática Elementar Atual Editora. 3. Hilbert, David Foundations of Geometry. 4. Coxeter, H.S.M. e Greitzer, S.L. - Geometry Reviseted. 5. Revistas do Professor de Matemática (RPM) SBM. 6. Aprendendo e Ensinando Geometria Organizadores: Mary Montgomery Lindquist e Albert P. Shulte Atual Editora. 7. Software livre de geometria dinâmica Z.u.L. (ou C.a.R. ou Régua e Compasso). Para baixá-lo acesse, por exemplo, a página no link Programas gratuitos. O que é uma axiomática?... Consideremos os seguintes três conjuntos de objetos: Pontos denotados por A, B, C, D,... Retas denotados a, b, c, d,... Plano. Os pontos são elementos das retas; os pontos são elementos do plano e as retas são subconjuntos do mesmo. Existem relações entre pontos e retas. Para nos referirmos a elas usaremos termos como estar sobre, estar entre, congruente. As descrições precisas dessas relações seguem da lista de axiomas. Os axiomas da geometria podem ser divididos em cinco grupos, veja referência [3]: Axiomas de incidência Axiomas de Incidência Axiomas de Ordem Axiomas de Congruência Axioma das paralelas Axiomas de Continuidade I 1. Em qualquer que seja a reta, existem pontos que pertencem a ela e pontos que não pertencem a ela. I 2. Dois pontos distintos quaisquer determinam uma reta que os contém.

2 2 Teorema 1 Duas retas distintas cortam-se no máximo em um ponto. G1 Ponto: cada número primo. Reta: produto de dois primos distintos. Plano produto de três primos distintos. Relações de incidência. São satisfeitos: I 1, I 2 e, conseqüentemente, o Teor. 1. Apresentar alguns modelos de Geometria. G2 Plano: H = {(x,y) y > 0} Retas: semicírculos de centro em y = 0 e, também, semi-retas perpendiculares a y = 0. Relações de incidência. São satisfeitos: I 1, I 2 e, conseqüentemente, o Teor. 1. G3 Plano: esfera. Retas: círculos máximos. Relações de incidência. É satisfeito I 1. Retas concorrentes. Pontos colineares. Demonstrações estranhas 1. Todo triângulo é isósceles. 2. Em um triângulo retângulo a soma dos catetos é igual a hipotenusa. Axiomas de Ordem O 1. Dados três pontos A, B, C sobre uma reta somente um deles está entre os outros dois. O 2. Um ponto sobre uma reta a divide em duas partes, chamadas semi-retas. Os pontos de uma semi-reta não são separados pelo ponto de divisão. Os pontos de diferentes semi-retas são separados pelo ponto de divisão. Segmento. Dados dois pontos A e B pertencentes a uma reta r, chama-se segmento AB a união entre os pontos A e B e conjunto de todos os pontos da reta r que estão entre A e B. Comentário. No volume 9 - Osvaldo Dolce e José Nicolau Pompeo Coleção Fundamentos são apresentadas, também, as seguintes definições: Ângulos consecutivos. Dois segmentos são consecutivos se uma extremidade de um deles é também extremidade do outro. Ângulos adjacentes. Dois segmentos consecutivos e colineares são adjacentes se possuem em comum somente uma extremidade. O 3. Toda reta divide o plano em duas partes, chamadas semiplanos. Se os extremos de um segmento pertencem a um mesmo semiplano, o segmento não corta a reta dada. Se os extremos do segmento estão em semiplanos distintos, o segmento corta a reta dada.

3 3 1. O segmento AB é um subconjunto da semi-reta AB. 2. Sejam AB uma semi-reta e r uma reta que passa pela origem A e não contém B. Então a semi-reta AB estará em um semiplano de fronteira r. 3. Sejam AB um segmento e r uma reta que passa pela extremidade A e não contém B. Então o segmento AB estará contido no semiplano de fronteira r, que contém o ponto B. 4. Mostre que existem retas concorrentes. Axiomas de congruência C 1. Todo segmento tem um comprimento determinado que é maior que zero. C 2. Se um ponto C da reta AB está entre A e B, o comprimento do segmento AB é igual à soma dos comprimentos dos segmentos AC e BC. Ângulo. Ângulo raso. Semi-reta (ou raio) interior a um ângulo. Caso particular para o ângulo raso. C 3. Todo ângulo tem uma medida em graus determinada maior que zero. O ângulo raso é igual a 180 o. C 4. Se um raio c tem origem no vértice de um ângulo (ab) e passa entre seus lados, o ângulo (ab) é igual à soma dos ângulos (ac) e (bc). Axiomas sobre construções de segmentos e ângulos CS. Qualquer que seja o número positivo m, existe sobre uma semi-reta AB um único ponto C tal que a medida de AC seja igual a m. CA. Qualquer que seja o número positivo n menor que 180 o, se pode construir, a partir de uma semi-reta dada e em um semiplano dado, um ângulo de n graus e só um. 5. Mostre que uma reta contém infinitos pontos. 6. Existem infinitos pontos não pertencentes a uma reta. Teorema 2 Se sobre uma semi-reta AB marca-se um ponto, a partir da origem A, um segmento AC de medida menor que a medida de AB, então C estará entre A e B. Exercício 7. Sobre a semi-reta AB, existem infinitos pontos tais que B está entre A e cada um desses pontos.

4 4 Triângulos. Congruência de triângulos. Axioma Primeiro caso de congruência (LAL). Retas paralelas. Axioma Por todo ponto não pertencente a uma reta r passa no máximo uma reta paralela à reta r. Teorema 3 Se uma reta r, não passa por nenhum dos vértices de um triângulo ABC, corta seu lado AB, também cortará um e só um dos outros lados. Teorema 4 Se a partir de uma semi-reta OA constroem-se em um mesmo semiplano os ângulos AÔB e AÔC, a semi-reta OB passará entre os lados do ângulo AÔC ou a semi-reta OC passará entre os lados do ângulo AÔB. Teorema 5 Se a semi-reta OC passa entre os lados do ângulo AÔB, a reta r que contém o lado OC separa os lados do ângulo, isto é, as semi-retas AO e OB encontram-se em lados opostos em relação à reta r. 8. No plano tem-se quatro pontos A 1, A 2, A 3 e A 4 e uma reta a que não passa por nenhum deles. Os segmentos A 1 A 2 e A 3 A 4 cortam a reta a e o segmento A 2 A 3 não corta a. O segmento A 1 A 4 corta a reta a? 9. No plano tem-se quatro pontos A, B, C e D. Demonstre que os segmentos AB e CD se cortam, os pontos B e D se encontram em um mesmo semi-plano com relação à reta AC. 10. Demonstre que se uma semi-reta c passa entre os lados de um ângulo (ab), então c corta qualquer segmento cujos extremos se encontram nos lados do ângulo (ab). 11. É possível encontrar três pontos A, B e C em uma mesma semi-reta, com AB = 5, BC = 6 e AC = 7? 12. Quatros pontos A, B, C e D se encontram em uma mesma reta. O ponto B está entre A e C e o ponto C está entre B e D. Demonstre que o ponto C está entre A e D. (Utilizada pelo Pogorélov e que será adotada no nosso curso) Ângulos adjacentes. Dois ângulos são adjacentes se têm um lado em comum e seus outros dois lados são semiretas opostas.

5 5 Comentário. No volume 9 - Osvaldo Dolce e José Nicolau Pompeo Coleção Fundamentos, encontramse as seguintes definições. Dois ângulos são consecutivos se um lado de um deles é também lado do outro. Dois ângulos consecutivos são adjacentes se não têm pontos interiores comuns. Teorema 6 A soma de dois ângulos adjacentes é 180 o. Ângulos opostos pelo vértice. Teorema 7 Ângulos opostos pelo vértice são iguais. Ângulo reto. Observações 1. Um ângulo adjacente a um ângulo reto também é reto. 2. Sejam r e s duas retas que se cortam. A semi-retas dessas retas formam quatro ângulos. Fixado qualquer um dos ângulos, dois lhe serão adjacentes e um oposto pelo vértice ao ângulo fixado. Se um deles é reto, os demais também serão. Retas perpendiculares. Teorema 8 Por todo ponto de uma reta pode-se traçar uma única reta perpendicular à reta dada. Teorema 9 - Segundo critério de congruência de triângulos (ALA). Se os triângulos ABC e A 1 B 1 C 1 são tais que Â = Â 1, AB = A 1 B 1 e Bˆ = Bˆ 1, os triângulos são congruentes. Triângulo isósceles. Teorema 10 Os ângulos na base de um triângulo isósceles são iguais. Teorema 11 Se em um triângulo ABC tem-se a igualdade dos ângulos BAC e CBA, então o triângulo é isósceles.

6 6 Ponto médio de um segmento. Exercício 13. Demonstre que todo segmento possui um único ponto médio. Mediana. Bissetriz. Altura. Teorema 12 Em qualquer triângulo isósceles a mediana relativa a base é bissetriz e altura. Teorema 13 - Terceiro critério de congruência (LLL). Se os triângulos ABC e A 1 B 1 C 1 são tais que AB = A 1 B 1, BC = B 1 C 1 e CA = C 1 A 1, então esses triângulos são congruentes. Execícios 14. Demonstre que se a semi-reta c, de origem no vértice do ângulo (ab), passa entre seus lados, o ângulo (ac) é menor que o ângulo (ab). 15. Dê um contra exemplo para mostrar que não são congruentes os triângulos ABC e MNP tais que AB = MN, BC = NP e Cˆ = Pˆ. 16. Demonstre que se o triângulo ABC é congruente ao triângulo BCA, então esse triângulo é eqüilátero. Teorema 14 A soma de dois ângulos de um triângulo é menor que 180 o. Ângulos agudos e obtusos. Ângulos externos de um triângulo. Teorema 15 Todo ângulo externo de um triângulo é maior que qualquer ângulo do triângulo não adjacente a ele. Teorema 16 Se no triângulo ABC, AB > BC, então Teorema 17 Em todo triângulo a soma de dois lados é maior que o terceiro. Distância entre dois pontos. Ĉ > Â. Reciprocamente, se Ĉ > Â então AB > BC.

7 7 Teorema 18 Se três pontos A, B e C não são necessariamente distintos, a distância AB não é maior que a soma das distâncias AC + BC. Exercício 17. Demonstre que quaisquer que sejam os n + 2 pontos A, P 1, P 2,..., P n e B tem-se AB AP + P P +... P B n 18. Demonstre que duas retas perpendiculares a uma terceira não se cortam (Existência de retas paralelas). 19. Seja D um ponto sobre o lado AB do triângulo ABC. Demonstre que o segmento CD é menor, pelo menos, que um dos lados AC ou BC. 20. Seja AM a mediana relativa ao lado BC do triângulo ABC. Demonstre que AB + AC AM <. 2 Poligonal (extremos, lados e vértices). Comprimento de uma poligonal. Exercício 21. Demonstre que o comprimento de uma poligonal é maior ou igual que o comprimento do segmento que une seus extremos. Triângulo retângulo. Observações 1. Um triângulo retângulo possui somente um ângulo reto. 2. A hipotenusa é o maior lado de um triângulo retângulo. Congruência de triângulos retângulos Teorema 19 Os triângulos retângulos ABC e A 1 B 1 C 1 com os ângulos retos em C e C 1, respectivamente, são congruentes se uma das seguintes condições for satisfeita: 1. BC = B1C1 e Â = Â1. 2. AB = A B e BC = B C AB = A1B1 e Â = Â1. Perpendicular à uma reta por um ponto não pertencente a ela (pé da perpendicular).

8 8 Teorema 20 Por um ponto não pertencente a uma reta pode-se traçar uma única perpendicular a ela. Oblíqua à uma reta por um ponto não pertencente a ela (pé da oblíqua e projeção). Observação Se de um ponto P, não pertencente a uma reta r, traçam-se uma oblíqua e a perpendicular a r, então a oblíqua é maior que a perpendicular. Distância entre um ponto e uma reta. Observação Se P é um ponto não pertencente a uma reta r, então a distância entre P e r não maior que a distância entre P e qualquer ponto de r. 22. Demonstre que oblíquas congruentes traçadas de um mesmo ponto a uma reta têm projeções congruentes. Reciprocamente, se as projeções de oblíquas traçadas de um mesmo ponto à uma reta são congruentes, então as oblíquas são congruentes. 23. Demonstre que a altura de um triângulo isósceles relativa à base é mediana e bissetriz. 24. Como traçar do vértice A de um triângulo ABC uma reta s que corte o lado BC de modo que sejam iguais as distâncias de B a s e de C a s? 25. Demonstre que duas as bissetrizes de um triângulo cortam-se em um ponto que eqüidista de todos os lados do triângulo. 26. Demonstre que as três bissetrizes de um triângulo cortam-se em um mesmo ponto. 27. Pelo ponto P, não pertencente à reta s, traçou-se a oblíqua PB à reta. Demonstre que pelo ponto P pode-se traçar outra oblíqua PC de comprimento igual a PB. 28. Demonstre que de um ponto não se pode traçar três oblíquas, todas de mesmo comprimento a uma mesma reta. 29. Pelo ponto B traçou-se à reta r a perpendicular BA e duas oblíquas BC e BD. O ponto D encontra-se entre A e C. Demonstre que o ângulo B Dˆ C é obtuso. 30. Demonstre que de duas oblíquas traçadas de um mesmo ponto a uma reta é maior aquela que tem a maior projeção. Reciprocamente, a maior oblíqua é a de maior projeção.