TRIÂNGULOS. Condição de existência de um triângulo

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Raphael Pereira Vilanova
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2 TRIÂNGULOS Condição de existência de um triângulo Em todo triângulo, a soma das medidas de dois lados sempre tem que ser maior que a medida do terceiro lado.

3 EXERCÍCIO 1º Será que conseguiríamos desenhar um triângulo de lados: a) 1, 9 e 10? b) 13, 10 e 4? c) 8, 3 e 4? d) 3, 4 e 5?

4 RELAÇÕES MÉTRICAS EM UM TRIÂNGULO A soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180º. A soma das medidas dos ângulos externos de um triângulo é 360º.

5 RELAÇÕES ENTRE AS MEDIDAS DOS ÂNGULOS EXTERNOS E INTERNOS DE UM TRIÂNGULO. A medida de cada ângulo externo de um triângulo é igual à soma das medidas dos dois Ângulos internos não adjacentes a ele. Temos: g + A = 180º e A + B + C = 180º. Logo, g + A = A + B + C g = B + C. Utilizando o mesmo raciocínio, mostre que e = A + B e f = A + C.

RELAÇÕES ENTRE AS MEDIDAS DOS ÂNGULOS INTERNOS E AS DOS LADOS DE UM TRIÂNGULO Em todo triângulo, ao maior ângulo opõe-se o maior lado, da mesma maneira que ao maior lado opõe-se o maior

6 RELAÇÕES ENTRE AS MEDIDAS DOS ÂNGULOS INTERNOS E AS DOS LADOS DE UM TRIÂNGULO Em todo triângulo, ao maior ângulo opõe-se o maior lado, da mesma maneira que ao maior lado opõe-se o maior ângulo. Em todo triângulo, ao menor ângulo opõe-se o menor lado, da mesma maneira que ao menor lado opõe-se o menor ângulo. Num triângulo, ângulos iguais opõem-se a lados iguais e viceversa.

7 RESUMO Em todo triângulo, a soma das medidas de dois lados sempre tem que ser maior que a medida do terceiro lado. A soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180º. A soma das medidas dos ângulos externos de um triângulo é 360º. A medida de cada ângulo externo de um triângulo é igual à soma das medidas dos dois Ângulos internos não adjacentes a ele. Em todo triângulo, ao maior ângulo opõe-se o maior lado, da mesma maneira que ao maior lado opõe-se o maior ângulo. Em todo triângulo, ao menor ângulo opõe-se o menor lado, da mesma maneira que ao menor lado opõe-se o menor ângulo. Num triângulo, ângulos iguais opõem-se a lados iguais e vice-versa.

ângulos. Note que nos dois triângulos acima.

8 CONGRUÊNCIA DE TRIÂNGULOS Dois triângulos são congruentes se coincidem ao serem sobrepostos. Isso significa que seus lados, dois a dois, terão a mesma medida e o mesmo ocorrerá com seus ângulos. Note que nos dois triângulos acima... Os lados correspondentes são congruentes: AB DE, BC EF e AC DF. Os ângulos correspondentes são congruentes: A D, B E e C F. Assim, vamos ter ABC DEF.

9 CASOS DE CONGRUÊNCIA DE TRIÂNGULOS

10 CASOS DE CONGRUÊNCIA DE TRIÂNGULOS

11 CASOS DE CONGRUÊNCIA DE TRIÂNGULOS

12 CASOS DE CONGRUÊNCIA DE TRIÂNGULOS

13 CASOS DE CONGRUÊNCIA DE TRIÂNGULOS 5º Caso: Cateto - hipotenusa

14 EXERCÍCIO 2º Na figura abaixo, o triângulo ABC é congruente ao triângulo EDC. Os valores x e y são, respectivamente: a) 9cm e 7cm. b) 7cm e 8cm. c) 23cm e 15cm d) 6cm e 12,5cm.

15 EXERCÍCIO 3º Se na figura abaixo, ABC EDC, então x + y é igual a: (A) 3 (B) 6 (C) 9 (D) 18

16 ELEMENTOS DE UM TRIÂNGULO Mediana: é o segmento cujas extremidades são um de seus vértices e o ponto médio do lado oposto a esse vértice. Dizemos que BM é a mediana relativa ao lado AC Ou que BM é a mediana relativa ao vértice A. Outro exemplo:

modo que o ângulo interno desse vértice seja dividido em dois ângulos

17 ELEMENTOS DE UM TRIÂNGULO Bissetriz: é o segmento cujas extremidades são um de seus vértices e um ponto do lado oposto a esse vértice, de modo que o ângulo interno desse vértice seja dividido em dois ângulos iguais. Dizemos que AE (1º triângulo) é a bissetriz relativa ao vértice A.

18 ELEMENTOS DE UM TRIÂNGULO Altura: segmento cujas extremidades são um de seus vértices em um ponto na reta que contém o lado oposto a esse vértice, de modo a formar um ângulo reto com essa reta. Altura: AD Altura: CH.

19 MEDIATRIZ DE UM SEGMENTO Mediatriz de um segmento é a reta perpendicular a esse segmento que passa por seu ponto médio.

20 TRIÂNGULO ISÓSCELES Um triângulo é isósceles quando tem pelo menos dois lados congruentes. Em um triângulo isósceles que não é equilátero, o lado com medida diferente da medida dos outros lados é sua base. Os ângulos da base de um triângulo isósceles são congruentes. A mediana relativa à base de um triângulo isósceles também é uma bissetriz e uma altura desse triângulo.

PONTOS NOTÁVEIS DE UM TRIÂNGULO Baricentro: Todo triângulo tem três medianas, uma relativa a cada lado, que se intersectam em um mesmo ponto, denominado

21 PONTOS NOTÁVEIS DE UM TRIÂNGULO Baricentro: Todo triângulo tem três medianas, uma relativa a cada lado, que se intersectam em um mesmo ponto, denominado baricentro do triângulo. Resumindo, baricentro é o encontro das 3 medianas de um triângulo. Além disso, o baricentro divide cada mediana na razão 1 para 2.

22 PONTOS NOTÁVEIS DE UM TRIÂNGULO - ORTOCENTRO Ortocentro: é o ponto de encontro das três alturas de um triângulo. O ortocentro pode ser: Interno: se o triângulo for acutângulo (tem todos os ângulos agudos).

23 PONTOS NOTÁVEIS DE UM TRIÂNGULO - ORTOCENTRO Externo: se o triângulo for obtusângulo (tem um ângulo obtuso).

24 PONTOS NOTÁVEIS DE UM TRIÂNGULO - ORTOCENTRO Coincidente: Se o triângulo é retângulo, então o ortocentro é o vértice do ângulo reto do triângulo.

25 PONTOS NOTÁVEIS DE UM TRIÂNGULO - CIRCUNCENTRO Circuncentro: circuncentro de um triângulo é o ponto de encontro das mediatrizes dos lados do triângulo. O circuncentro pode ser interno ou externo ao triângulo. O circuncentro é também o centro da circunferência circunscrita ao triângulo. O circuncentro pode ser: Interno: se o triângulo for acutângulo.

26 PONTOS NOTÁVEIS DE UM TRIÂNGULO - CIRCUNCENTRO Externo: Se o triângulo for obtusângulo.

27 PONTOS NOTÁVEIS DE UM TRIÂNGULO - CIRCUNCENTRO Coincidente: Se o triângulo for retângulo. Se o triângulo for retângulo, então o circuncentro é o ponto médio da hipotenusa.

28 PONTOS NOTÁVEIS DE UM TRIÂNGULO Incentro: é o ponto de encontro das três bissetrizes do triângulo. É também o centro da circunferência inscrita no triângulo.

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Triângulos classificação Quanto aos ângulos Acutângulo: possui três ângulos agudos. Quanto aos lados Equilátero: três lados de mesma medida. Obs.: os três ângulos internos têm medidas de 60º. Retângulo: