Lugares geométricos básicos I

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "Lugares geométricos básicos I"

Transcrição

1 Lugares geométricos básicos I M13 - Unidade 5 Resumo elaborado por Eduardo Wagner baseado no texto:. Caminha M. Neto. Geometria. Coleção PROFMT

2 Definição Lugar Geométrico da propriedade P é o conjunto de todos os pontos que possuem essa propriedade. Lugares geométricos básicos I slide 2/9

3 circunferência Dados o ponto O e o segmento r, a circunferência de centro O e raio r é o lugar geométrico dos pontos que distam r de O. O r Lugares geométricos básicos I slide 3/9

4 mediatriz mediatriz do segmento é a reta perpendicular a esse segmento que passa pelo seu ponto médio. mediatriz de um segmento é o lugar geométrico dos pontos que equidistam das extremidades do segmento. P M Demonstração a) Todo ponto da mediatriz do segmento equidista de e. Seja r a mediatriz de, M o ponto médio de e seja P um ponto de r. Os triângulos PM e PM são congruentes (LL). Logo, P = P. Lugares geométricos básicos I slide 4/9

5 b) Todo ponto fora da mediatriz não equidista de e. Q P Seja P um ponto que não pertence à mediatriz r do segmento. Imagine que P está no semiplano de r que contém. Trace P e P. O segmento P corta r em Q. Trace Q. Como Q pertence a r então Q = Q pelo item anterior. No triângulo PQ a desigualdade triangular dá PQ + Q > P. Isto quer dizer que PQ + Q > P, ou seja, P > P. Um enunciado equivalente é: Um ponto equidista de dois pontos e se, e somente se, pertence à mediatriz do segmento. M Lugares geométricos básicos I slide 5/9

6 bissetriz bissetriz de um ângulo é o lugar geométrico dos pontos que equidistam dos lados desse ângulo. P O demonstração fica para o leitor. tenção: Um enunciado equivalente é: Um ponto equidista dos lados de um ângulo se, e somente se, pertence à bissetriz desse ângulo. Lugares geométricos básicos I slide 6/9

7 Problema São dados dois pontos fixos e. Determine o lugar geométrico do ponto P sabendo que o ângulo P é reto. P M Resposta O LG é a circunferência de diâmetro, exceto os pontos e. Sugestão para demonstração ssinale o ponto M, médio de. Prolongue PM de um segmento MC igual a PM. nalise o quadrilátero PC. C Lugares geométricos básicos I slide 7/9

8 Mediana relativa à hipotenusa No triângulo retângulo, a mediana relativa à hipotenusa vale metade da hipotenusa. P M demonstração decorre do problema anterior. Lugares geométricos básicos I slide 8/9

9 Problema Se em um triângulo C a mediana relativa ao vértice é igual à metade do lado C então esse triângulo é retângulo em. Solução: Lugares geométricos básicos I slide 9/9

10 Lugares geométricos básicos II M13 - Unidade 5 Resumo elaborado por Eduardo Wagner baseado no texto:. Caminha M. Neto. Geometria. Coleção PROFMT

11 rcos de uma circunferência medida de um arco é, por definição, a medida do seu ângulo central. arc = θ θ O Lugares geométricos básicos II slide 2/6

12 Ângulo inscrito medida do ângulo inscrito é a metade da medida do arco que ele subtende na circunferência. V = θ = arc 2 V θ Lugares geométricos básicos II slide 3/6

13 rco capaz São dados um segmento e um ângulo θ. Definição: O lugar geométrico do ponto P situado em um mesmo semiplano determinado pela reta e tal que P = θ chama-se arco capaz do ângulo θ sobre o segmento. P = θ = θ = P. P θ θ P Lugares geométricos básicos II slide 4/6

14 Construção do arco capaz São dados um segmento e um ângulo θ. Siga os passos: 1. Desenhe o segmento (horizontal). 2. Desenhe a reta r, mediatriz de. 3. Desenhe, abaixo da reta a semirreta X tal que X = θ. 4. Trace por a reta Y perpendicular a X. 5. interseção de Y com r é o ponto O. θ O r Y 6. Desenhe acima da reta o arco de centro O com extremidades e. 7. Esse arco é o arco capaz do ângulo θ construído sobre. Obs: Uma semicircunferência de diâmetro é chamada de lugar geométrico de 90 sobre. Lugares geométricos básicos II slide 5/6 P

15 Problema Construir o triângulo C conhecendo o lado C = a, o ângulo C = θ e a altura relativa ao vértice igual a h. Solução: Siga os passos e observe o desenho a seguir 1. Desenhe uma reta r. 2. Sobre r assinale pontos e C tais que C = a. 3. Construa o arco capaz do ângulo θ sobre C. 4. Construa a reta s paralela a r, de forma que a distância entre r e s seja h. 5. Um dos pontos de interseção de s com o arco capaz é o ponto. O triângulo está construído. θ s h a C Lugares geométricos básicos II slide 6/6 r

16 Triângulos e circunferências I M13 - Unidade 6 Resumo elaborado por Eduardo Wagner baseado no texto:. Caminha M. Neto. Geometria. Coleção PROFMT

17 Triângulos e circunferências Duas secantes a uma circunferência cortam-se em um ponto P interior a ela. medida de um ângulo de vértice P é igual a semissoma das medidas dos arcos interiores ao ângulo. arc + arc CD Na figura a seguir, α =. 2 C α D Triângulos e circunferências I slide 2/7

18 Duas secantes a uma circunferência cortam-se em um ponto P exterior a ela. medida de um ângulo de vértice P é igual ao módulo da semidiferença das medidas dos arcos interiores ao ângulo. Na figura a seguir, α = arc arc CD. 2 C α D Triângulos e circunferências I slide 3/7

19 Ângulo de segmento Uma corda de uma circunferência e a tangente em uma das extremidades determinam um ângulo de segmento. medida do ângulo de segmento é a metade da medida do arco interior ao ângulo. Na figura a seguir, α = arc. 2 t α Triângulos e circunferências I slide 4/7

20 circunferência circunscrita ao triângulo Teorema s mediatrizes dos lados de um triângulo cortam-se em um único ponto. Demonstração Considere o triângulo C, a reta r, mediatriz de e a reta s, mediatriz de C. r O s Seja O o ponto de interseção de r e s. O r O = O e O s O = OC Logo, O = OC e, portanto, O pertence à mediatriz de C. Triângulos e circunferências I slide 5/7 C

21 Circuncentro O ponto O chama-se circuncentro do triângulo C e é o centro da sua circunferência circunscrita. r O s C Triângulos e circunferências I slide 6/7

22 circunferência inscrita no triângulo Teorema s bissetrizes dos ângulos internos de um triângulo cortam-se em um único ponto. Demonstração Fica para o leitor seguindo os passos da demonstração anterior. I O ponto I, comum às três bissetrizes internas chama-se incentro do triângulo C e é o centro da sua circunferência inscrita. C Triângulos e circunferências I slide 7/7

23 Triângulos e circunferências II M13 - Unidade 6 Resumo elaborado por Eduardo Wagner baseado no texto:. Caminha M. Neto. Geometria. Coleção PROFMT

24 s circunferências exinscritas no triângulo Uma circunferência exinscrita é tangente a um lado e aos prolongamentos dos outros dois. figura a seguir mostra, no triângulo C, a circunferência exinscrita relativa ao vértice (ou ao lado a, se preferirem). C I Triângulos e circunferências II slide 2/8

25 O centro I dessa circunferência é o ponto de interseção da bissetriz interna em e das bissetrizes externas em e C. C I Triângulos e circunferências II slide 3/8

26 Três circunferências exinscritas de um triângulo C Triângulos e circunferências II slide 4/8

27 Tangentes a uma circunferência P1) reta perpendicular a um raio de uma circunferência traçada pela sua extremidade é tangente à circunferência. Na figura abaixo a reta t passa por e é perpendicular ao raio O. reta t é tangente à circunferência. O t Triângulos e circunferências II slide 5/8

28 P2) Os segmentos das tangentes traçadas por um ponto exterior a uma circunferência são iguais. Na figura abaixo, P = P. O P Para justificar, observe a congruência dos triângulos PO e PO. P3) Se P e P são tangentes a uma circunferência, então a bissetriz do ângulo P passa pelo centro da circunferência. Triângulos e circunferências II slide 6/8

29 Problema Os lados de um triângulo são conhecidos. Os pontos de tangência da circunferência inscrita com os lados dividem cada lado em dois pedaços. Quanto medem todos esses seis segmentos? Solução: M P N Sejam = c, C = a e C = b. Seja a + b + c = 2p. Pela propriedade P2 desta aula façamos M = P = x, M = N = y e CN = CP = z. Temos então o sistema x + y = c, y + z = a, z + x = b. Somando as equações obtemos x + y + z = p e como y + z = a obtemos x = p a. nalogamente obtemos y = p b e z = p c. Triângulos e circunferências II slide 7/8 C

30 Problema No triângulo C de perímetro 2p a circunferência exinscrita relativa ao vértice tangencia a reta no ponto T. Mostre que T = p. Sugestão: Use a propriedade P2 desta aula. C T Triângulos e circunferências II slide 8/8

31 Quadriláteros inscritíveis e circunscritíveis I M13 - Unidade 7 Resumo elaborado por Eduardo Wagner baseado no texto:. Caminha M. Neto. Geometria. Coleção PROFMT

32 O quadrilátero circunscritível Um quadrilátero é circunscritível quando os quatro lados são tangentes a uma mesma circunferência. Nesse caso, dizemos que a circunferência está inscrita no quadrilátero. D C Quadriláteros inscritíveis e circunscritíveis I slide 2/7

33 Teorema de Pitot Em todo quadrilátero circunscritível as somas dos lados opostos são iguais. D P C Q N M Quadriláteros inscritíveis e circunscritíveis I slide 3/7

34 Demonstração do Teorema de Pitot D P C Q N figura acima mostra o quadrilátero circunscritível CD e os pontos de tangência de cada lado com a circunferência. Temos então: M M = Q M = N CP = CN DP = DQ Somando membro a membro obtemos ou seja, M + M + CP + DP = Q + DQ + N + CN + CD = D + C Quadriláteros inscritíveis e circunscritíveis I slide 4/7

35 recíproca do Teorema de Pitot É verdadeira a recíproca do Teorema de Pitot. Se em um quadrilátero os lados opostos têm mesma soma então existe uma circunferência tangente aos quatro lados. D C +CD = D +C Quadriláteros inscritíveis e circunscritíveis I slide 5/7

36 Problema É dado o triângulo C. Os pontos M e N dos lados e C, respectivamente são tais que o segmento MN é tangente à circunferência inscrita em C. Mostre que o perímetro do triângulo MN é constante. N M C Quadriláteros inscritíveis e circunscritíveis I slide 6/7

37 Solução do problema Para simplificar a notação sejam: = c, C = a, C = b, M = x, MN = y e N = z. Como CNM é circunscritível temos, pelo Teorema de Pitot, C + NM = M + CN ou seja, a + y = c x + b y. M N Isto significa que x + y + z = b + c a. O perímetro do triângulo MN é constante. C Quadriláteros inscritíveis e circunscritíveis I slide 7/7

38 Quadriláteros inscritíveis e circunscritíveis II M13 - Unidade 7 Resumo elaborado por Eduardo Wagner baseado no texto:. Caminha M. Neto. Geometria. Coleção PROFMT

39 O quadrilátero inscritível Um quadrilátero é inscritível quando os quatro vértices pertencem a uma mesma circunferência. D C Quadriláteros inscritíveis e circunscritíveis II slide 2/8

40 Teorema Em um quadrilátero inscritível os ângulos opostos são suplementares. Demonstração: D C Na figura acima, sendo  e ˆ as medidas dos ângulos D e CD, respectivamente, temos  + Ĉ = arc CD 2 + arc D 2 = = 180 Quadriláteros inscritíveis e circunscritíveis II slide 3/8

41 Recíproca recíproca do teorema anterior é verdadeira. Se um quadrilátero possui dois ângulos opostos suplementares então ele é inscritível. Sugestão para demonstração Considere o quadrilátero CD com ˆ + ˆD = 180. Considere, em seguida a circunferência que passa por, e C. Imagine que D não pertença a essa circunferência... Quadriláteros inscritíveis e circunscritíveis II slide 4/8

42 Reconhecimento do quadrilátero inscritível 1. Dois ângulos opostos suplementares. Â + Ĉ = 180 CD é inscritível 2. Um ângulo interno igual ao externo oposto. α = α CD é inscritível D α C α Quadriláteros inscritíveis e circunscritíveis II slide 5/8

43 3. No quadrilátero CD, C = D. α = C = D = α CD é inscritível De fato, o arco capaz do ângulo C construído sobre passa por D. D α α C Quadriláteros inscritíveis e circunscritíveis II slide 6/8

44 Problema No triângulo C os ângulos e medem 60 e 70, respectivamente. Os segmentos D e CE são alturas. Quanto mede o ângulo ED? 60 D E 70 C Quadriláteros inscritíveis e circunscritíveis II slide 7/8

45 Solução O ângulo C mede 50. Como DC = EC = 90 o quadrilátero CDE é inscritível. Logo, ED = C = 50. E θ D 50 C Quadriláteros inscritíveis e circunscritíveis II slide 8/8

Lista 3. Geometria, Coleção Profmat, SBM. Problemas selecionados da seção 2.5, pág. 81 em diante.

Lista 3. Geometria, Coleção Profmat, SBM. Problemas selecionados da seção 2.5, pág. 81 em diante. MA13 Exercícios das Unidades 4 e 5 2014 Lista 3 Geometria, Coleção Profmat, SBM. Problemas selecionados da seção 2.5, pág. 81 em diante. 1) Seja ABCD um quadrilátero qualquer. Prove que os pontos médios

Leia mais

Circunferência. MA092 Geometria plana e analítica. Interior e exterior. Circunferência e círculo. Francisco A. M. Gomes

Circunferência. MA092 Geometria plana e analítica. Interior e exterior. Circunferência e círculo. Francisco A. M. Gomes Circunferência MA092 Geometria plana e analítica Francisco A. M. Gomes UNICAMP - IMECC Setembro de 2016 A circunferência é o conjunto dos pontos de um plano que estão a uma mesma distância (denominada

Leia mais

Congruência de triângulos II

Congruência de triângulos II ongruência de triângulos II M13 - Unidade 2 Resumo elaborado por Eduardo Wagner baseado no texto:. aminha M. Neto. Geometria. oleção PROFMT Triângulo isósceles Os ângulos da base de um triângulo isósceles

Leia mais

MATEMÁTICA 3 GEOMETRIA PLANA Professor Renato Madeira. MÓDULO 5 Quadriláteros

MATEMÁTICA 3 GEOMETRIA PLANA Professor Renato Madeira. MÓDULO 5 Quadriláteros MATEMÁTICA 3 GEOMETRIA PLANA Professor Renato Madeira MÓDULO 5 Quadriláteros Os dois dias mais importantes da sua vida são o dia em que você nasceu e o dia em que você descobre o porquê. (Mark Twain) SUMÁRIO

Leia mais

Turma preparatória para Olimpíadas.

Turma preparatória para Olimpíadas. p: João Alvaro w: www.matemaniacos.com.br e: joao.baptista@iff.edu.br Turma preparatória para Olimpíadas. TRIÂNGULOS - V01 DEFINIÇÃO Sejam três pontos não colineares A, B e C, o triângulo ABC é uma figura

Leia mais

Polígonos PROFESSOR RANILDO LOPES 11.1

Polígonos PROFESSOR RANILDO LOPES 11.1 Polígonos PROFESSOR RANILDO LOPES 11.1 Polígonos Polígono é uma figura geométrica plana e fechada formada apenas por segmentos de reta que não se cruzam no mesmo plano. Exemplos 11.1 Elementos de um polígono

Leia mais

Lista 5. Geometria, Coleção Profmat, SBM. Problemas selecionados da seção 4.1, pág. 147 em diante.

Lista 5. Geometria, Coleção Profmat, SBM. Problemas selecionados da seção 4.1, pág. 147 em diante. MA13 Exercícios das Unidades 8, 9 e 10 2014 Lista 5 Geometria, Coleção Profmat, SBM. Problemas selecionados da seção 4.1, pág. 147 em diante. 1) As retas r, s e t são paralelas com s entre r e t. As transversais

Leia mais

I - INTRODUÇÃO II LUGARES GEOMÉTRICOS, ÂNGULOS E SEGMENTOS 1. POSTULADOS DO DESENHO GEOMÉTRICO

I - INTRODUÇÃO II LUGARES GEOMÉTRICOS, ÂNGULOS E SEGMENTOS 1. POSTULADOS DO DESENHO GEOMÉTRICO MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ SETOR DE CIÊNCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE EXPRESSÃO GRÁFICA Professores: Deise Maria Bertholdi Costa, Luzia Vidal de Souza, Paulo Henrique Siqueira,

Leia mais

1. Considere os pontos notáveis de um triângulo, sendo: B Baricentro C Circuncentro I Incentro O Ortocentro

1. Considere os pontos notáveis de um triângulo, sendo: B Baricentro C Circuncentro I Incentro O Ortocentro Lista de Exercícios Geometria Plana - loco I - Pontos notáveis do triângulo 1. Considere os pontos notáveis de um triângulo, sendo: aricentro C Circuncentro I Incentro rtocentro Preencha os parênteses:

Leia mais

Desenho Geométrico. Desenho Geométrico. Desenho Geométrico. Desenho Geometrico

Desenho Geométrico. Desenho Geométrico. Desenho Geométrico. Desenho Geometrico UNIVERSIDADE ESTADUAL VALE DO ACARAÚ- UVA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Desenho Geométrico Desenho Geométrico Desenho Geométrico Desenho Geometrico Daniel Caetano de Figueiredo Daniel Caetano de Figueiredo

Leia mais

Material Teórico - Módulo Elementos Básicos de Geometria Plana - Parte 3. Círculos: elementos, arcos e ângulos inscritos

Material Teórico - Módulo Elementos Básicos de Geometria Plana - Parte 3. Círculos: elementos, arcos e ângulos inscritos Material eórico - Módulo Elementos ásicos de Geometria lana - arte 3 írculos: elementos, arcos e ângulos inscritos itavo ano do Ensino Fundamental utor: rof. Jocelino Sato Revisor: rof. ntonio aminha M.

Leia mais

Geometria Plana. Exterior do ângulo Ô:

Geometria Plana. Exterior do ângulo Ô: Geometria Plana Ângulo é a união de duas semiretas de mesma origem, não sendo colineares. Interior do ângulo Ô: Exterior do ângulo Ô: Dois ângulos são consecutivos se, e somente se, apresentarem um lado

Leia mais

MA13 Geometria I Avaliação

MA13 Geometria I Avaliação 13 Geometria I valiação 1 2012 SOLUÇÕS Questão 1. (pontuação: 2) O ponto pertence ao lado do triângulo. Sabe-se que = = e que o ângulo mede 21 o. etermine a medida do ângulo. 21 o omo =, seja = =. O ângulo

Leia mais

Exercícios Propostos. Exercício 1: Cinco retas distintas em um plano cortam-se em n pontos. Determine o maior valor que n pode assumir.

Exercícios Propostos. Exercício 1: Cinco retas distintas em um plano cortam-se em n pontos. Determine o maior valor que n pode assumir. Exercícios Propostos Exercício 1: Cinco retas distintas em um plano cortam-se em n pontos. Determine o maior valor que n pode assumir. Exercício 2: As bissetrizes de dois ângulos adjacentes AÔB e BÔC são,

Leia mais

Propriedades do ortocentro

Propriedades do ortocentro Programa límpico de Treinamento Curso de Geometria - Nível 3 Prof. Rodrigo ula 4 Propriedades do ortocentro ortocentro é o ponto de encontro das três alturas de um triângulo arbitrário. Se o triângulo

Leia mais

Polos Olímpicos de Treinamento. Aula 16. Curso de Geometria - Nível 2. Pontos Notáveis 2: Incentro. Prof. Cícero Thiago

Polos Olímpicos de Treinamento. Aula 16. Curso de Geometria - Nível 2. Pontos Notáveis 2: Incentro. Prof. Cícero Thiago Polos Olímpicos de Treinamento urso de Geometria - Nível Prof. ícero Thiago ula 16 Pontos Notáveis : ncentro Teorema 1. Seja XOY umângulodadoep umpontoemseuinterior. Então, adistância de P a XO é igual

Leia mais

Triângulos DEFINIÇÃO ELEMENTOS

Triângulos DEFINIÇÃO ELEMENTOS Triângulos DEFINIÇÃO Do latim - triangulu, é um polígono de três lados e três ângulos. Os três ângulos de um triângulo são designados por três letras maiúsculas, B e C e os lados opostos a eles, pelas

Leia mais

1ª Aula. Introdução à Geometria Plana GEOMETRIA. 3- Ângulos Consecutivos: 1- Conceitos Primitivos: a) Ponto A. b) Reta c) Semi-reta

1ª Aula. Introdução à Geometria Plana GEOMETRIA. 3- Ângulos Consecutivos: 1- Conceitos Primitivos: a) Ponto A. b) Reta c) Semi-reta 1ª Aula 3- Ângulos Consecutivos: Introdução à Geometria Plana 1- Conceitos Primitivos: a) Ponto A Na figura, os ângulos AÔB e BÔC são consecutivos, portanto AÔC=AÔB+AÔC b) Reta c) Semi-reta d) Segmento

Leia mais

DESENHO GEOMÉTRICO Matemática - Unioeste Definição 1. Poligonal é uma figura formada por uma sequência de pontos (vértices)

DESENHO GEOMÉTRICO Matemática - Unioeste Definição 1. Poligonal é uma figura formada por uma sequência de pontos (vértices) DESENHO GEOMÉTRICO Matemática - Unioeste - 2010 1 Polígonos Definição 1. Poligonal é uma figura formada por uma sequência de pontos (vértices) A 1, A 2,..., A n e pelos segmentos (lados) A 1 A 2, A 2 A

Leia mais

CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO

CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO IRUNFRÊNI ÍRUL 01 ( FUVST) medida do ângulo ˆ inscrito na circunferência de centro é, em graus, ) 100 ) 110 ) 10 ) 15 35º 0 0 ( U ) bserve a figura. la mostra dois círculos de mesmo raio com centros em

Leia mais

Geometria plana. Índice. Polígonos. Triângulos. Congruência de triângulos. Semelhança de triângulos. Relações métricas no triângulo retângulo

Geometria plana. Índice. Polígonos. Triângulos. Congruência de triângulos. Semelhança de triângulos. Relações métricas no triângulo retângulo Índice Geometria plana Polígonos Triângulos Congruência de triângulos Semelhança de triângulos Relações métricas no triângulo retângulo Quadriláteros Teorema de Tales Esquadros de madeira www.ser.com.br

Leia mais

CONSTRUÇÕES GEOMÉTRICAS FUNDAMENTAIS

CONSTRUÇÕES GEOMÉTRICAS FUNDAMENTAIS UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ SETOR DE CIÊNCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE EXPRESSÃO GRÁFICA CONSTRUÇÕES GEOMÉTRICAS FUNDAMENTAIS 2 1 NOÇÕES DE GEOMETRIA PLANA 1.1 GEOMETRIA A necessidade de medir terras

Leia mais

CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO 1ª PARTE DEFINIÇÕES

CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO 1ª PARTE DEFINIÇÕES CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO 1ª PARTE DEFINIÇÕES CÍRCULO E CIRCUNFERÊNCIA Circunferência: é uma linha. Exemplos: argola, roda de bicicleta... Círculo: é uma superfície. Exemplos: moeda, mesa redonda... CIRCUNFERÊNCIA

Leia mais

Aula 7 Complementos. Exercício 1: Em um plano, por um ponto, existe e é única a reta perpendicular

Aula 7 Complementos. Exercício 1: Em um plano, por um ponto, existe e é única a reta perpendicular MODULO 1 - AULA 7 Aula 7 Complementos Apresentamos esta aula em forma de Exercícios Resolvidos, mas são resultados importantes que foram omitidos na primeira aula que tratou de Conceitos Básicos. Exercício

Leia mais

MATEMÁTICA APLICADA À AGRIMENSURA PROF. JORGE WILSON

MATEMÁTICA APLICADA À AGRIMENSURA PROF. JORGE WILSON MATEMÁTICA APLICADA À AGRIMENSURA PROF. JORGE WILSON PROFJWPS@GMAIL.COM DEFINIÇÕES GEOMETRIA PLANA Ponto: Um elemento do espaço que define uma posição. Reta: Conjunto infinito de pontos. Dois pontos são

Leia mais

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS TRIÂNGULOS

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS TRIÂNGULOS 1 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS TRIÂNGULOS 1. CONSTRUIR UM TRIÂNGULO ESCALENO DE BASE 10 CM E ÂNGULOS ADJASCENTES À BASE DE 75 E 45. Sejam dados a base AB e os ângulos adjacentes à base. Primeiro transporte o

Leia mais

LISTA DE EXERCÍCIOS MAT GEOMETRIA E DESENHO GEOMÉTRICO I

LISTA DE EXERCÍCIOS MAT GEOMETRIA E DESENHO GEOMÉTRICO I LISTA DE EXERCÍCIOS MAT 230 - GEOMETRIA E DESENHO GEOMÉTRICO I 1. Numa geometria de incidência, o plano tem 5 pontos. Quantas retas tem este plano? A resposta é única? 2. Exibir um plano de incidência

Leia mais

Desenho Técnico Página 11

Desenho Técnico Página 11 Exercício 16 Concordância Interna de Circunferências Dada uma circunferência de centro O 1 conhecido, determine a circunferência de centro O 2 de tal forma que sejam concordantes internamente. Marque o

Leia mais

Aula 21 - Baiano GEOMETRIA PLANA

Aula 21 - Baiano GEOMETRIA PLANA Aula 21 - Baiano GEOMETRIA PLANA Definição: Polígono de quatro lados formado por quatro vértices não colineares dois a dois. A D S i = 180º (n 2)= 180º (4 2)= 360º S e = 360º B C d = n. (n - 3) 2 = 4.

Leia mais

Ortocentro, Reta de Euler e a Circunferência dos 9 pontos

Ortocentro, Reta de Euler e a Circunferência dos 9 pontos Prof. ícero Thiago - cicerothmg@gmail.com rtocentro, Reta de uler e a ircunferência dos 9 pontos Propriedade 1. Seja o centro da circunferência circunscrita ao triângulo acutângulo e seja a projeção de

Leia mais

Aula 09 (material didático produzido por Paula Rigo)

Aula 09 (material didático produzido por Paula Rigo) EMBAP ESCOLA DE MÚSICA E BELAS ARTES DO PARANÁ DISCIPLINA DE DESENHO GEOMÉTRICO E GEOMETRIA DESCRITIVA Profª Eliane Dumke e-mail: eliane.dumke@gmail.com Aula 09 (material didático produzido por Paula Rigo)

Leia mais

MATEMÁTICA II LISTA DE GEOMETRIA PLANA - III

MATEMÁTICA II LISTA DE GEOMETRIA PLANA - III MATEMÁTICA II LISTA DE GEOMETRIA PLANA - III 0 Dois círculos de centros A e B são tangentes exteriormente e tangenciam interiormente um círculo de centro C. Se AB = cm, AC = 7 cm e BC = 3 cm, então o raio

Leia mais

Desenho e Projeto de Tubulação Industrial Nível II

Desenho e Projeto de Tubulação Industrial Nível II Desenho e Projeto de Tubulação Industrial Nível II Módulo I Aula 04 TRIÂNGULOS Triângulo é um polígono de três lados. É o polígono que possui o menor número de lados. Talvez seja o polígono mais importante

Leia mais

A Matemática no Vestibular do IME. Material Complementar 1: Soluções de Desenho Geométrico. c 2014, Sergio Lima Netto

A Matemática no Vestibular do IME. Material Complementar 1: Soluções de Desenho Geométrico. c 2014, Sergio Lima Netto Matemática no Vestibular do IME Material Complementar 1: Soluções de Desenho Geométrico c 014, Sergio Lima Netto sergioln@smt.ufrj.br Esse material inclui as soluções de diversas questões de desenho geométrico

Leia mais

ENSINO PRÉ-UNIVERSITÁRIO PROFESSOR(A) TURNO. 01. Determine a distância entre dois pontos A e B do plano cartesiano.

ENSINO PRÉ-UNIVERSITÁRIO PROFESSOR(A) TURNO. 01. Determine a distância entre dois pontos A e B do plano cartesiano. SÉRIE ITA/IME ENSINO PRÉ-UNIVERSITÁRIO PROFESSOR(A) ALUNO(A) TURMA MARCELO MENDES TURNO SEDE DATA Nº / / TC MATEMÁTICA Geometria Analítica Exercícios de Fixação Conteúdo: A reta Parte I Exercícios Tópicos

Leia mais

Aula 9 Triângulos Semelhantes

Aula 9 Triângulos Semelhantes MUL 1 - UL 9 ula 9 Triângulos Semelhantes efinição: ois triângulos são semelhantes se os três ângulos são ordenadamente congruentes e se os lados homólogos são proporcionais. figura mostra dois triângulos

Leia mais

PREPARATÓRIO PROFMAT/ AULA 8 Geometria

PREPARATÓRIO PROFMAT/ AULA 8 Geometria PREPARATÓRIO PROFMAT/ AULA 8 Geometria QUESTÕES DISCURSIVAS Questão 1. (PROFMAT-2012) As figuras a seguir mostram duas circunferências distintas, com centros C 1 e C 2 que se intersectam nos pontos A e

Leia mais

GEOMETRIA PLANA. 1) (UFRGS) Na figura abaixo, o vértice A do retângulo OABC está a 6 cm do vértice C. O raio do círculo mede

GEOMETRIA PLANA. 1) (UFRGS) Na figura abaixo, o vértice A do retângulo OABC está a 6 cm do vértice C. O raio do círculo mede GEOMETRI PLN 1) (UFRGS) Na figura abaixo, o vértice do retângulo O está a 6 cm do vértice. O raio do círculo mede O (a) 5 cm (b) 6 cm (c) 8 cm (d) 9 cm (e) 10 cm ) (UFRGS) Na figura abaixo, é o centro

Leia mais

(A) 30 (B) 6 (C) 200 (D) 80 (E) 20 (A) 6 (B) 10 (C) 15 (D) 8 (E) 2 (A) 15 (B) 2 (C) 6 (D) 27 (E) 4 (A) 3 (B) 2 (C) 6 (D) 27 (E) 4

(A) 30 (B) 6 (C) 200 (D) 80 (E) 20 (A) 6 (B) 10 (C) 15 (D) 8 (E) 2 (A) 15 (B) 2 (C) 6 (D) 27 (E) 4 (A) 3 (B) 2 (C) 6 (D) 27 (E) 4 TEOREMA DE TALES 1. Na figura abaixo as retas r, s e t são (A) 0 (B) 6 (C) 00 (E) 0. Três retas paralelas são cortadas por duas Se AB = cm; BC = 6 cm e XY = 10 cm a medida, em cm, de XZ é: (A) 0 (B) 10

Leia mais

I - INTRODUÇÃO 1. POSTULADOS DO DESENHO GEOMÉTRICO

I - INTRODUÇÃO 1. POSTULADOS DO DESENHO GEOMÉTRICO MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ SETOR DE CIÊNCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE EXPRESSÃO GRÁFICA Professora Deise Maria Bertholdi Costa Disciplina CD046 Expressão Gráfica I Curso Engenharia

Leia mais

Plano de Recuperação Final EF2

Plano de Recuperação Final EF2 Professor: Cíntia e Pupo Ano: 9º Objetivos: Proporcionar ao aluno a oportunidade de resgatar os conteúdos trabalhados em Desenho Geométrico, nos quais apresentou defasagens e que lhe servirão como pré-requisitos

Leia mais

Material by: Caio Guimarães (Equipe Rumoaoita.com) Referência: cadernos de aula: Professor Eduardo Wagner

Material by: Caio Guimarães (Equipe Rumoaoita.com) Referência: cadernos de aula: Professor Eduardo Wagner Material by: Caio Guimarães (Equipe Rumoaoita.com) Referência: cadernos de aula: Professor Eduardo Wagner 3 - Parábolas Definição 1.1: Dados um ponto no plano F e uma reta d no plano, é denominada Parábola

Leia mais

LISTA 2 GEOMETRIA PLANA PROF. NATHALIE 1º Ensino Médio

LISTA 2 GEOMETRIA PLANA PROF. NATHALIE 1º Ensino Médio LISTA 2 GEOMETRIA PLANA PROF. NATHALIE 1º Ensino Médio 11. Em cada uma das figuras, o centro da circunferência é O. Calcule o valor de x. (a) 35 b) 70 ) a) b) 01. Qual é o polígono cuja soma dos ângulos

Leia mais

1. POSTULADOS DO DESENHO GEOMÉTRICO

1. POSTULADOS DO DESENHO GEOMÉTRICO MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO - UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ SETOR DE CIÊNCIAS EXATAS - DEPARTAMENTO DE EXPRESSÃO GRÁFICA Professora Deise Maria Bertholdi Costa - Disciplina CD027 Expressão Gráfica I Curso

Leia mais

Segunda Etapa 2ª ETAPA 2º DIA 11/12/2006

Segunda Etapa 2ª ETAPA 2º DIA 11/12/2006 Segunda Etapa ª ETP º DI 11/1/006 CDERNO DE PROVS FÍSIC MTEMÁTIC GEOMETRI GRÁFIC IOLOGI GEOGRFI PORTUGUÊS LITERTUR INGLÊS ESPNHOL FRNCÊS TEORI MUSICL COMISSÃO DE PROCESSOS SELETIVOS E TREINMENTOS Geometria

Leia mais

Aula 11 Polígonos Regulares

Aula 11 Polígonos Regulares MODULO 1 - AULA 11 Aula 11 Polígonos Regulares Na Aula 3, em que apresentamos os polígonos convexos, vimos que um polígono regular é um polígono convexo tal que: a) todos os lados são congruentes entre

Leia mais

RETAS PARALELAS INTERCEPTADAS POR UMA TRANSVERSAL

RETAS PARALELAS INTERCEPTADAS POR UMA TRANSVERSAL GEOMETRIA PLANA MEDIDAS DE ÂNGULOS: Raso, se é igual a 180º; Nulo, se, é igual a 0º; Reto:é igual a 90 ; Agudo: é maior que 0 e menor que 90 ; Obtuso: é maior que 90 e menor que 180. IMPORTANTE: se a soma

Leia mais

NOME: ANO: 3º Nº: PROFESSOR(A):

NOME: ANO: 3º Nº: PROFESSOR(A): NOME: ANO: º Nº: PROFESSOR(A): Ana Luiza Ozores DATA: Algumas definições Triângulos: REVISÃO Lista 06 Triângulos e Quadriláteros Classificação quanto aos lados: Escaleno (todos os lados diferentes), Isósceles

Leia mais

1º Banco de Questões do 4º Bimestre de Matemática (REVISÃO)

1º Banco de Questões do 4º Bimestre de Matemática (REVISÃO) Aluno(a): Professora: Deise Ilha Turno: Matutino. Componente Curricular: Matemática Data: / / 2016.. 1º Banco de Questões do 4º Bimestre de Matemática (REVISÃO) QUESTÃO 01 Tipo A (Julgar Certo ou Errado)

Leia mais

Circunferências ex - inscritas

Circunferências ex - inscritas Polos Olímpicos de Treinamento urso de Geometria - Nível Prof. ícero Thiago ula 18 ircunferências ex - inscritas Teorema 1. Seja XOY umângulodadoep umpontoemseuinterior. ntão, adistância de P a XO é igual

Leia mais

GEOMETRIA PLANA. Segmentos congruentes: Dois segmentos ou ângulos são congruentes quando têm as mesmas medidas.

GEOMETRIA PLANA. Segmentos congruentes: Dois segmentos ou ângulos são congruentes quando têm as mesmas medidas. PARTE 01 GEOMETRIA PLANA Introdução A Geometria está apoiada sobre alguns postulados, axiomas, definições e teoremas, sendo que essas definições e postulados são usados para demonstrar a validade de cada

Leia mais

I - INTRODUÇÃO 1. POSTULADOS DO DESENHO GEOMÉTRICO

I - INTRODUÇÃO 1. POSTULADOS DO DESENHO GEOMÉTRICO UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ DEPARTAMENTO DE EXPRESSÃO GRÁFICA DISCIPLINA: EXPRESSÃO GRÁFICA I CURSO: ARQUITETURA AUTORES: Luzia Vidal de Souza Deise Maria Bertholdi Costa Paulo Henrique Siqueira I -

Leia mais

Os pentágonos regulares ABCDE e EF GHI da figura abaixo estão em posição tal que as retas CD e GH são perpendiculares.

Os pentágonos regulares ABCDE e EF GHI da figura abaixo estão em posição tal que as retas CD e GH são perpendiculares. GABARITO MA1 Geometria I - Avaliação - 01/ Questão 1. (pontuação: ) Os pentágonos regulares ABCDE e EF GHI da figura abaixo estão em posição tal que as retas CD e GH são perpendiculares. Calcule a medida

Leia mais

Módulo Quadriláteros. Quadriláteros Inscritos e Circunscritos. 9 ano E.F. Professores Cleber Assis e Tiago Miranda

Módulo Quadriláteros. Quadriláteros Inscritos e Circunscritos. 9 ano E.F. Professores Cleber Assis e Tiago Miranda Módulo Quadriláteros Quadriláteros Inscritos e Circunscritos 9 ano E.F. Professores Cleber Assis e Tiago Miranda Quadriláteros Quadriláteros Incritos e Circunscritos Exercício 5. Determine o valor de x

Leia mais

Soluções dos Problemas do Capítulo 4

Soluções dos Problemas do Capítulo 4 Soluções do apítulo 4 155 Soluções dos Problemas do apítulo 4 Problema 1 h 10 14 Figura 57 x Seja h a altura do Pão de çúcar em relação ao plano horizontal de medição e seja x a distância de ao pé da altura

Leia mais

5 LG 1 - CIRCUNFERÊNCIA

5 LG 1 - CIRCUNFERÊNCIA 40 5 LG 1 - CIRCUNFERÊNCIA Propriedade: O lugar geométrico dos pontos do plano situados a uma distância constante r de um ponto fixo O é a circunferência de centro O e raio r. Notação: Circunf(O,r). Sempre

Leia mais

MAT-230 Diurno 1ª Folha de Exercícios

MAT-230 Diurno 1ª Folha de Exercícios MAT-230 Diurno 1ª Folha de Exercícios Prof. Paulo F. Leite agosto de 2009 1 Problemas de Geometria 1. Num triângulo isósceles a mediana, a bissetriz e a altura relativas à base coincidem. 2. Sejam A e

Leia mais

MA13 Geometria AV1 2014

MA13 Geometria AV1 2014 MA13 Geometria AV1 2014 Questão 1 [ 2,0 pt ] Considere um paralelogramo ABCD e sejam M o centro da circunferência definida pelos vértices A, B e C N o centro da circunferência definida pelos vértices B,

Leia mais

VESTIBULAR UFPE UFRPE / ª ETAPA

VESTIBULAR UFPE UFRPE / ª ETAPA VSTIULR UFP UFRP / 1999 2ª TP NOM O LUNO: SOL: SÉRI: TURM: MTMÁTI 2 01. O triângulo da ilustração abaixo é isósceles ( = ) e = = (isto é,, trissectam ): nalise as afirmações: 0-0) Os ângulos, e são congruentes.

Leia mais

1 POTÊNCIA DE PONTO 2 CIRCUNFERÊNCIAS TANGENTES. 1.1 Potência de ponto interior. 1.2 Potência de ponto exterior

1 POTÊNCIA DE PONTO 2 CIRCUNFERÊNCIAS TANGENTES. 1.1 Potência de ponto interior. 1.2 Potência de ponto exterior Matemática 2 Pedro Paulo GEOMETRIA PLANA XV 1 POTÊNCIA DE PONTO Sejam um ponto interior ou exterior a uma circunferência e uma reta que passa por e corta a circunferência nos pontos e. A potência do ponto

Leia mais

Desenho Geométrico e Concordâncias

Desenho Geométrico e Concordâncias UnB - FGA Desenho Geométrico e Concordâncias Disciplina: DIAC-1 Prof a Eneida González Valdés CONSTRUÇÕES GEOMÉTRICAS Todas as construções da geometria plana são importantes, há, entretanto algumas, que

Leia mais

LINHAS PROPORCIONAIS Geometria Plana. PROF. HERCULES SARTI Mestre

LINHAS PROPORCIONAIS Geometria Plana. PROF. HERCULES SARTI Mestre LINHAS PROPORCIONAIS Geometria Plana PROF. HERCULES SARTI Mestre Exemplo 4: apostila Determine o perímetro do quadrilátero ABCD, circunscritível, da figura. Resolução: Exemplo 4: apostila Determine o perímetro

Leia mais

PONTOS NOTÁVEIS DE UM. Professora Joseane Fernandes TRIÂNGULO

PONTOS NOTÁVEIS DE UM. Professora Joseane Fernandes TRIÂNGULO PONTOS NOTÁVEIS DE UM Professora Joseane Fernandes TRIÂNGULO PONTOS NOTÁVEIS DE UM TRIÂNGULO. Baricentro; Incentro; Circuncentro; Ortocentro. BARICENTRO - MEDIANA Mediana segmento de reta que liga o ponto

Leia mais

Módulo de Triângulo Retângulo, Lei dos Senos e Cossenos, Poĺıgonos Regulares. 9 o ano E.F.

Módulo de Triângulo Retângulo, Lei dos Senos e Cossenos, Poĺıgonos Regulares. 9 o ano E.F. Módulo de Triângulo Retângulo, Lei dos Senos e ossenos, Poĺıgonos Regulares. Relações Métricas em Poĺıgonos Regulares 9 o ano.. Triângulo Retângulo, Lei dos Senos e ossenos, Polígonos Regulares. Relações

Leia mais

Coordenadas Cartesianas

Coordenadas Cartesianas 1 Coordenadas Cartesianas 1.1 O produto cartesiano Para compreender algumas notações utilizadas ao longo deste texto, é necessário entender o conceito de produto cartesiano, um produto entre conjuntos

Leia mais

Áreas IME (A) (B) (C) (D) 104 (E) e 2

Áreas IME (A) (B) (C) (D) 104 (E) e 2 Áreas IME 1. (IME 010) Seja ABC um triângulo de lados AB, BC e AC iguais a 6, 8, e 18, respectivamente. Considere o círculo de centro O isncrito nesse triângulo. A distância AO vale: 104 (A) 6 104 (B)

Leia mais

COLÉGIO MARQUES RODRIGUES - SIMULADO

COLÉGIO MARQUES RODRIGUES - SIMULADO COLÉGIO MRQUES RODRIGUES - SIMULDO PROFESSOR HENRIQUE LEL DISCIPLIN MTEMÁTIC SIMULDO: P5 Estrada da Água Branca, 2551 Realengo RJ Tel: (21) 3462-7520 www.colegiomr.com.br LUNO TURM 801 Questão 1 Qual dos

Leia mais

MATEMÁTICA Polígonos e circunferências. Circunferência

MATEMÁTICA Polígonos e circunferências. Circunferência MTEMÁTI ircunferência hama-se circunferência de centro e raio r ao conjuntos de pontos do plano cuja a distância ao ponto é igual a r. Uma circunferência de centro e raio r designa-se geralmente por (,

Leia mais

Geometria Plana - Aula 05

Geometria Plana - Aula 05 Geometria Plana - Aula 05 Elaine Pimentel Universidade Federal de Minas Gerais, Departamento de Matemática Geometria Plana Especialização 2008 - p. 1 Esquema da aula Quadrilátero - definição e. Quadriláteros

Leia mais

3º trimestre SALA DE ESTUDOS Data: 11/17 Ensino Médio 3º ano A, B e C. Prof. Maurício Nome: nº

3º trimestre SALA DE ESTUDOS Data: 11/17 Ensino Médio 3º ano A, B e C. Prof. Maurício Nome: nº º trimestre SALA DE ESTUDOS Data: 11/17 Ensino Médio º ano A, B e C. Prof. Maurício Nome: nº CONTEÚDOS: EQUAÇÃO DA RETA E EQUAÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA. 1. (Eear 017) O triângulo ABC a) escaleno b) isósceles

Leia mais

17 TRIÂNGULOS 17.1 PONTOS NOTÁVEIS DE UM TRIÂNGULO. Definição: O encontro das mediatrizes dos lados de um triângulo é único e chama-se circuncentro.

17 TRIÂNGULOS 17.1 PONTOS NOTÁVEIS DE UM TRIÂNGULO. Definição: O encontro das mediatrizes dos lados de um triângulo é único e chama-se circuncentro. 97 17 TRIÂNGULOS 17.1 PONTOS NOTÁVEIS DE UM TRIÂNGULO Definição: O encontro das mediatrizes dos lados de um triângulo é único e chama-se circuncentro. Propriedades: 1) O circuncentro é o centro da circunferência

Leia mais

EMENTA ESCOLAR III Trimestre Ano 2014

EMENTA ESCOLAR III Trimestre Ano 2014 EMENTA ESCOLAR III Trimestre Ano 2014 Disciplina: Matemática Professor: Flávio Calônico Júnior Turma: 8 ano do Ensino Fundamental II Data 16/setembro 18/setembro 19/setembro 23/setembro 25/setembro 26/setembro

Leia mais

Axiomas de Incidência Axiomas de Ordem Axiomas de Congruência Axioma das paralelas Axiomas de Continuidade

Axiomas de Incidência Axiomas de Ordem Axiomas de Congruência Axioma das paralelas Axiomas de Continuidade 1 GEOMETRIA PLANA Atualizado em 04/08/2008 www.mat.ufmg.br/~jorge Bibliografia 1. Pogorélov, A.V. Geometria Elemental Editora Mir. 2. Dolce, Osvaldo e Nicolau, Pompeu Geometria Plana Volume 9 da Coleção

Leia mais

Geometria Plana 03 Prof. Valdir

Geometria Plana 03 Prof. Valdir eometria lana 03 rof. Valdir TS TÁVEIS E U TRIÂUL 1. RIETR É o ponto de equilíbrio ou centro de gravidade do triângulo. baricentro coincide com o ponto de intersecção das medianas do triângulo (na figura

Leia mais

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS TANGÊNCIA

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS TANGÊNCIA 1 Resumo. Maria Bernadete Barison apresenta exercícios e resoluções sobre TANGÊNCIA em Desenho Geométrico. Geométrica vol.1 n.6c. 2005. Desenhos construídos por: Enéias de A. Prado. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

Leia mais

Equilátero Isósceles Escaleno

Equilátero Isósceles Escaleno TRIÂNGULOS Triângulo são polígonos formados por três lados. Os polígonos, por sua vez, são figuras geométricas formadas por segmentos de reta que, dois a dois, tocam-se em seus pontos extremos, mas que

Leia mais

C A r. GABARITO MA13 Geometria I - Avaliação /2. A área de um triângulo ABC será denotada por (ABC).

C A r. GABARITO MA13 Geometria I - Avaliação /2. A área de um triângulo ABC será denotada por (ABC). GRITO 13 Geometria I - valiação 3-01/ área de um triângulo será denotada por (). Questão 1. (pontuação: ) figura abaio mostra as semirretas perpendiculares r e s, três circunferências pequenas cada uma

Leia mais

Grupo 1 - N1M2 - PIC OBMEP 2011 Módulo 2 - Geometria. Resumo do Encontro 6, 22 de setembro de Questões de geometria das provas da OBMEP

Grupo 1 - N1M2 - PIC OBMEP 2011 Módulo 2 - Geometria. Resumo do Encontro 6, 22 de setembro de Questões de geometria das provas da OBMEP Grupo 1 - N1M2 - PIC OBMEP 2011 Módulo 2 - Geometria Resumo do Encontro 6, 22 de setembro de 2012 Questões de geometria das provas da OBMEP http://www.obmep.org.br/provas.htm 1. Áreas - capítulo 2 da apostila

Leia mais

Classificac a o segundo os lados. Geometria plana e analı tica. Congrue ncia de tria ngulos. Tria ngulo reta ngulo. Tria ngulos

Classificac a o segundo os lados. Geometria plana e analı tica. Congrue ncia de tria ngulos. Tria ngulo reta ngulo. Tria ngulos Classificac a o segundo os lados MA092 Francisco A. M. Gomes UNICAMP - IMECC Classificac a o Um tria ngulo e Equila tero, se tem tre s lados congruentes. Iso sceles, se tem dois lados congruentes. Escaleno,

Leia mais

Conceitos básicos de Geometria:

Conceitos básicos de Geometria: Conceitos básicos de Geometria: Os conceitos de ponto, reta e plano não são definidos. Compreendemos estes conceitos a partir de um entendimento comum utilizado cotidianamente dentro e fora do ambiente

Leia mais

Posição relativa entre retas e círculos e distâncias

Posição relativa entre retas e círculos e distâncias 4 Posição relativa entre retas e círculos e distâncias Sumário 4.1 Distância de um ponto a uma reta.......... 2 4.2 Posição relativa de uma reta e um círculo no plano 4 4.3 Distância entre duas retas no

Leia mais

Grupo de exercícios I.2 - Geometria plana- Professor Xanchão

Grupo de exercícios I.2 - Geometria plana- Professor Xanchão Grupo de exercícios I - Geometria plana- Professor Xanchão 1 (G1 - utfpr 013) Um triângulo isósceles tem dois lados congruentes (de medidas iguais) e o outro lado é chamado de base Se em um triângulo isósceles

Leia mais

CM127 - Lista Mostre que os pontos médios de um triângulo isósceles formam um triângulo também isósceles.

CM127 - Lista Mostre que os pontos médios de um triângulo isósceles formam um triângulo também isósceles. CM127 - Lista 2 Congruência de Triângulos e Desigualdade Triangular 1. Faça todos os exercícios dados em aula. 2. Em um triângulo ABC a altura do vértice A é perpendicular ao lado BC e divide BC em dois

Leia mais

Polos Olímpicos de Treinamento. Aula 17. Curso de Geometria - Nível 2. Pontos Notáveis 3: Circuncentro e Ortocentro. Prof.

Polos Olímpicos de Treinamento. Aula 17. Curso de Geometria - Nível 2. Pontos Notáveis 3: Circuncentro e Ortocentro. Prof. Polos Olímpicos de Treinamento urso de Geometria - Nível 2 Prof. ícero Thiago ula 17 Pontos Notáveis 3: ircuncentro e Ortocentro Teorema 1. Sejam, e P três pontos distintos no plano. Temos que P = P se,

Leia mais

Aula 11 Conseqüências da semelhança de

Aula 11 Conseqüências da semelhança de onseqüências da semelhança de triângulos MÓULO 1 - UL 11 ula 11 onseqüências da semelhança de triângulos Objetivos presentar o Teorema de Pitágoras presentar o teorema da bissetriz interna. O Teorema de

Leia mais

NOTAÇÕES. R : conjunto dos números reais C : conjunto dos números complexos

NOTAÇÕES. R : conjunto dos números reais C : conjunto dos números complexos NOTAÇÕES R : conjunto dos números reais C : conjunto dos números complexos i : unidade imaginária: i = 1 z : módulo do número z C Re(z) : parte real do número z C Im(z) : parte imaginária do número z C

Leia mais

Quadriláteros Circunscritíveis

Quadriláteros Circunscritíveis Programa Olímpico de Treinamento urso de Geometria - Nível 3 Prof. Rodrigo ula 3 Quadriláteros ircunscritíveis Um quadrilátero é dito circunscritível se, e somente se, existe uma circunferência que tangencia

Leia mais

MATEMÁTICA. Professor Renato Madeira MÓDULO 14 ÁREAS DE TRIÂNGULOS E DE QUADRILÁTEROS POLÍGONOS E REGIÕES CIRCULARES

MATEMÁTICA. Professor Renato Madeira MÓDULO 14 ÁREAS DE TRIÂNGULOS E DE QUADRILÁTEROS POLÍGONOS E REGIÕES CIRCULARES MATEMÁTICA Professor Renato Madeira MÓDULO 14 ÁREA DE TRIÂNGULO E DE QUADRILÁTERO POLÍGONO E REGIÕE CIRCULARE 1. DEFINIÇÃO DE ÁREA Cada figura plana está associada a um número positivo chamado área que

Leia mais

Teorema do ângulo externo e sua consequencias

Teorema do ângulo externo e sua consequencias Teorema do ângulo externo e sua consequencias Definição. Os ângulos internos de um triângulo são os ângulos formados pelos lados do triângulo. Um ângulo suplementar a um ângulo interno do triângulo é denominado

Leia mais

Cilindro. MA13 - Unidade 23. Resumo elaborado por Eduardo Wagner baseado no texto: A. Caminha M. Neto. Geometria. Coleção PROFMAT

Cilindro. MA13 - Unidade 23. Resumo elaborado por Eduardo Wagner baseado no texto: A. Caminha M. Neto. Geometria. Coleção PROFMAT Cilindro MA13 - Unidade 23 Resumo elaborado por Eduardo Wagner baseado no texto: A. Caminha M. Neto. Geometria. Coleção PROFMAT Cilindro Em um plano H considere uma curva simples fechada C e seja r uma

Leia mais

CM127 - Lista 3. Axioma da Paralelas e Quadriláteros Notáveis. 1. Faça todos os exercícios dados em aula.

CM127 - Lista 3. Axioma da Paralelas e Quadriláteros Notáveis. 1. Faça todos os exercícios dados em aula. CM127 - Lista 3 Axioma da Paralelas e Quadriláteros Notáveis 1. Faça todos os exercícios dados em aula. 2. Determine as medidas x e y dos ângulos dos triângulos nos itens abaixo 3. Dizemos que um triângulo

Leia mais

Turma M1-27/09/2011 Dirce Uesu

Turma M1-27/09/2011 Dirce Uesu Turma M1-27/09/2011 Dirce Uesu Prova: Por quê? Prova: Por quê? Prova: Por quê? OBS: Considere em um plano uma circunferência e um ponto P, o qual poderá ser : - ou exterior - ou interior - ou pertencer

Leia mais

ÂNGULOS. Ângulos no círculo

ÂNGULOS. Ângulos no círculo ÂNGULOS Ângulos no círculo A circunferência:. Diâmetro Semicircunferên cia Diâmetro - é o segmento de recta que une 2 pontos da circunferência passando pelo centro. Raio - é o segmento de recta que une

Leia mais

DESENHO TÉCNICO ( AULA 02)

DESENHO TÉCNICO ( AULA 02) DESENHO TÉCNICO ( AULA 02) Posições da reta e do plano no espaço A geometria, ramo da Matemática que estuda as figuras geométricas, preocupa-se também com a posição que os objetos ocupam no espaço. A reta

Leia mais

Módulo Quadriláteros. Relação de Euler para Quadriláteros. 9 ano E.F. Professores Cleber Assis e Tiago Miranda

Módulo Quadriláteros. Relação de Euler para Quadriláteros. 9 ano E.F. Professores Cleber Assis e Tiago Miranda Módulo Quadriláteros Relação de Euler para Quadriláteros 9 ano E.F. Professores Cleber Assis e Tiago Miranda Quadriláteros Relação de Euler para Quadriláteros 2 Exercícios de Fixação Exercício 5. Seja

Leia mais

MATEMÁTICA DCET UESC Humberto José Bortolossi Vamos demonstrar que o conjunto de pontos que satisfazem a equação.

MATEMÁTICA DCET UESC Humberto José Bortolossi  Vamos demonstrar que o conjunto de pontos que satisfazem a equação. R PZ VI NÚMERS MPLEXS Funções nalíticas I MTEMÁTI DET UES Humberto José ortolossi http://www.arbelos.hpg.com.br/ 1 Introdução Vamos demonstrar que o conjunto de pontos que satisfazem a equação ( ) z a

Leia mais

6. ( CN - 83 ) Se o lado de um quadrado aumentar de 30% de seu comprimento, a sua área aumentará de: A) 55% B) 47% C) 30% D) 69% E) 90%

6. ( CN - 83 ) Se o lado de um quadrado aumentar de 30% de seu comprimento, a sua área aumentará de: A) 55% B) 47% C) 30% D) 69% E) 90% 1 1. ( CN - 8 ) Duas retas tangenciam uma circunferência, de centro P e 8cm de raio, nos pontos R e S. O ângulo entre essas tangentes é de 10. A área do triângulo PRS em cm, é: 16 B) 16 C) 16 D) 8 E) 8.

Leia mais

SAGRADO REDE DE EDUCAÇÃO PROFESSORA :MÁRCIA CONTE 3º ANO ENSINO MÉDIO 2012

SAGRADO REDE DE EDUCAÇÃO PROFESSORA :MÁRCIA CONTE 3º ANO ENSINO MÉDIO 2012 SAGRADO REDE DE EDUCAÇÃO PROFESSORA :MÁRCIA CONTE 3º ANO ENSINO MÉDIO 2012 -POLÍGONOS REGULARES -APÓTEMAS DE BASES REGULARES -PONTOS NOTÁVEIS NO TRIÂNGULO -COMPRIMENTO DA CIRCUNFERÊNCIA -ÁREA DO CÍRCULO

Leia mais

Cone. MA13 - Unidade 23. Resumo elaborado por Eduardo Wagner baseado no texto: A. Caminha M. Neto. Geometria. Coleção PROFMAT

Cone. MA13 - Unidade 23. Resumo elaborado por Eduardo Wagner baseado no texto: A. Caminha M. Neto. Geometria. Coleção PROFMAT Cone MA13 - Unidade 23 Resumo elaborado por Eduardo Wagner baseado no texto: A. Caminha M. Neto. Geometria. Coleção PROFMAT Cone Em um plano H considere uma curva simples fechada C e seja V um ponto fora

Leia mais

Seja AB = BC = CA = 4a. Sendo D o ponto de interseção da reta s com o lado AC temos, pelo teorema de Tales, AD = 3a e DC = a.

Seja AB = BC = CA = 4a. Sendo D o ponto de interseção da reta s com o lado AC temos, pelo teorema de Tales, AD = 3a e DC = a. GABARITO MA1 Geometria I - Avaliação 2-201/2 Questão 1. (pontuação: 2) As retas r, s e t são paralelas, como mostra a figura abaixo. A distância entre r e s é igual a e a distância entre s e t é igual

Leia mais