Colinearidade e Concorrência

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1 Colinearidade e Concorrência MA13 - Unidade 10 Resumo elaborado por Eduardo Wagner baseado no texto: A. Caminha M. Neto. Geometria. Coleção ROFMAT

2 Introdução Os teoremas de Menelaus, Ceva e Stewart são interessantes e úteis na resolução de diversos problemas. O primeiro mostra uma relação entre as razões produzidas sobre os lados de um triângulo produzidas por uma reta transversal. O segundo mostra a condição necessária e suficiente para que cevianas de um triângulo sejam concorrentes.o O terceiro mostra como calcular a distância de um vértice de um triângulo a qualquer ponto da reta que contém o lado oposto. Colinearidade e Concorrência slide 2/11

3 O teorema de Menalaus Dado um triângulo AC uma reta transversal corta as retas A, C e CA nos pontos L, M e N, respectivamente. Então LA M NC L MC NA = 1 A L N C M Colinearidade e Concorrência slide 3/11

4 Demonstração A L N Trace C paralela a A. Usando as semelhanças de triângulos que aparecem na figura acima temos: NC NA = C LA e M MC = L C Multiplicando membro a membro e simplificando o termo C temos M NC MC NA = L LA M NC LA L MC NA = 1 Esta é a versão simples do teorema, em que não vale a recíproca. A recíproca é verdadeira se considerarmos segmentos orientados. C Colinearidade e Concorrência slide 4/11 M

5 roblema A figura abaixo mostra o triângulo AC com AC dividido em 3 partes iguais e C dividido em 4 partes iguais. Qual é o valor da razão A D? A E D C Colinearidade e Concorrência slide 5/11

6 Solução Considere o triângulo ADC e a transversal E como na figura a seguir. A E D C O teorema de Menelaus diz que A D D C EC EA = 1. Daí, A D A = 1, ou seja, 1 D = 2. Colinearidade e Concorrência slide 6/11

7 O teorema de Ceva Dado um triângulo AC, os pontos L, M, N, dos lados A, C, CA, respectivamente, são tais que as cevianas AM, N, CL, cortam-se em um único ponto. Então LA L M MC NC NA = 1 A L O N M C Colinearidade e Concorrência slide 7/11

8 Sugestão para a demonstração Considere o triângulo AM, a transversal LO 1 C e calcule a razão O 1A O 1 M. Considere o triângulo ACM, a transversal O 2 N e calcule a razão O 2A O 2 M. Mostre que O 1 e O 2 coincidem. Obs: A recíproca do teorema de Ceva é verdadeira. Colinearidade e Concorrência slide 8/11

9 A relação de Stewart No triângulo AC seja D um ponto do lado C. Então, A 2 DC + AC 2 D = AD 2 C + D DC C A D C Colinearidade e Concorrência slide 9/11

10 Sugestão para a demonstração Seja ÂD = θ. Assim, ÂDC = π θ. Escreva as leis dos cossenos nos triângulos AD e ADC relativas ao vértice D, observe que cos(π θ) e obtenha uma nova relação eliminando o termo que possui o cosseno em ambas. Colinearidade e Concorrência slide 10/11

11 Exercício Em um triângulo AC calcule a mediana relativa ao vértice A. A M C Colinearidade e Concorrência slide 11/11

12 Teorema das cordas MA13 - Unidade 11 Resumo elaborado por Eduardo Wagner baseado no texto: A. Caminha M. Neto. Geometria. Coleção ROFMAT 26 de agosto de 2014

13 1 - Duas retas concorrentes são secantes a uma circunferência Nessa situação há dois casos a considerar: o ponto de interseção das retas é interior ou exterior à circunferência. Nesses dois casos existe uma mesma propriedade chamada de Teorema das cordas. Teorema das cordas slide 2/13

14 Teorema Se uma reta passa pelo ponto e corta uma circunferência nos pontos A e oprodutoa. é constante. 1 o caso: é i n t e r i o r à c i r c u n f e r ê n c i a Na figura a seguir, a corda A passa por. SejaCD uma outra corda também passando por. C A Os triângulos AD e C são semelhantes. Logo, A C = D, ou seja, A. = C.D. Assim,oprodutoA. é constante. D Teorema das cordas slide 3/13

15 2 o caso: é exterior à circunferência Uma reta passa por ecortaacircunferênciaema e. Tracemos uma outra reta passando por ecortandoa circunferência em C e D como na figura a seguir. A C D Os triângulos AD e C são semelhantes. Logo, A C = D, ou seja, A. = C.D. Assim,oprodutoA. é constante. Teorema das cordas slide 4/13

16 Caso particular A figura a seguir mostra uma secante e uma tangente passando pelo ponto. ValearelaçãoT 2 = A.. T A Os triângulos AT e T são semelhantes. or quê? Teorema das cordas slide 5/13

17 otência de um ponto em relação a uma circunferência Considere uma circunferência de centro O eraior e um ponto qualquer. Seja O = d. A otência do ponto em relação a essa circunferência é o número real definido por ot() =d 2 R 2 d d d O O O ot() > 0 ot() =0 ot() < 0 Teorema das cordas slide 6/13

18 Complete: Na figura ao lado, ot() =... t T Teorema das cordas slide 7/13

19 otência, cordas e secantes a) é i n t e r i o r à c i r c u n f e r ê n c i a d e c e n t r o O eraior A é u m a c o r d a q u a l q u e r p a s s a n d o p o r, CD é u m d i â m e t r o passando por e O = d. C d O R D A ot() =d 2 R 2 =(d R)(d + R) = (R d)(d + R) = C D = A. Teorema das cordas slide 8/13

20 b) é e x t e r i o r à c i r c u n f e r ê n c i a d e c e n t r o O eraior A é u m a s e c a n t e q u a l q u e r, CD uma secante passando pelo centro e O = d. A C d O R D ot() =d 2 R 2 =(d R)(d + R) =C D = A. Teorema das cordas slide 9/13

21 Eixo radical Considere as circunferências (A, R) e(, r) com R r e um ponto que possui mesma potência em relação às duas circunferências. Teorema O lugar geométrico de é uma reta perpendicular à reta que contém os centros das circunferências. ergunta Dadas duas circunferências você consegue localizar um ponto que tenha mesma potência em relação às duas circunferências? Teorema das cordas slide 10/13

22 Demonstração Sejam: A =2d, M o ponto médio do segmento A, Q a projeção de sobre a reta A, Q = h e MQ = x. A m x M Q m ot A () =ot () ) A 2 R 2 = 2 r 2 ) A 2 2 = R 2 r 2. A diferença dos quadrados das distâncias de aos centros A e das circunferências é constante e igual à diferença dos quadrados dos raios. Teorema das cordas slide 11/13

23 Continuação da demonstração R 2 r 2 = A 2 2 = A 2 h 2 ( 2 h 2 ) = (m + x) 2 (m x) 2 =4xm Assim, x = R2 r 2 que é constante. 4m Logo o ponto Q, projeção de sobre a reta A é fixo. ortanto, o LG do ponto é a r e t a p e r p e n d i c u l a r a A distando x = R2 r 2 do ponto médio de A e mais próxima de do que 4m de A. Teorema das cordas slide 12/13

24 Eixo radical em quatro situações E E E E Teorema das cordas slide 13/13