1 a) Quantos múltiplos de 9 há entre 100 e 1000? b) Quantos múltiplos de 9 ou 15 há entre 100 e 1000?

Transcrição

1 MATEMÁTICA 1 a) Quantos múltiplos de 9 há entre 100 e 1000? b) Quantos múltiplos de 9 ou 1 há entre 100 e 1000? a) Os múltiplos inteiros de 9 compreendidos entre 100 e 1000 formam uma progressão aritmética de primeiro termo 108, último termo 999 e razão 9. Sendo n a quantidade de termos desta progressão, tem-se: 999 = (n 1). 9 n = 100 b) Entre 100 e 1000, existem: 1) 100 múltiplos de 9, conforme item anterior ) 60 múltiplos de 1, pois a progressão aritmética (10; 10; 1; ; 990) possui 60 termos. ) 0 múltiplos simultaneamente de 9 e 1, pois mmc (9; 1) = e a progressão aritmética (1; 180; ; ; 990) possui 0 termos. Assim sendo, entre 100 e 1000, existem = 10 múltiplos inteiros de 9 ou 1. Respostas: a) 100 múltiplos b) 10 múltiplos Um caminhão transporta maçãs, pêras e laranjas, num total de frutas. As frutas estão condicionadas em caixas (cada caixa só contém um tipo de fruta), sendo que cada caixa de maçãs, pêras e laranjas, tem, respectivamente 0 maçãs, 60 pêras e 100 laranjas e custam, respectivamente, 0, 0 e 10 reais. Se a carga do caminhão tem 10 caixas e custa 00 reais, calcule quantas maçãs, pêras e laranjas estão sendo transportadas. Sendo m, p e, respectivamente, os números de maçãs, pêras e laranjas transportadas, tem-se: m + p + l = (quantidade de frutas) m p l + + = 10 (quantidade de caixas) m p l = 00 (custo total) Assim, tem-se: m + p + l = m + p + l = m + p + l = 000 m + p = m + 0p + l = m + 17p = F U V E S T ( ª F a s e ) J a n e i r o / 0 0

2 m + p + l = m + p = p = 000 l = 000 m = 000 p = 000 Resposta: Estão sendo transportadas 000 maçãs, 000 pêras e 000 laranjas. a) A reta r passa pela origem do plano cartesiano e tem coeficiente angular m > 0. A circunferência C passa pelos pontos (1,0) e (,0) e tem centro no eixo x. Para qual valor de m a reta r é tangente a C? b) Suponha agora que o valor de m seja menor que aquele determinado no item anterior. Calcule a área do triângulo determinado pelo centro de C e pelos pontos de intersecção de r com C. a) A circunferência tem centro no ponto C (;0) e raio r = 1. A reta r, que passa pela origem e tem coeficiente angular m > 0, tem equação y = m. x, com m = tg θ. No triângulo retângulo OTC, obtém-se OT =. CT 1 Assim: m = tg θ = = = OT b) Se 0 < m <, a reta r é secante à circunferência. Na obtenção da área do triângulo ABC, temos: F U V E S T ( ª F a s e ) J a n e i r o / 0 0

3 1º)d é a distância do centro C (;0) à reta mx y = 0: m. 0 m d = = m + 1 m + 1 º)No triângulo AMC: )= ( m AM + 1 AM = m m m + 1 º)AB =. AM =. º)Área do triângulo ABC: 1 m m.. AB. d m + 1 m + 1 A ABC = = = = Respostas: a) b). m. 1 m m + 1 Em uma equipe de basquete, a distribuição de idades dos seus jogadores é a seguinte: idade m m + 1. m. 1 m m + 1 Nº de jogadores F U V E S T ( ª F a s e ) J a n e i r o / 0 0

4 Será sorteada, aleatoriamente, uma comissão de dois jogadores que representará a equipe junto aos dirigentes. a) Quantas possibilidades distintas existem para formar esta comissão? b) Qual a probabilidade da média de idade dos dois jogadores da comissão sorteada ser estritamente menor que a média de idade de todos os jogadores? a) O número de possibilidades distintas de se formar a comissão de dois jogadores escolhidos entre os é C 1, = = b) 1) A idade média dos jogadores é 7, pois = 7 ) Para que a idade média dos dois jogadores da comissão sorteada seja estritamente menor que a média de idade de todos os jogadores (7), devem-se escolher duplas com idades: ( e ) ou ( e 6) ou ( e 9) ou ( e 1) ou ( e ) ou ( e 6) ou (6 e 6) anos. O número de possibilidades dessa escolha é 1.C,1 +1.C, C,1 +C, +C,1.C,1 +C, = = = 1 ) A probabilidade de a média de idade dos dois jogadores da comissão sorteada ser estritamente menor que a média de idade de todos os jogadores é Respostas: a) 66 b) Na figura a seguir, M é o ponto médio da corda PQ da circunferência e PQ = 8. O segmento RM é perpendicular a PQ e RM =. Calcule: a) O raio da circunferência. F U V E S T ( ª F a s e ) J a n e i r o / 0 0

5 b) A medida do ângulo PO^Q, onde O é o centro da circunferência. a) No triângulo retângulo OMQ, tem-se: 1) OM = r, MQ =, OQ = r e (OQ) = (OM) + (MQ) Assim sendo, r = r + 8 r = ) sen θ = = = θ = 60 r 8 b) A medida do ângulo P ^OQ é. θ = 10 8 Respostas: a) b) 10 6 Na figura a seguir, as circunferências têm centros A e B. O raio da maior é do raio da menor; P é um ponto de intersecção delas e a reta AQ é tangente à circunferência menor no ponto Q. F U V E S T ( ª F a s e ) J a n e i r o / 0 0

6 Calcule: a) cos AB^Q b) cos AB^P c) cos QB^P r Sejam BP = BQ = r, AB = AP =, A^BQ = α e A^BP = β. No triângulo ABQ, retângulo em Q, tem-se: BQ r cos α = = = e AB r sen α = 1 = No triângulo ABP, isósceles, tem-se: AP = AB + BP AB. BP cos β r r = + r r.. r. cos β cos β = e sen β = 1 Assim sendo, tem-se: a) cos A^BQ = cos α = b) cos A^BP = cos β = 1 = c) cos Q^BP = cos(β α) = = cos β. cos α + sen β. sen α = 1 =. +. = Respostas: a) b) c) F U V E S T ( ª F a s e ) J a n e i r o / 0 0

7 7 No trapézio ABCD, M é o ponto médio do lado AD ; N está sobre o lado BC e BN = NC. Sabe-se que as áreas dos quadriláteros ABNM e CDMN são iguais e que DC = 10. Calcule AB. Sejam: P o ponto médio de BC r e s as retas suportes das bases CD e AB do trapézio t e u as retas paralelas às bases, conduzidas por P e N, respectivamente h a distância entre as retas paralelas t e u x a medida do segmento AB A área do quadrilátero ABNM é igual à diferença entre as áreas do trapézio ABPM e do triângulo MPN, e a área do quadrilátero CDMN é igual à soma das áreas do trapézio MPCD e do triângulo MPN, ou seja: S ABPM S MPN = S MPCD + S MPN S ABPM = S MPCD +. S MPN Assim: ( x + 10 ( x + 10 x + ) + 10) h h = + x h +. (x + 10)h = (x + 0)h + (x + 10)h 9x + 0 = x x + 0 x = 80 x = 0 Resposta: AB = 0 8 Nos itens abaixo, z denota um número complexo e i a F U V E S T ( ª F a s e ) J a n e i r o / 0 0

8 unidade imaginária (i = 1). Suponha z i. z + i a) Para quais valores de z tem-se =? 1 + iz b) Determine o conjunto de todos os valores de z para z + i os quais é um número real. 1 + iz z + i a) = z + i = + iz z iz = i 1 + iz i 1 + i z (1 i) = i z =. 1 i 1 + i + i z = z = + i b) Seja z = x + yi, x, y z + i x + yi + i 1 + iz 1 + i (x + yi) x + (y + 1) i 1 y + xi x + (y + 1) i (1 y) xi. (1 y) + xi (1 y) xi x (1 y) x i + (y + 1) (1 y) i + (y + 1). x (1 y) + x x (x + y 1) i x + y 1 = 0 (1 y) + x x + y = 1, que é o conjunto de todos os pontos de uma circunferência de centro na origem e raio igual a 1, que pode ser indicado por z = 1. Respostas: a) z = + i b) {z z = 1 e z i} 9 Determine os valores de x no intervalo ]0,π[ para os quais cos x sen x +. cos x sen x + cos x sen x 1. cos x sen x F U V E S T ( ª F a s e ) J a n e i r o / 0 0

9 π π cos. cos x sen. sen x ( π cos + x ) π π π + kπ + x + kπ, k 6 6 π π + kπ x + kπ, k, pois no ciclo 6 trigonométrico tem-se π 11π Se k = 1 e 0 < x < π, tem-se x. 6 π 11π Resposta: x Um cilindro oblíquo tem raio das bases igual a 1, altura e está inclinado de um ângulo de 60 (ver figura). O plano β é perpendicular às bases do cilindro, passando por seus centros. Se P e A são os pontos representados na figura, calcule PA. F U V E S T ( ª F a s e ) J a n e i r o / 0 0

10 sen 60 = AR = AR tg 60 = AB = AB O triângulo OPQ é retângulo em O e o triângulo QPA é retângulo em Q, pois AQ é perpendicular ao plano α que contém a base superior do cilindro. Assim: 1º) (QP) = (QO) + (OP) (QP) = (QP) = º) (PA) = (QA) + (QP) Logo (PA) = ( ) + (PA) = 1 PA = 1 Resposta: PA = 1 Comentário Com quatro questões de álgebra, três de geometria, duas de trigonometria e uma de geometria analítica, todas muito bem enunciadas, sendo algumas delas originais e de bom nível, a banca examinadora organizou uma excelente prova de Matemática, que certamente cumpriu muito bem sua finalidade maior, a de selecionar candidatos às vagas de ciências exatas. F U V E S T ( ª F a s e ) J a n e i r o / 0 0

11 F U V E S T ( ª F a s e ) J a n e i r o / 0 0