Congruência de triângulos II

Transcrição

1 ongruência de triângulos II M13 - Unidade 2 Resumo elaborado por Eduardo Wagner baseado no texto:. aminha M. Neto. Geometria. oleção PROFMT

2 Triângulo isósceles Os ângulos da base de um triângulo isósceles são congruentes. ongruência de triângulos II slide 2/9

3 Triângulo isósceles Os ângulos da base de um triângulo isósceles são congruentes. Seja um triângulo com =. onsidere o ponto M, médio de e mostre que os triângulos M e M são congruentes. ongruência de triângulos II slide 2/9

4 Triângulo isósceles Os ângulos da base de um triângulo isósceles são congruentes. Seja um triângulo com =. onsidere o ponto M, médio de e mostre que os triângulos M e M são congruentes. onsequência Em um triângulo isósceles, a mediana relativa ao lado desigual é também altura e bissetriz. ongruência de triângulos II slide 2/9

5 Triângulo isósceles Os ângulos da base de um triângulo isósceles são congruentes. Seja um triângulo com =. onsidere o ponto M, médio de e mostre que os triângulos M e M são congruentes. onsequência Em um triângulo isósceles, a mediana relativa ao lado desigual é também altura e bissetriz. Recíproca recíproca é verdadeira. Se, no triângulo tivermos = então =. ongruência de triângulos II slide 2/9

6 Mediatriz de um segmento mediatriz de um segmento é a reta perpendicular a esse segmento que passa pelo seu ponto médio. ongruência de triângulos II slide 3/9

7 Mediatriz de um segmento mediatriz de um segmento é a reta perpendicular a esse segmento que passa pelo seu ponto médio. Todo ponto da mediatriz de um segmento equidista dos extremos desse segmento. r P M ongruência de triângulos II slide 3/9

8 Mediatriz de um segmento mediatriz de um segmento é a reta perpendicular a esse segmento que passa pelo seu ponto médio. Todo ponto da mediatriz de um segmento equidista dos extremos desse segmento. r P M Seja M o ponto médio do segmento. Seja r a mediatriz do segmento e seja P um ponto qualquer de r. Os triângulos PM e PM são congruentes. Logo, P = P. ongruência de triângulos II slide 3/9

9 issetriz de um ângulo bissetriz de um ângulo é a semirreta que divide um ângulo em dois outros congruentes. ongruência de triângulos II slide 4/9

10 issetriz de um ângulo bissetriz de um ângulo é a semirreta que divide um ângulo em dois outros congruentes. Todo ponto da bissetriz de um ângulo equidista dos lados desse ângulo. D M P O ongruência de triângulos II slide 4/9

11 issetriz de um ângulo bissetriz de um ângulo é a semirreta que divide um ângulo em dois outros congruentes. Todo ponto da bissetriz de um ângulo equidista dos lados desse ângulo. D M P O distância de um ponto a uma reta é o comprimento da perpendicular baixada do ponto à reta. ongruência de triângulos II slide 4/9

12 issetriz de um ângulo bissetriz de um ângulo é a semirreta que divide um ângulo em dois outros congruentes. Todo ponto da bissetriz de um ângulo equidista dos lados desse ângulo. D M P O distância de um ponto a uma reta é o comprimento da perpendicular baixada do ponto à reta. OM é bissetriz do ângulo O. Seja P um ponto de OM. M e MD são perpendiculares aos lados O e O, respectivamente. ontinue... ongruência de triângulos II slide 4/9

13 Teorema do ângulo externo de um triângulo Em um triângulo, um ângulo externo é maior que qualquer um dos dois ângulos internos não adjacentes. α θ X ongruência de triângulos II slide 5/9

14 Teorema do ângulo externo de um triângulo - II No triângulo seja X = θ o ângulo externo em e seja = α o ângulo interno em. Seja M o ponto médio de. Prolongue M de um comprimento MD igual a M. D α M α θ X ongruência de triângulos II slide 6/9

15 Teorema do ângulo externo de um triângulo - II No triângulo seja X = θ o ângulo externo em e seja = α o ângulo interno em. Seja M o ponto médio de. Prolongue M de um comprimento MD igual a M. D α M α θ X M = M, M = MD, M = DM M D MD = θ. omo D = α está contido em X = θ concluímos que θ > α. ongruência de triângulos II slide 6/9

16 onstrução de triângulos onstruir um triângulo significa explicitar os procedimentos de utilização da régua e do compasso para desenhar um triângulo quando três dos seus elementos são dados. ongruência de triângulos II slide 7/9

17 onstrução de triângulos onstruir um triângulo significa explicitar os procedimentos de utilização da régua e do compasso para desenhar um triângulo quando três dos seus elementos são dados. Exemplo onstruir o triângulo dados os segmentos = a, = b e = c a b c ongruência de triângulos II slide 7/9

18 onstrução de triângulos onstruir um triângulo significa explicitar os procedimentos de utilização da régua e do compasso para desenhar um triângulo quando três dos seus elementos são dados. Exemplo onstruir o triângulo dados os segmentos = a, = b e = c a b c Solução Desenhe o segmento = a. Desenhe uma circunferência de centro e raio c. Desenhe uma circunferência de centro e raio b. Seja um dos pontos de interseção dessas circunferências, O triângulo está construído. ongruência de triângulos II slide 7/9

19 aso LL onsidere o problema de construir o triângulo dados o ângulo o lado e o lado. ongruência de triângulos II slide 8/9

20 aso LL onsidere o problema de construir o triângulo dados o ângulo o lado e o lado. Se < 90 o o problema pode ter duas soluções como mostra a figura a seguir. ongruência de triângulos II slide 8/9

21 Porém, se 90 o o problema, se tiver solução, terá apenas uma. ssim, o caso de congruência LL vale se o ângulo for maior que ou igual a 90 o. ongruência de triângulos II slide 9/9