Cilindro. MA13 - Unidade 23. Resumo elaborado por Eduardo Wagner baseado no texto: A. Caminha M. Neto. Geometria. Coleção PROFMAT

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1 Cilindro MA13 - Unidade 23 Resumo elaborado por Eduardo Wagner baseado no texto: A. Caminha M. Neto. Geometria. Coleção PROFMAT

2 Cilindro Em um plano H considere uma curva simples fechada C e seja r uma reta não contida em H. Por cada ponto P de C trace uma reta paralela a r. A reunião dessas retas é uma superfície ciĺındrica. Um plano H paralelo a H corta a superfície ciĺındrica segundo uma curva C, congruente a C. Os planos H e H cortam a reta r nos pontos A e A e seja AA = g. A parte do espaço limitada pela superfície ciĺındrica e pelos planos H e H é um cilindro de base C e geratriz g. A distância entre os planos H e H é a altura do cilindro. Cilindro slide 2/7

3 O volume do cilindro O volume do cilindro é o produto da área da base pela altura. Dado um cilindro de altura h com base de área A considere um paralelepípedo retângulo com mesma altura e base de mesma área. Coloque os dois sólidos com bases no mesmo plano como mostra a figura acima. Tanto no cilindro quanto no paralelepípedo, toda seção paralela à base é congruente com a base. Assim, se um plano paralelo ao plano da base dos dois sólidos produz no cilindro uma seção de área A 1 e no paralelepípedo uma seção de área A 2, então, A 1 = A + A 2 e, pelo princípio de Cavalieri, os dois sólidos têm mesmo volume. O volume do cilindro de base de área A e altura h é V = Ah. Cilindro slide 3/7

4 Cilindro circular reto Um cilindro é reto quando as geratrizes são perpendiculares ao plano da base. Se, além disso a base for um círculo temos o cilindro circular reto. O volume do cilindro circular de raio R e altura h é V = πr 2 h. A superfície lateral do cilindro pode ser cortada ao longo de uma geratriz e desenrolada, sem alterar sua área, para obter um cilindro de base 2πR e altura h. A área lateral do cilindro circular reto é, portanto, S L = 2πRh. Obs: cilindro equilátero é o que possui altura igual ao diâmetro. Cilindro slide 4/7

5 Tronco de cilindro circular Em um cilindro circular reto um plano obĺıquo ao eixo cortou todas as geratrizes. Cada uma das partes em que o cilindro ficou dividido é um tronco de cilindro. A base do cilindro tem raio R e o eixo do cilindro cortou a base e a seção em dois pontos cuja distância é d. O volume do tronco é V = πr 2 d. Justifique. Obs: A seção é uma elipse cujo eixo menor é 2R. Veja a demonstração no livro, pág Cilindro slide 5/7

6 Sólidos de revolução Quando uma figura plana F gira em torno de uma reta r de seu plano e que não a atravessa ela gera um objeto chamado sólido de revolução. A reta r é o eixo desse sólido. Se um retângulo gira em torno de uma reta r que contém um de seus lados, o sólido de revolução formado é um cilindro circular reto. O cilindro circular reto também é chamado cilindro de revolução. Cilindro slide 6/7

7 Superfície de revolução Quando uma linha plana L gira em torno de uma reta r de seu plano, ela gera uma superfície chamada superfície de revolução. A reta r é o eixo dessa superfície. Cilindro slide 7/7

8 Cone MA13 - Unidade 23 Resumo elaborado por Eduardo Wagner baseado no texto: A. Caminha M. Neto. Geometria. Coleção PROFMAT

9 Cone Em um plano H considere uma curva simples fechada C e seja V um ponto fora de H. Por cada ponto P de C trace a reta VP. A reunião dessas retas é uma superfície cônica de vértice V. A parte do espaço limitada pela superfície cônica e pelo plano H é o cone de base C e vértice V. A distância de V ao plano H é a altura do cone. O segmento VP é uma geratriz do cone. Cone slide 2/13

10 Teorema Toda seção paralela à base de um cone é uma figura semelhante à base. Considere um cone de base C vértice V e altura h. Um plano paralelo à base distando h de V produziu no cone uma seção C. Para cada ponto X C considere X a interseção de X com C. A função s : C C tal que S(X ) = X é uma semelhança. De fato, para quaisquer X, Y C e suas imagens X, Y C tem-se X Y XY = h h Ċone slide 3/13

11 Teorema O volume do cone é a terça parte do produto da área da base pela altura. Dado um cone com base de área A e altura h considere uma pirâmide com mesma altura e base de mesma área. Coloque os dois sólidos com as bases no mesmo plano H. Um plano paralelo a H corta os dois sólidos formando seções de áreas A 1 e A 2. Pelas propriedades do cone e da pirâmide temos A ( 1 h A = h Logo, A 1 = A 2 e os dois sólidos têm mesmo volume. O volume do cone com base de área A e altura h é V = 1 3 Ah. ) 2 = A 2 A. Cone slide 4/13

12 Cone circular reto Seja C uma circunferência contida no plano H e seja V um ponto tal que OV seja perpendicular a H. O cone de base C e vértice V é o cone circular reto. Todas as geratrizes do cone circular reto são iguais. O cone pode ser imaginado como o sólido de revolução resultado da rotação do triângulo retângulo VOP em torno da reta que contém OV. Cone slide 5/13

13 Área lateral do cone circular reto Considere um cone de raio R e geratriz g. Cortando o cone ao longo de uma geratriz podemos aplicar sua superfície lateral sobre um plano sem alterar sua área. Obtemos um setor circular de raio g que subtende um arco de comprimento 2πR. A área lateral S L do cone é igual à área desse setor. Como a área do setor circular é proporcional ao comprimento do arco correspondente temos que S L = 2πR 2πg πg 2 = πrg Cone slide 6/13

14 Tronco de cone circular de bases paralelas Um cone com base de raio R foi cortado por um plano paralelo ao plano de sua base. A seção tem raio r e a distância entre os dois planos é h. O segmento da geratriz do cone compreendido entre os dois planos paralelos é a geratriz g do tronco de cone. O volume do tronco de cone é V = πh 3 (R2 + r 2 + Rr). A área lateral do tronco de cone é S = π(r + r)g. As demonstrações estão no Apêndice 1 desta aula. Cone slide 7/13

15 Esferas inscrita e circunscrita Todo cone circular reto (cone de revolução) admite esfera inscrita e circunscrita. Cone e esfera são sólidos de revolução. Então os centros das esferas inscrita no cone e circunscrita ao cone estão no eixo comum, ou seja, a reta que contém o vértice e o centro da base. Corte o cone por um plano que contém o eixo. A seção é a figura a seguir. eixo V A O B O ponto V é o vértice do cone e o segmento AB é o diâmetro da base. O raio da esfera inscrita no cone é o raio da circunferência inscrita no triângulo VAB. O raio da esfera circunscrita ao cone é o raio da circunferência circunscrita ao triângulo VAB. Cone slide 8/13

16 Apêndice 1 a) Volume do tronco de cone de altura h com bases de raios R e r. Faça uma figura. Do cone original de altura x foi retirado um cone de altura y. Assim, x y = h. O volume do tronco de cone é a diferença entre os volumes dos cones: V = 1 3 πr2 x 1 3 πr 2 y V = 1 3 πr2 (h + y) 1 3 πr 2 y = 1 3 πr2 h πr2 y 1 3 πr 2 y V = 1 3 πr2 h π(r2 r 2 )y = 1 3 πr2 h + 1 π(r + r)(r r)y 3 Da semelhança entre os dois cones temos R x (R r)y = rh. Substituindo na fórmula do volume temos = r y = R r h, ou seja, V = 1 3 πr2 h π(r + r)rh = 1 3 πr2 h πrrh r 2 h V = πh 3 (R2 + r 2 + Rr) Cone slide 9/13

17 b) Área lateral do tronco de cone de geratriz g com bases de raios R e r. Faça uma figura. Seja x a geratriz do cone original e seja y a geratriz do cone que foi retirado. Assim, x y = g. A área lateral do tronco de cone é a diferença entre as áreas laterais dos dois cones: S L = πrx πry S L = πr(g + y) πry = πrg + πry πry S L = πrg + π(r r)y Da semelhança entre os dois cones temos R x = r y = R r g, ou seja, (R r)y = rg. Substituindo na fórmula da área temos S L = πrg + πrg = π(r + r)g Cone slide 10/13

18 Seções em superfície cônica de revolução As retas r e e (eixo) são concorrentes em V. A reta r gira em torno de e produzindo uma superfície cônica de revolução (de duas folhas). Faça uma figura. a) O plano corta todas as geratrizes de uma folha. A seção é uma elipse. Cone slide 11/13

19 b) O plano corta as duas folhas A seção é uma hipérbole. Cone slide 12/13

20 c) O plano corta uma folha e é paralelo a uma geratriz. A seção é uma parábola. Cone slide 13/13

21 Volume da esfera. Volume do segmento esférico MA13 - Unidade 24 Resumo elaborado por Eduardo Wagner baseado no texto: A. Caminha M. Neto. Geometria. Coleção PROFMAT

22 Volume da esfera A primeira figura é um cilindro de revolução de centro V, raio R e altura 2R subtraído dos dois cones de vértice V com bases sobre as bases do cilindro. A segunda figura é uma esfera de centro O e raio R. Os dois sólidos estão apoiados no plano horizontal H. Volume da esfera. Volume do segmento esférico slide 2/8

23 Continuação A reta VO é paralela ao plano H. Um plano paralelo a H, distando x de VO cortou os dois sólidos produzindo seções de áreas s 1 e s 2, respectivamente. A primeira seção é uma coroa circular limitada pelas circunferências de centro C e raios CQ e CP. Observe que CQ = R. Como as arestas dos cones fazem 45 com o plano H então o triângulo retângulo CVP é isósceles com CP = CV = x. Volume da esfera. Volume do segmento esférico slide 3/8

24 Continuação A segunda seção é um círculo de centro A e raio AB. No triângulo AOB retângulo em A tem-se OA = x e OB = R. Calcularemos as áreas das seções. S 1 = πr 2 πx 2 = π(r 2 x 2 ) = πab 2 = S 2 Pelo princípio de Cavalieri os dois sólidos têm mesmo volume. Volume da esfera. Volume do segmento esférico slide 4/8

25 Continuação O volume V da esfera é igual ao volume do cilindro subtraído dos dois cones. V = πr 2 2R πr2 R = 2πR πr2 = 4 3 πr3 V = 4 3 πr3 Volume da esfera. Volume do segmento esférico slide 5/8

26 Segmento esférico Cortando uma esfera por um plano, cada um dos sólidos em que ela ficou dividida é um segmento esférico. Um segmento esférico é definido pelo raio R da esfera na qual está contido e pela sua altura h, que é a maior distância de um ponto de sua superfície ao plano da seção. Volume da esfera. Volume do segmento esférico slide 6/8

27 O volume do segmento esférico Considere na mesma figura que utilizamos para encontrar o volume da esfera, um plano H 1 paralelo a H distando h de H. Agora, a mesma situação aparece em um desenho simplificado. Pelo Princípio de Cavalieri o volume do segmento esférico de altura h em uma esfera de raio R é igual ao volume de um cilindro de raio R e altura h subtraído do volume de um tronco de cone de altura h cujas bases têm raios R e x. Volume da esfera. Volume do segmento esférico slide 7/8

28 Continuação Para fazer as contas observe que o raio da base menor do tronco de cone é x = R h. O volume do cilindro de raio R e altura h é V 1 = πr 2 h. O volume do tronco de cone de altura h com bases de raios R e x é V 2 = πh 3 (R2 + x 2 + Rx) O volume do segmento esférico é V = V 1 V 2. Faça as contas. A resposta é V = πh2 (3R h) 3 Volume da esfera. Volume do segmento esférico slide 8/8

29 Superfície de revolução. Área da esfera MA13 - Unidade 24 Resumo elaborado por Eduardo Wagner baseado no texto: A. Caminha M. Neto. Geometria. Coleção PROFMAT

30 Rotação de um segmento Um segmento AB e uma reta e são coplanares. O segmento AB gira em torno de e (eixo), produzindo uma superfície de revolução: a superfície lateral de um tronco de cone. Superfície de revolução. Área da esfera slide 2/9

31 Continuando Seja h a projeção de AB sobre o eixo e. Girando AB em torno do eixo os pontos A e B descrevem circunferências de raios R e r, respectivamente. Seja M o ponto médio de AB e m sua distância ao eixo. e B r m = R+r 2 M m h A R Superfície de revolução. Área da esfera slide 3/9

32 Superfície gerada por um segmento Na figura a seguir considere: AA e, BB e, MM e, BC AA, MD AB, AB = g e A B = h. e B B g m M M z D h A C A Os triângulos BCA e MM D são semelhantes. Assim AB MD = BC MM ou seja, g z = h m. Então, mg = zh. Superfície de revolução. Área da esfera slide 4/9

33 Continuando A superfície gerada pela rotação de um segmento em torno de um eixo é a superfície lateral de um tronco de cone. Sua área é S = π(r + r)g onde R e r são os raios das bases e g é a geratriz (v. Resumo anterior). Com os elementos da figura anterior essa área é igual a S = π(r + r)g = 2π R + r g = 2πmg = 2πzh 2 onde h é o comprimento da projeção do segmento sobre o eixo e z é a parte da mediatriz do segmento compreendida entre o segmento e o eixo. Superfície de revolução. Área da esfera slide 5/9

34 Superfície gerada por uma poligonal regular Considere uma semicircunferência de centro O e diâmetro AA e a reta e (eixo) passando por A e A. Seja B um ponto da semicircunferência. Divida o arco AB em n partes iguais pelos pontos P 1, P 2,... P n 1. A reunião dos segmentos AP 1, P 1 P 2,... P n 1 B é uma poligonal regular inscrita na semicircunferência. A área da superfície gerada pela poligonal é h A h 1 h 2 h 3 O e z P 1 P 2 B S = 2πzh 1 + 2πzh πzh n S = 2πz(h 1 + h h n ) S = 2πzh A onde h é a projeção da poligonal sobre o eixo e z é o apótema da poligonal. Superfície de revolução. Área da esfera slide 6/9

35 Calota esférica Cortando a superfície de uma esfera por um plano, cada uma das partes em que ela fica dividida é uma calota esférica. A seção é a base da calota. A altura da calota é a maior distância de um de seus pontos ao plano da seção. Superfície de revolução. Área da esfera slide 7/9

36 A área da calota Considere uma semicircunferência de diâmetro AA e a reta e (eixo) passando por A e A. Seja B um ponto da semicircunferência. A superfície gerada pela rotação do arco AB em torno do eixo e é uma calota esférica. Considere agora a poligonal regular de extremidades A e B e faça n. A poligonal tende ao arco AB e o apótema z tende ao raio R da semicircunferência. Em uma circunferência de raio R a área de uma calota de altura h é h A e A R B S = 2πRh Superfície de revolução. Área da esfera slide 8/9

37 Área da esfera Nas figura anterior, faça B coincidir com A. A rotação do arco AB em torno do eixo e gera a esfera de raio R. e A 2R B Como h = AA = Ab = 2R, a área da esfera é S = 2πR 2R, ou seja, S = 4πR 2 Superfície de revolução. Área da esfera slide 9/9