Geometria Analítica. Cônicas. Prof Marcelo Maraschin de Souza

Transcrição

1 Geometria Analítica Cônicas Prof Marcelo Maraschin de Souza

2 Hipérbole É o conjunto de todos os pontos de um plano cuja diferença das distâncias, em valor absoluto, a dois pontos fixos desse plano é constante.

3 Hipérbole A distância entre F 1 e F 2 é dada por 2c e 2a é a constante de definição, observe que 2a < 2c. Assim, d P, F 1 d P, F 2 = 2a

4 Gráfico da Hipérbole C: ponto médio do segmento F 1 F 2 Considere uma circunferência de centro C e raio c. A partir dos pontos A 1 e A 2 tracemos cordas perpendiculares à F 1 F 2. Obtêm-se um retângulo inscrito na circunferência. Traça-se as retas r e s que contém as diagonais do retângulo.

5 Elementos da Hipérbole Focos: os pontos F 1 e F 2 Distância focal: 2c Centro: é o ponto médio C do segmento F 1 F 2 Vértices: são os pontos A 1 e A 2 Eixo real: é o segmento A 1 A 2 Eixo imaginário: é o segmento B 1 B 2, de comprimento 2b.

6 Elementos da Hipérbole Do triângulo retângulo CA 2 M tem-se que c 2 = a 2 + b 2 Assíntotas: são as retas r e s. Abertura: o ângulo θ é a abertura da hipérbole Excentricidade: é o número e = c, observe que e>1. a

7 Elementos da Hipérbole Excentricidade: é o número e = c, observe que e>1, já que c>a. a A excentricidade da hipérbole está ligada a sua abertura. Quanto maior a abertura, mais abertos serão os ramos da hipérbole e maior será a excentricidade.

8 Elementos da Hipérbole Quando a=b, o retângulo MNPQ se transforma num quadrado e as assíntotas serão perpendiculares. A hipérbole nessa caso é chamada de hipérbole equilátera.

9 Equações Reduzidas Considere a hipérbole de centro C(0,0). Considere dois casos: CASO 1) O eixo real está sobre o eixo dos x.

10 Equações Reduzidas Seja P(x,y) um ponto qualquer da hipérbole de focos F 1 ( c, 0) e F 2 c, 0. Pela definição, tem-se, d P, F 1 d P, F 2 = 2a Fazendo algumas contas temos que x 2 a 2 y2 b 2 = 1 que é a equação reduzida para este caso.

11 Equações Reduzidas Considere a hipérbole de centro C(0,0). Considere dois casos: CASO 2) O eixo real está sobre o eixo dos y. A equação reduzida para este caso fica: y 2 a 2 x2 b 2 = 1

12 Equações Reduzidas Exemplo: Seja a hipérbole com equação reduzida, Temos que, a=3 e b=2 Vértices: A 1 ( 3,0) e A 2 (3,0) x 2 9 y2 4 = 1 A hipérbole é simétrica em relação aos eixos e a origem: se P 1 (6, 12) pertence a hipérbole então P 2 6, 12, P 2 6, 12 e P 2 6, 12 também pertencem.

13 Equações Reduzidas Exemplo: Neste caso, as assíntotas são retas que passam pela origem do sistema. Logo, suas equações são do tipo y = mx, onde m é a declividade.

14 Equações Reduzidas Exemplo: Para a assíntota r, temos m 1 = b/a. Para a assíntota s, temos m 2 = b/a. Neste caso, então, temos as seguintes assíntotas, y = 2 3 x e y = 2 3 x

15 Equações Reduzidas Quando a equação da hipérbole é da forma y 2 a 2 x2 b 2 = 1 As declividades das assíntotas serão m = ±a/b.

16 Exercícios: Equações Reduzidas

17 Hipérbole Considere a hipérbole de centro C(h,k). Considere dois casos: CASO 1) O eixo real é paralelo ao eixo dos x.

18 Hipérbole CASO 1) O eixo real é paralelo ao eixo dos x Com procedimento análogo ao que foi visto para a elipse, resulta a equação x h 2 a 2 y k 2 b 2 = 1

19 Hipérbole CASO 1) O eixo real é paralelo ao eixo dos y Com procedimento análogo ao que foi visto para a elipse, resulta a equação y k 2 a 2 x h 2 b 2 = 1

20 Exemplos: Hipérbole

21 Equações Paramétricas da Hipérbole Consideremos a hipérbole de equação, Ou seja, x 2 a 2 y2 b 2 = 1 x a 2 y b 2 = 1 Considerando a relação trigonométrica sen 2 θ + cos 2 θ = 1, sec 2 θ tg 2 θ = 1

22 Equações Paramétricas da Hipérbole Portanto, confrontando com a equação reduzida da hipérbole, temos as equações paramétricas da hipérpole, x = a sec(θ) y = b tg(θ), 0 θ 2π, excluídos π 2 e 3π 2 Obs: Quando θ percorre o intervalo π, π 2 2 direito da hipérbole (x a). Quando θ percorre o intervalo π, 3π 2 2 esqueerdo da hipérbole (x a). será descrito o ramo será descrito o ramo

23 Equações Paramétricas da Hipérbole No caso da hipérbole sobre o eixo dos paramétricas ficam, y, suas equações x = b tg(θ) y = a sec(θ) Quando o centro da hipérbole for C(h,k), as equações ficam, x = h + a sec (θ) y = k + b tg(θ) ou x = h + b tg(θ) y = k + a sec(θ)

24 Exemplos: Equações Paramétricas da Hipérbole