GEOMETRIA ANALÍTICA E CÁLCULO VETORIAL GEOMETRIA ANALÍTICA BÁSICA. 03/01/ GGM - UFF Dirce Uesu Pesco
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- Isabel Canário Festas
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1 GEOMETRIA ANALÍTICA E CÁLCULO VETORIAL GEOMETRIA ANALÍTICA BÁSICA 03/01/ GGM - UFF Dirce Uesu Pesco
2 CÔNICAS Equação geral do segundo grau a duas variáveis x e y onde A, B e C não são simultaneamente nulos Se A=B=C=0, então Dx + E y + F = 0, equação da reta no plano. Caso I : B=0 Caso II :
3 CÔNICAS ELIPSE
4 CÔNICAS ELIPSE
5 CÔNICAS ELIPSE Definição: Uma elipse é o conjunto dos pontos P(x,y) do planos tais que a soma das distâncias de P a dois pontos fixos,, situados no mesmo plano, é constante.
6 CÔNICAS ELIPSE Definição: Uma elipse é o conjunto dos pontos P(x,y) do planos tais que a soma das distâncias de P a dois pontos fixos,, situados no mesmo plano, é constante. Elipsedefinicao.ggb
7 CÔNICAS ELIPSE Definição: Uma elipse é o conjunto dos pontos P(x,y) do planos tais que a soma das distâncias de P a dois pontos fixos,, situados no mesmo plano, é constante. Seja 2c a distância entre (distância focal)
8 CÔNICAS ELIPSE Definição: Uma elipse é o conjunto dos pontos P(x,y) do planos tais que a soma das distâncias de P a dois pontos fixos,, situados no mesmo plano, é constante. Seja 2c a distância entre Se P é um ponto qualquer, então: (distância focal) (desigualdade triangular)
9 CÔNICAS ELIPSE Definição: Uma elipse é o conjunto dos pontos P(x,y) do planos tais que a soma das distâncias de P a dois pontos fixos,, situados no mesmo plano, é constante. Seja 2c a distância entre Se P é um ponto qualquer, então: (distância focal) (desigualdade triangular) Se 2a > 2c >0, ou seja, a>c, a equação de uma elipse de focos é:
10 CÔNICAS ELIPSE Definição: Uma elipse é o conjunto dos pontos P(x,y) do planos tais que a soma das distâncias de P a dois pontos fixos,, situados no mesmo plano, é constante. Seja 2c a distância entre Se P é um ponto qualquer, então: (distância focal) (desigualdade triangular) Se 2a > 2c >0, ou seja, a>c, a equação de uma elipse de focos é:
11 CÔNICAS ELIPSE O ponto médio do segmento é o centro da elipse
12 CÔNICAS ELIPSE Para determinar a equação da elipse, considere a elipse no sistema de coordenadas cartesiano.
13 CÔNICAS ELIPSE Para determinar a equação da elipse, considere a elipse no sistema de coordenadas cartesiano. Se a>c > 0, P(x,y) ponto da elipse e os focos e, então o centro da elipse é C(0,0) e substituindo em
14 CÔNICAS ELIPSE Para determinar a equação da elipse, considere a elipse no sistema de coordenadas cartesiano. Se a>c > 0, P(x,y) ponto da elipse e os focos e, então o centro da elipse é C(0,0) e substituindo em
15 CÔNICAS ELIPSE Para determinar a equação da elipse, considere a elipse no sistema de coordenadas cartesiano. Se a>c > 0, P(x,y) ponto da elipse e os focos e, então o centro da elipse é C(0,0) e substituindo em
16 CÔNICAS ELIPSE Para determinar a equação da elipse, considere a elipse no sistema de coordenadas cartesiano. Se a>c > 0, P(x,y) ponto da elipse e os focos e, então o centro da elipse é C(0,0) e substituindo em
17 CÔNICAS ELIPSE Para determinar a equação da elipse, considere a elipse no sistema de coordenadas cartesiano. Se a>c > 0, P(x,y) ponto da elipse e os focos e, então o centro da elipse é C(0,0) e substituindo em
18 CÔNICAS ELIPSE Para determinar a equação da elipse, considere a elipse no sistema de coordenadas cartesiano. Se a>c > 0, P(x,y) ponto da elipse e os focos e, então o centro da elipse é C(0,0) e substituindo em
19 CÔNICAS ELIPSE Para determinar a equação da elipse, considere a elipse no sistema de coordenadas cartesiano. Se a>c > 0, P(x,y) ponto da elipse e os focos e, então o centro da elipse é C(0,0) e substituindo em
20 CÔNICAS ELIPSE Como a > c > 0 existe um número real b, tal que ou forma canônica ou reduzida
21 CÔNICAS ELIPSE, forma canônica ou reduzida da elipse
22 CÔNICAS ELIPSE, forma canônica ou reduzida da elipse Elipse de centro C(0,0)
23 CÔNICAS ELIPSE, forma canônica ou reduzida da elipse Elipse de centro C(0,0) focos
24 CÔNICAS ELIPSE, forma canônica ou reduzida da elipse Elipse de centro C(0,0) focos Vértices :
25 CÔNICAS ELIPSE, forma canônica ou reduzida da elipse Elipse de centro C(0,0) focos Vértices :
26 CÔNICAS ELIPSE De maneira análoga, determine a equação da elipse cujos focos são e a soma dos raios focais é 2a. Se 2a > 2c >0, ou seja, a>c, a equação de uma elipse de focos é: Faça figura no Geogebra
27 CÔNICAS ELIPSE De maneira análoga, determine a equação da elipse cujos focos são e a soma dos raios focais é 2a. Se 2a > 2c >0, ou seja, a>c, a equação de uma elipse de focos é: Faça figura no Geogebra
28 CÔNICAS ELIPSE De maneira análoga, determine a equação da elipse cujos focos são e a soma dos raios focais é 2a. Se 2a > 2c >0, ou seja, a>c, a equação de uma elipse de focos é: Faça figura no Geogebra
29 Exemplos: CÔNICAS ELIPSE 1) Dada a equação da elipse de centro na origem, encontre os vértices e focos da elipse. Solução:
30 Exemplos: CÔNICAS ELIPSE 1) Dada a equação da elipse de centro na origem, encontre os vértices e focos da elipse. Solução: Dividindo por 36, obtemos:
31 Exemplos: CÔNICAS ELIPSE 1) Dada a equação da elipse de centro na origem, encontre os vértices e focos da elipse. Solução: Dividindo por 36, obtemos:
32 Exemplos: CÔNICAS ELIPSE 1) Dada a equação da elipse de centro na origem, encontre os vértices e focos da elipse. Solução: Dividindo por 36, obtemos: Qual é o valor de a? e b?
33 Exemplos: CÔNICAS ELIPSE 1) Dada a equação da elipse de centro na origem, encontre os vértices e focos da elipse. Solução: Dividindo por 36, obtemos: Qual é o valor de a? e b? O eixo focal está no eixo x ou no eixo y? Como identificar?
34 Exemplos: CÔNICAS ELIPSE 1) Dada a equação da elipse de centro na origem, encontre os vértices e focos da elipse. Solução: Dividindo por 36, obtemos: Qual é o valor de a? e b? O eixo focal está no eixo x ou no eixo y? Como identificar? Faça figura usando Geogebra
35 CÔNICAS ELIPSE Encontre as coordenadas dos - vértices : - focos:
36 Exercícios: CÔNICAS ELIPSE 2) Determine a equação da elipse de focos e eixo maior. 3) Determine a equação da elipse cujos focos são e a soma dos raios focais é 7.
37 Exercícios: CÔNICAS ELIPSE 2) Determine a equação da elipse de focos e eixo maior. 3) Determine a equação da elipse cujos focos são e a soma dos raios focais é 7.
38 CÔNICAS ELIPSE Exemplos: 4) Mostre que é a equação da elipse e determine seus vértices e focos.
39 CÔNICAS ELIPSE Exemplos: 4) Mostre que é a equação da elipse e determine seus vértices e focos. Faça a figura no Geogebra
40 CÔNICAS ELIPSE Teorema: O centro de uma elipse está no ponto (h,k) e a distância do centro a cada um dos focos é igual a c. i) Se o eixo focal da elipse é paralelo ao eixo x, então sua equação é ii) Se o eixo focal da elipse é paralelo ao eixo y, então sua equação é Para cada uma das elipses, a é o comprimento do semi-eixo maior, b é o comprimento do semi-eixo menor e
41 CÔNICAS ELIPSE Exemplos: Os vértices de uma elipse tem coordenadas (-3,7) e (-3,-1) e tal que. Determine as equações das elipses, seu centro, vértices e focos.
42 CÔNICAS ELIPSE Exemplos: Os vértices de uma elipse tem coordenadas (-3,7) e (-3,-1) e tal que. Determine as equações das elipses, seu centro, vértices e focos. Resposta: (I) Se eixo focal paralelo ao eixo y. (II) Encontre a equação se o eixo focal é paralelo ao eixo x. Sol_duas_elipses.ggb
43 Exercício: CÔNICAS ELIPSE Considere a equação da elipse: Determine as coordenadas do centro, vértices,focos, o comprimento do eixo maior e do eixo menor.
44 Exercício: CÔNICAS ELIPSE Considere a equação da elipse: Determine as coordenadas do centro, vértices,focos, o comprimento do eixo maior e do eixo menor. Resposta: Encontre as coordenadas dos pontos pedidos.
45 CÔNICAS HIPÉRBOLE
46 CÔNICAS HIPÉRBOLE Definição: Uma hipérbole com focos em pontos P(x,y) do planos tais que é o conjunto dos é constante. Tomando, então se
47 CÔNICAS HIPÉRBOLE Escolha eixos coordenados para determinar a equação canônica ou reduzida da hipérbole com focos em
48 Resolvendo CÔNICAS HIPÉRBOLE
49 Resolvendo CÔNICAS HIPÉRBOLE
50 Resolvendo CÔNICAS HIPÉRBOLE
51 Resolvendo CÔNICAS HIPÉRBOLE
52 Resolvendo CÔNICAS HIPÉRBOLE
53 Resolvendo CÔNICAS HIPÉRBOLE
54 Resolvendo CÔNICAS HIPÉRBOLE
55 Resolvendo CÔNICAS HIPÉRBOLE
56 Resolvendo CÔNICAS HIPÉRBOLE Como e
57 Resolvendo CÔNICAS HIPÉRBOLE Como e
58 Resolvendo CÔNICAS HIPÉRBOLE Como e
59 Resolvendo CÔNICAS HIPÉRBOLE Como e
60 CÔNICAS HIPÉRBOLE Forma canônica ou reduzida da hipérbole de focos no eixo x.
61 OBS: CÔNICAS HIPÉRBOLE 1) A hipérbole é simétrica em relação aos eixos x e y. Isto é: se (x,y) é um ponto da hipérbole, então (-x,y),(x,-y) e (-x,-y) também pertencem à hipérbole. 2) O eixo y não intercepta a hipérbole: 3) A excentricidade e, e > 1 pois a=c> a
62 CÔNICAS HIPÉRBOLE Reciprocamente, podemos determinar a forma canônica ou reduzida da hipérbole de focos no eixo y.
63 Exemplo: CÔNICAS HIPÉRBOLE 1) Os vértices de uma hipérbole são os pontos (0,3) e (0,-3) e seus focos são (0,5) e (0,-5). Determine a equação da hipérbole, O comprimento de seus semi-eixos transversos (2a) e sua excentricidade. Solução:
64 Exemplo: CÔNICAS HIPÉRBOLE 1) Os vértices de uma hipérbole são os pontos (0,3) e (0,-3) e seus focos são (0,5) e (0,-5). Determine a equação da hipérbole, O comprimento de seus semi-eixos transversos (2a) e sua excentricidade. Solução: eixo focal no eixo y
65 Exemplo: CÔNICAS HIPÉRBOLE 1) Os vértices de uma hipérbole são os pontos (0,3) e (0,-3) e seus focos são (0,5) e (0,-5). Determine a equação da hipérbole, O comprimento de seus semi-eixos transversos (2a) e sua excentricidade. Solução: eixo focal no eixo y Comprimento eixo transverso 2a=6, e = c/a = 5/3 > 1
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