Respostas dos Exercícios de Fixação

Transcrição

1 Respostas dos Eercícios de Fiação

2 Capítulo 1 1.1) ac + ab + bc = 1.) p = ) P =,,Q =, ) u+ v = 6 ma 1.10) ( 4b, b ) 1.17) Área =.( AB + BC ).( BC + CD) 1 Última Atualização: 7/1/01 Capítulo ( ) a 1+ m b. 1 m.1) =. a. + b.) + 10 = 0.) = ) > >.5) ( 4).7) e = = 4.8) 4 = 11 e = 1.9) q = 4 o p.10) a) o > + p b) O L.G. é a reta = p ( p > 0 ) o

3 .11) O L.G. de P é uma esfera com centro coincidindo com o centro (,,) do cubo, e raio igual à metade da diagonal do cubo, i.e. R = Nota do autor: As primeiras versões impressas do livro possuem um erro no enunciado. O enunciado correto deveria ser: É dado um cubo de aresta 4. Considere o ponto P variável no espaço de tal forma que a soma dos quadrados das distâncias de P às 6 faces do cubo é constante e vale 48. Determine o Lugar Geométrico de P..1) 1.1).L onde L é o comprimento da aresta do cubo 4.1) L.G. é a circunferência de equação: = Nota do autor: As primeiras versões impressas do livro possuem um erro na numeração da questão. A questão referida aparece como número.1 (repetido), em vez do número...14) L.15) ( ) 18 + = Ma = 9 b) = 5+ ± ( ).16) a) ( ) ( ).17) b). ( a + ab b ).18) + = 5 e =.19) = ) = z.) β : + = 1

4 1.) = R..4).5) R = 49 5 = 5 44 = z 5 5.6) V = unidades de volume.7) 78 1 ² + ² = 6.8) ( ).9) 6 má.0) 1 unidades de distância.1) + + z + 1 = 0.) 1 unidades de distância Nota do autor: As primeiras versões impressas do livro possuem um erro na numeração da questão. A questão impressa com o. é uma repetição da questão.0.

5 .) = 0 Nota do autor: As primeiras versões impressas do livro possuem um erro no enunciado. O enunciado correto deveria ser: Considere os feies de retas concorrentes (onde p e q são parâmetros reais) abaio. Determine a equação da reta comum aos dois feies p.( + + 1) = q. (4. + ) = 0 Para o enunciado original, a resposta seria: há infinitas retas comuns aos dois feies..4) A segunda reta tem equação: = Eistem duas circunferências que atendem à descrição do problema, e suas equações são dadas por: = e = ) + + z 6 6 = 0.6) Dois pares de retas atendem às condições: = e = 9 ou = + e = + 9.7) ( ) + + = 8.8) Circunferência de centro (0,0) e raio 6.9) + 1 = = z 1 = t.40) ( ) ( ) = 18.4) Circunferência de centro em ( o, o ) e raio r.

6 Capítulo.1) Eios : 6 e 1, ecentricidade :.) Elipse de centro em a,0 e semieios maior e menor de comprimentos a e b, respectivamente. OBS: Sendo + = 1 a equação da elipse dada, com A = (-a,0), a b temos que a equação do LG pedido é: a + = a b 1.) O LG procurado é uma elipse de centro no ponto médio de AB e semeios maior de medida p c e menor de medida 6 ( 4c) p. p 1 sendo c a medida de AB. Do LG devemos ecluir os vértices localizados no eio focal. 1.4) Par de hipérboles: = ±.5) LG é a circunferência de centro B e raio (a d), a menos dos pontos colineares a A e B..6) = 16 (hipérbole), com eceção do ponto B

7 8.7) a) F=, 15 b) d: = 0.8) Elipse de eios maior e menor de medidas 6 e, respectivamente, com eceção dos vértices do eio foca OBS: Sendo + = a b equação do LG pedido é: 1 a equação da elipse dada, temos que a 4 + = 1, ) Elipse de eio maior AB e eio menor de medida 4, com eceção dos pontos A e B..10) Mostra-se que as equações são equivalentes a: ( ) ( ) a o o + = 1 b Uma parametrização para a equação da parábola proposta pode ser: = t t = p.1) b) = 1 + c) D = (,5) h.1) = + ( parábola) AB 4h

8 .18) S = ( a.o o ) a LG de A, admitindo S constante é parábola de equação: 1 a.s = a 4.19) ± =.² + p p (duas parábolas com vértice coincidindo com o foco da parábola original).0) O LG terá equação: ± K = 0 o o i) Par de hipérboles, se K o + o ii) Par de retas perpendiculares, se K = 4 o + o 4.) O LG terá equação: 7 16 = 5 5 (hipérbole) Nota do autor: As primeiras versões impressas do livro possuem um erro no enunciado. O enunciado correto deveria ser: De um ponto variável P traça-se uma reta de coeficiente angular m = 1, que intercepta a reta de equação = 0 em um ponto Q. Sendo A = (5,0), determine o Lugar Geométrico dos pontos P sabendo-se que este se move de modo que PA = PQ.

9 .4) O L.G. do ponto médio do segmento AC é a semi-circunferência de centro no ponto médio de AO e raio R/..7) O L.G. de A é dado pela equação paramétrica: A k A d + = Discutindo o LG para os casos particulares de k: 0 < k < 1 elipse, com eio principal na horizontal ( ) k = 1 circunferência de raio d e centro 0,0 k > 1 elipse, com eio principal na vertical.9) 4.) O LG é a diretriz da parábola..7) O ângulo entre as curvas são: ± Arc tan ( 6 ).8) = 9 (hipérbole) a b.9) + = ' ' 1 Gráfico: o esboço abaio considera uma elipse tal que b > a. Note que, apesar da aparência hiperbólica, o LG não é uma cônica.

10 .41) a) O LG é uma superfície cônica que compartilha o mesmo eio do cosα cone e cuja geratriz vale: β= Arcsen 8 b) A área do segmento é dada por: S = d senα.4) ( ) + = 4, com eceção dos pontos (0,1) e (0,5).4) Hipérbole centrada em ( r, r ) com semi-eios valendo r..44) O L.G. de M é a circunferência de centro F e raio.a.45) ( ) 10 + = 0

11 .46) Elipse com focos nos centros de C 1 e C e eio maior de medida r 1 + r.47) Nota do autor: As primeiras versões impressas do livro possuem um erro no enunciado. O enunciado correto deveria ser: Considere a parábola = e o ponto variável P = (t, t ) pertencente a parábola (t variando no conjunto dos reais). Seja h uma constante real, e os pontos A e B sobre a parábola com abcissas t h e t + h, respectiveamente. Mostre que a área do triângulo PAB é constante, independente de t. Capítulo 4 4.1) a) hipérbole " " 1.arctan ( ) b) elipse " " 45º

12 c) Duas retas concorrentes ( + = 0 e = 1 ) d) Duas retas paralelas ( + = 0 e + + =0 ) " " e) hipérbole : 45º

13 f) hipérbole " " g) parábola " " 45º 1 4.) a) hipérbole, θ Rotação = Arc tan 4 o Rotação 45 b) elipse, θ = o Rotação 45 c) hipérbole, θ =

14 a 4 4.) = b ) Ponto de tangência = (, 0) Nota do Autor: A seção cônica aparece, em algumas versões impressas, escrita de forma errada. A correta equação deveria ser: = 0 4.5) Eistem dois valores de α que atendem à condição: π π α = ou α = ) = 0 4.7) O ângulo agudo é dado por: θ= Arc tan t p p Nota do autor: Alguns leitores chamaram atenção para umaa possível confusão com uma das palavras usadas para descrever P no enunciado. Em vez de P está sobre a parábola, a melhor escolha de palavras diria: P está acima da parábola. 4.10) O LG pedido é a elipse de equação: + = ) O LG pedido é a elipse de equação: + = 4.1) Os possíveis valores de a são: 5 1, e ) O L.G. é representado pelas duas curvas: ( ) ( ) b b = 0 circunferência b b = 0 hipérbole

15 4.14) = 5 k 4.18) O L.G. do ponto médio do segmento AB é a curva de equação = 0 (hipérbole) Gráfico: s A " B t P " 4.19) Tipo parábola 4.0) a < 0 soluções a < 1 solução a < 5 soluções a = 5 1 solução a > 5 0 soluções 4.1) a > 1 1 solução 0 < a 1 soluções a = 0 1 solução

16 4.) a < 0 1 solução a > 0 soluções