c) F( 4, 2) r : 2x+y = 3 c) a = 3 F 1 = (0,0) F 2 = (1,1)

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1 Lista de Exercícios Estudo Analítico das Cônicas e Quádricas 1. Determine o foco, o vértice, o parâmetro e a diretriz da parábola P e faça um esboço. a) P : y 2 = 4x b) P : y 2 +8x = 0 c) P : x 2 +6y = 0 d) P : y 2 = 8x e) P : x 2 = 8y f) P : x 2 = 16y 2. Obtenha, em cada caso, uma equação da parábola de vértice (0,0), conhecendo seu parâmetro p e a localização do foco. a) p = 2 e o foco está no semi-eixo positivo das abscissas. b) p = 4 e o foco está no semi-eixo negativo das ordenadas. c) p = 1 e o foco está no semi-eixo negativo das abscissas. d) p = 1 2 e o foco está no semi-eixo positivo das ordenadas.. Obtenha, em cada caso, uma equação reduzida da parábola de vértice V(0,0), utilizando as informações dadas. a) O foco é (8,0). b) A diretriz tem equação y = 2. c) O ponto (4,7) pertence à diretriz e o eixo é Ox. 4. São dados, em cada caso, o foco e a diretriz de uma parábola. Obtenha uma equação algébrica de segundo grau em x e y que todo ponto (x,y) da parábola deva satisfazer. a) F(2,) r : x = 0 b) F(,1) r : y + = 0 c) F( 4, 2) r : 2x+y =. São dados, em cada caso, o parâmetro geométrico a e os focos de uma elipse. Obtenha uma equação algébrica de segundo grau em x e y que todo ponto (x,y) da elipse deva satisfazer. a) a = 4 F 1 = (,2) F 2 = (,6) b) a = F 1 = ( 1, 1) F 2 = (1,1) c) a = F 1 = (0,0) F 2 = (1,1) 6. Nos casos em que a equação dada descreve uma elipse de focos em algum dos eixos coordenados, especifique-o e calcule: a distância focal, a medida do eixo maior e a medida dos eixo menor e a excentricidade. Faça alguns esboços, a mão livre e com o auxílio do computador, para comparar. a) 4x y 2 = 676 b) x 2 + 2y2 = 8 c) x2 4 + y2 2 = 0 d) 8x 2 +y 2 = 24 e) ( ) x 2 +y 2 = 9 f) x 2 4y 2 = 1 g) x 2 +9y 2 = 4 h) x 2 +y 2 = 1 i) 4x 2 +9y 2 +1 = 0 j) 16x 2 4+4y 2 = 0 7. Escreva uma equação reduzida da elipse, nos casos: a) O centro é O, os focos estão em Ox, o eixo menor mede 6, e a distância focal é 8. b) O centro é O, os focos estão em Oy, o eixo maior mede 10, e a distância focal é 6. c) Os focos são (0,6) e (0, 6), e o eixo maior mede 4. d) Os focos são (,0) e (,0) e um dos vértices é ( 1,0). e) Os focos são ( 1,0) e (1,0) e um dos vértices é (0, 2).

2 8. Em cada caso, determine os vértices, os focos, e a medidas dos eixos maior e menor da elipse. a) E : 16x 2 +2y 2 = 400 b) E : x 2 +9y 2 = 9 c) E : 0 y 2 2x 2 = 0 d) E : x 2 +4y 2 12 = 0 9. Escreva uma equação reduzida da elipse de excentricidade e =, sabendo que dois vértices são (,0) e (,0) e que os focos estão em a) Ox b) Oy 10. Utilizando as informações dadas em cada caso, calcule a excentricidade da elipse E. Aponte, entre elas, quais são semelhantes, qual é a mais alongada e qual é a menos alongada. a) E : 16x 2 +2y 2 = 400 b) E : 2x 2 +y 2 0 = 0 c) O triângulo F 1 B 2 F 2 é retângulo. 11. Nos casos em que a equação dada descreve uma hipérbole de focos em algum dos eixos coordenados, especifique-o e calcule a distância focal e as medidas dos eixos real e imaginário e a excentricidade. Faça alguns esboços, a mão livre e com o auxílio do computador, para comparar. a) 9x 2 4y 2 = 6 b) 9x2 2 y2 +9 = 0 c) x 2 +2y 2 = 1 d) 2x 2 100y 2 = 0 e) x 2 9y 2 4 = 0 f) x 2 y 2 +1 = Determine, em cada caso, os vértices, os focos, as extremidades do eixo imaginário e equações das assíntotas da hipérbole: a) 2x 2 144y 2 = 600 b) 16x 2 2y 2 = 400 c) y 2 x 2 = 16 d) 9y 2 4x 2 = 6 e) x 2 y 2 = 1. Obtenha, em cada caso, uma equação reduzida da hipérbole. a) Os vértices são (2,0) e ( 2,0), e os focos, (,0) e (,0). b) Os vértices são ( 1,0) e (1,0) e as assíntotas têm equações y 4x = 0 e y +4x = 0. c) Os focos são (,0) e (,0) e as assíntotas têm equações 2y = x e 2y = x. d) Os focos estão no eixo Oy, as assíntotas têm equações 2y + x = 0 e 2y x = 0, e o eixo imaginário mede São dados, em cada caso, o parâmetro geométrico a e os focos de uma hipérbole. Obtenha uma equação algébrica de segundo grau em x e y que todo ponto (x,y) da hipérbole deva satisfazer. a) a = F 1 = (, ) F 2 = (,7) b) a = 1 F 1 = (,4) F 2 = ( 1, 2) 1. Escreva, em cada caso, uma equação reduzida da hipérbole. a) Os focos são ( 1,0) e (1,0), e a excentricidade, b) Os vértices são (0, 4) e (0,4), e a excentricidade, 2. c) A excentricidade é 2, e as assíntotas têm equações y = 2x e y = 2x. d) As extremidades do eixo imaginário são ( 2,0) e (2,0), e a excentricidade é 2. e) As assíntotas têm equações y = x e y = x, e a excentricidade é 2.

3 16. Calcule, em cada caso, a excentricidade de hipérbole H. a) H : 4x 2 y 2 = 16 b) H : x 2 2y 2 +8 = 0 c) Os pontos A 1, A 2, B 1 e B 2 são vértices de um quadrado. 17. Identifique a cônica e, quando for o caso, obtenha seus parâmetros geométricos (a, b, c ou p) e determine, em relação ao sistema inicial, os elementos geométricos principais: centro, focos, vértices, eixos, assíntotas, diretriz, etc. a) 2x 2 +y 2 8x+6y 7 = 0 b) 16x 2 +16y 2 16x+8y 9 = Associe a cada equação de cônica da coluna da esquerda as equações de cônicas congruentes a ela da coluna da direita. a) 4x 2 +y 2 +8x 10y +1 = 0 b) 4x 2 y 2 +24x 12y +17 = 0 c) 4x 2 y 2 +12x+40y +29 = 0 d) y 2 4x+10y +1 = 0 (A) y 2 4x = 0 (B) 4x 2 y = 0 (C) 4x 2 +y 2 16 = 0 (D) 4x 2 y 2 7 = Obtenha a equação reduzida da superfície esférica de centro C e raio ρ. a) C(1, 1,),ρ = 2 b) C(0,0,0),ρ = 1 c) C( 2,1, ),ρ = 2 d) C(18, 17, 1),ρ = 0 e) C(0,1,0),ρ = Nos casos em que a equação dada descreve uma superfície esférica, determine o centro e o raio. a) (x 2) 2 +(y 6) 2 +z 2 = 2 b) x 2 +y 2 +z 2 4x+6y +2z 2 = 0 c) x 2 +y 2 +z 2 2x 4y +10 = 0 d) x 2 +y 2 +z 2 2x+2y = 0 e) x 2 +y 2 +z 2 2x 4y 6z +16 = 0 f) 2x 2 +2y 2 +2z 2 6x+2y 4z7 = 0 g) 4x 2 +4y 2 +4z 2 8x 8y 8z +10 = 0 h) x 2 +y 2 +z 2 2x+4y +1 = 0 i) x 2 +y 2 +z 2 02x+4y + = Identificar as quádricas representadas pelas equações. a) x 2 +y 2 +z 2 = 2 b) 2x 2 +4y 2 +z 2 16 = 0 c) x 2 4y 2 +2z 2 = 8 d) z 2 4x 2 4y 2 = 4 e) x 2 +z 2 4y = 0 f) x 2 +y 2 +4z = 0 g) 4x 2 y 2 = z h) z 2 = x 2 +y 2 i) z = x 2 +y 2 j) x 2 +y 2 = 9 l) y 2 = 4z m) x 2 4y 2 = 16 n) 4y 2 +z 2 4x = 0 o) x 2 +4y 2 +z 2 = 0 p) 16x 2 +9y 2 z 2 = 144 q) 16x 2 9y 2 z 2 = 144 r) 2y 2 +z 2 x 2 = 0 s) 4x 2 +9y 2 = 6z

4 22. Reduzir cada uma das equações à forma canônica, identificar e construir o gráfico da quádrica que ela representa. a) 9x 2 +4y 2 +6z 2 = 6 b) 6x 2 +9y 2 4z 2 = 6 c) 6x 2 9y 2 4z 2 = 6 d) x 2 +y 2 +z 2 = 6 e) x 2 +y 2 9y = 0 f) x 2 +4z 2 8y = 0 g) 4x 2 9y 2 6z = 0 h) x 2 +4y 2 z 2 = 0 i) x 2 y 2 +2z 2 = 4 j) y 2 = x 2 +z 2 l) 4x 2 +2y 2 +z 2 = 1 m) x 2 +y +z 2 = 0 n) x 2 9y 2 = 9 2. Representar graficamente as superfícies cilíndricas. a) y = 4 x 2 b) x2 4 + z2 9 = 1 c) x 2 +4y 2 = 16 d) x 2 4y 2 = 16 e z e) x 2 +y 2 = 9 e 0 z 4 f) z 2 = 4y g) z = y Nos casos em que a interseção do plano π com o elipsóide Ω for uma elipse, determine seu centro, focos, vértices e excentricidade. Se for uma circunferência, determine o centro e o raio. a) Ω : x y z2 4 = 1 π : y = 0 b) Ω : x 2 +4y 2 +4z 2 = 6 π : x+2 = 0 c) Ω : 4x 2 +4y 2 +9z 2 2 = 0 π : z + 1 = 0 2. Descreva a curva interseção do hiperbolóide Ω com o plano π e determine, quando for o caso: centro, focos, assíntotas, raio. a) Ω : x 2 4y 2 +z 2 = 1 π : z + 1 = 0 b) Ω : x 2 4z 2 +y 2 = 4 π : y = 1 c) Ω : x2 2 y2 2 z2 = 1 π : y +2 = Descreva a curva de interseção do parabolóide Ω com o plano π e determine, quando for o caso, centro, focos vértice, excentricidade, assíntotas, raio, etc. a) Ω : z +x 2 +y 2 = 0 π : z +9 = 0 b) Ω : 4y 4x 2 z 2 = 0 π : z 1 = 0 c) Ω : x+y 2 +2z 2 = 0 π : x 1 = 0

5 Respostas 1. a) (1,0),(0,0), p = 1, r : x+1 = 0 b) ( 2,0),(0,0), p = 2, r : x 2 = 0 c) (0, 2 ),(0,0), p = 2, r : y 2 = 0 d) ( 2,0),(0,0), p = 2, r : x+2 = 0 e) (0, 2),(0,0), p = 2, r : y +2 = 0 f) (0, 4),(0,0), p = 4, r : y +4 = 0 2. a) y 2 = 8x b) x 2 = 1 16y c) y 2 = 4x d) x 2 = 2y. a) y 2 = 2x b) x 2 = 8y c) y 2 = 16x 4. a) y 2 4x 6y +1 = 0 b) x 2 6x 8y +1 = 0. a) 4x 2 +y 2 +24x 24y +6 = 0 b) 8x 2 2xy +8y 2 6 = 0 c) x 2 4xy +4y 2 +2x+26y +91 = 0 c) x 2 2xy +y 2 4x 4y 289 = 0 6. a) Ox; 26, 4, 2 16 b) Oy; 4, 4 2, 4 c) Não é elipse d) Oy; 4 2, 2, 2 7. a) x2 2 + y2 9 = 1 b) x y2 2 = 1 e) Ox; 10, 6, 8 f) Não é elipse g) Ox; 6, 2, 4 h) Ox; 2, 2, 2 2 c) x2 2 + y2 289 = 1 d) x y2 144 = 1 i) Não é elipse j) Oy; 2, 1, e) x2 + y2 2 = 1 8. a) Vértices: (±,0),(0,±4); focos: (±,0); 2a = 10; 2b = 8 b) Vértices: (±,0),(0,±1); focos: (±2 2,0); 2a = 6; 2b = 2 c) Vértices: (0,± 2),(±,0); focos: (0,±); 2a = 10 2; 2b = 10 d) Vértices: (±2,0),(0,± ); focos: (±1,0); 2a = 4; 2b = 2 9. a) x2 2 + y2 16 = 1 b) x2 2 + y a) b) 2 c) Elipses semelhantes: (b) e (c). Mais alongadas: (b) e (d). Menos alongada: (a). = a) Ox; 4, 6, 2 1 b) Oy; 6, 10, 2 4 c) Não é hipérbole d) Não é hipérbole e) Ox; 6, 2, 2 14 f) Oy; 2, 2, a) (±12,0),(±1,0),(0,±),y = ± x 12 b) (±,0),(± 41,0),(0,±4),y = ± 4x c) (0,±4),(0,±4 2),(±4,0),y = ±x d) (0,±2),(0,± 1),(±,0),y = ± 2x e) (±1,0),(±2,0),(0,± ),y = ± x 1. a) x2 y2 4 = 1 b) x2 2 y2 144 x2 = 1 c) y2 20 = 1 d) x y2 6 = a) 9x 2 16y 2 4x+64y +161 = 0 b) x 2 +12xy +8y 2 18x 28y +11 = 0

6 1. a) x2 144 y2 2 = 1 b) x y2 16 = 1 c) Não existe a hipérbole (os dados são incompatíveis). d) Não existe, pois 2 < 1. e) Existem infinitas hipérboles nessas condições, todas com centro O, focos em Oy. Suas equações são da forma x2 + y2 = 1(m 0) m 2 m a) b) c) a) Elipse. a =, b = 6, c = ; centro: (2, 1); vértices: ( 1,1),(, 1),(2, 6 1),(2, 6 1); focos: (2+, 1),(2, 1); eixo maior contido na reta r : y = 1, eixo menor na reta s : x = 2. b) Circunferência de centro ( 1 2, 1 ) e raio a) (C) b) (D) c) (B) d) (A) 19. a) (x 1) 2 +(y +1) 2 +(z ) 2 = 4 b) x 2 +y 2 +z 2 = 1 c) (x 2) 2 +(y 1) 2 +(z +) 2 = a) C = (2, 6,0),ρ = b) C = (2,, 1),ρ = a) Superfície esférica b) Elipsóide c) Hiperbolóide de uma folha d) Hiperbolóide de duas folhas e) Parabolóide elíptico f) Parabolóide elíptico g) Parabolóide hiperbólico h) Superfície cônica i) Parabolóide elíptico 22. a) x2 + y2 + z2 = 1, elipsóide b) x2 + y2 z2 = 1, hiperbolóide de uma folha 1 9 c) x2 y2 z2 = 1, hiperbolóide de duas folhas d) x2 + y2 + z2 = 1, superfície esférica de raio e) x2 + y2 = 9z, parabolóide elíptico 1 1 f) x2 + z2 = 2y, parabolóide elíptico 4 1 g) x2 y2 = z, parabolóide hiperbólico 9 4 d) (x 18) 2 +(y +17) 2 +(z 1) 2 = 200 e) x 2 +(y 1) 2 +z 2 = 16 d) C = (1, 1,0),ρ = 2 g) C = (1,1,1),ρ = 2 2 j) Superfície cilíndrica l) Superfície cilíndrica m) Superfície cilíndrica n) Parabolóide elíptico o) Superfície cônica p) Hiperbolóide de uma folha q) Hiperbolóide de duas folhas r) Superfície cônica s) Parabolóide elíptico h) x2 + y2 z i) x2 y2 + z j) x2 + z2 y l) x y2 1 2 m) x2 + z2 1 1 n) x2 y z2 1 = 0, superfície cônica = 1, hiperbolóide de uma folha = 0, superfície cônica = 1, elipsóide = y, parabolóide elíptico = 1, superfície cilíndrica 2.

7 24. a) Elipse. Centro (0,,0), focos (±,,0), vértices (±4,,0) e (0,,± ), e = 1 4. b) Elipse. Centro ( 2,0,0), focos ( 2,0,± 2 ), vértices ( 2,0,±2) e ( 2,± 4,0), e =. c) Circunferência. Centro (0,0, 1 ), raio a) Reunião de duas retas concorrentes no ponto (0,0, 1 ). b) Elipse de centro (0, 1, 0) e focos (±2, 1, 0). c) Hipérbole de centro (0, 2,0), focos (±, 2,0), assíntotas r : X = (0, 2,0)+λ(± 2,0,1). 26. a) Elipse de centro(0,0, 9), focos(± 6,0, 9), vértices(±,0, 9),(0,±, 9), excentricidade 6. b) Parábola de vértice (0, 1,1), foco (0, 1,1), parâmetro 1, diretriz X = (0,0,1)+λ(1,0,0) c) π Ω =.

c) F( 4, 2) r : 2x+y = 3 c) a = 3 F 1 = (0,0) F 2 = (1,1)

c) F( 4, 2) r : 2x+y = 3 c) a = 3 F 1 = (0,0) F 2 = (1,1) Lista de Exercícios Estudo Analítico das Cônicas e Quádricas 1. Determine o foco, o vértice, o parâmetro e a diretriz da parábola P e faça um esboço. a) P : y 2 = 4x b) P : y 2 +8x = 0 c) P : x 2 +6y =

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