Elipse. 3 ano E.M. Professores Cleber Assis e Tiago Miranda

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1 Cônicas Elipse ano E.M. Professores Cleber Assis e Tiago Miranda

2 Cônicas Elipse c) (x 1) (y ) 1 Exercícios Introdutórios Exercício 1. O ponto que representa o centro da elipse de (x 1) (y ) equação = 1 é: a) ( 1, ). b) ( 1, ). c) (1, ). d) (1, ). e) (0, 0). Exercício. A distância focal da elipse de equação (x 5) (y 1) = 1 é: 5 a) 8. d) e) (x 1) (x 1) (y ) (y ) Exercício 6. Determine a equação da elipse cujo centro é (, ), eixo maior mede 1, eixo menor mede 8 e eixo focal horizontal. Exercício 7. Os pontos (, 0) e (, 0) são vértices de uma elipse cujos focos são (, 0) e (, 0). Determine a equação da elipse. Exercício 8. é: A excentricidade da elipse x (y 1) 5 = 1 b) 10. c) 1. d) 1. e) 16. Exercício. O conjunto de pontos cuja soma das distâncias a dois pontos fixos é constante é uma: a) circunferência. b) elipse. c) hipérbole. d) parábola. Exercício. Seja a a medida do eixo maior e b a medida (x ) (y 5) do eixo menor da elipse = 1, então, 8 a b é: a) 1 b) c) d) e) 1. a) 8. b) 10. c) 1. d) 1. e) 15. Exercício 5. A equação da elipse com centro em (1, ), eixo focal vertical, eixo maior igual a 6 e eixo menor igual a é: a) b) (x 1) (x 1) (y ) (y ) Exercícios de Fixação Exercício. Determine a medida do segmento cujas extremidades são as interseções da reta r : y x = 0 com a elipse α : x y Exercício 10. Determine as coordenadas dos focos da elipse α : x y 7x y 1 = 0. Exercício 11. Determine a equação da elipse na figura abaixo, sendo E e F as extremidades do eixo menor e G e H as extremidades do eixo maior. 1 matematica@obmep.org.br

3 Exercícios de Aprofundamento e de Exames Exercício 16. A área do polígono que tem como vértices os extremos dos eixos maior e menor da elipse x y x 6y 1 = 0 é: a) 1. b). c). d). Exercício 17. Os valores reais de n para os quais a reta (t) y = x n seja tangente à elipse de equação x y = 6 são iguais a: a) 5 e 5. b) e. c) e. d) e. Exercício 1. Verifique se o ponto P(0, 1) é interno, externo (x 7) (y 5) ou pertence à elipse de equação 5 Exercício 1. A equação da circunferência inscrita à elipse (x ) (y ) = 1 é: 16 a) (x ) (y ) = 16. b) (x ) (y ) =. c) (x ) (y ) =. d) (x ) (y ) = 16. e) (x ) (y ) =. Exercício 1. Para quantos valores inteiros de m a reta y = (x ) (y ) x m é tangente à elipse = 1? 16 a) 1. b). c). d). e) 5. Exercício 15. O lugar geométrico dos pontos do plano cartesiano que, juntamente com os pontos A(, 5) e B(, 5), determinam triângulos com perímetro p = 16cm é uma: a) elipse. b) parábola. c) hipérbole. d) circunferência. e) 5 e 5. Exercício 18. Uma elipse tem centro na origem e vértices em (a, 0) e (0, a), com a > 0. A área do quadrado inscrito nessa elipse é: a) 16a b) a c) 1a d) 8a e) 0a Exercício 1. O coeficiente angular da reta que é tangente à elipse x 16 y = 1 no primeiro quadrante e que corta o eixo das abscissas no ponto P(8, 0) é: a). b) 1. c). d). e). matematica@obmep.org.br

4 Exercício 0. Considere a elipse a seguir, onde DD é uma corda passando pelo seu centro, MM uma corda focal e o eixo maior da elipse é a. Prove que (DD ) = MM a. Elaborado por Cleber Assis e Tiago Miranda Produzido por Arquimedes Curso de Ensino contato@cursoarquimedes.com matematica@obmep.org.br

5 1. D. Respostas e Soluções.. Se a = 5 e b =, então a = 5 e b =. Como a = b c, então c =, segue que a distância focal é 8. Resposta A.. B.. Na equação, temos a = e b = 8, donde chegamos a a = e b =. Portanto, a b = 8 = 1. Resposta C. 5. Se os eixos maior e menor medem 6 e, respectivamente, então a = e b = e, consequentemente, a = e b =. (x 1) (y ) Portanto, sua equação é Resposta D. 6. Temos a = 6 e b =. Como o eixo focal é horizontal, (x ) (y ) chegamos a (Extraído da Vídeo Aula) Temos que os eixos maior e focal medem, respectivamente, 8 e 6. Assim, a =, c = e, consequentemente, b = 7. Como o centro é a origem, a equação da elipse é x 16 y 7 8. Como a = 5 e b =, então c = 5, segue que c =. Sendo assim, a excentricidade da elipse é c a = Resposta D.. Temos que: x y = 1 x y = (y ) y = y 8y y = y y = 0 y(y 1) = 0 y 1 = 1 y =. Sendo assim, os pontos de interseção entre a reta e a elipse são A(0, 1) e B(, 0), cuja distância entre eles é AB = ( 0) (0 1) = Temos: x y 7x y 1 = 0 x 7x y y 1 = 0 x 7x 1 y y 6 = 6 (x 1) (y 6) = 6 (x ) (y ) = 6 (x ) (y ) Sendo assim, a =, b = e, consequentemente, c = 5. Como as coordenadas do centro são (, ), então as coordenadas dos focos são (, 5) e (, 5). 11. Como a = 8 =, b = 6 = e o centro está em (1, ), (x 1) (y ) sua equação é Como a = 5 e b =, então c = e, consequentemente, as coordenadas dos focos são F(7, 1) e G(7, ). Assim, temos d FP d PG = 100 = 1, 5 > 10 = a. Portanto, P é exterior à elipse. 1. Como devem ser concêntricas, o centro da circunferência é O(, ). Além disso, o raio da circunferência deve ter a mesma medida do semieixo menor da elipse, ou seja, R = b =. Portanto, a equação da circunferência é (x ) (y ) =. Resposta B. 1. Fazendo a interseção entre a reta e a elipse, temos: 16(x ) (x m ) = 1 16(x x ) (x mx 6x m 6m ) = 1 5x (10 18m)x m 5m 1 = 0. Como são tangentes, devemos encontrar apenas um resultado para a equação, ou seja: = 0 (10 18m) 5 (m 5m 1) = m m 00m 500m 100 = 0 576m 5760m = 0 m 1 = 0 m = matematica@obmep.org.br

6 Portanto, a reta é tangente à elipse para dois valores inteiros de m. Resposta B. 15. (Extraído da AFA) Seja P o terceiro vértice do triângulo. Temos então que AB AP BP = 16 cm, ou seja, AP BP = 10 cm. O conjunto de pontos cuja soma das distâncias a dois pontos é constante é o lugar geométrico de uma elipse. Resposta A. 16. (Extraído da AFA) Analisando a equação da elipse, temos: x y x 6y 1 = 0 x x 6 y 6y = 1 6 (x ) (y ) = (x ) 1 (y ) Encontramos com isso as medidas dos eixos maior e menor, respectivamente: e. Ligando as extremidades dos eixos maior e menor, obtemos um losango cujas diagonais medem e, ou seja, sua área é =. Resposta D. 17. (Extraído da EsPCEx - 016) Substituindo a equação da reta na equação da elipse, temos: x (x n) = 6 x (x xn n ) 6 = 0 5x 6nx n 6 = 0. Chegamos a uma equação quadrática na qual devemos encontrar apenas uma solução (na verdade, duas iguais!), pois a reta é tangente à elipse: = 0 (6n) 5 (n 6) = 0 6n 60n 10 = 0 n 10 = 0 n = ± (Extraído da EsPCEx - 017) Como o centro da elipse está na origem, os demais vértices são ( a, 0) e (0, a) e, consequentemente, sua equação é x a y a Como o quadrado está inscrito na elipse, vamos marcar seu vértice no primeiro quadrante (l, l) e, como este pertence à elipse, temos: x a y a = 1 l a l a = 1 5l = a l = 5a. 5 Como o lado do quadrado mede l, sua área é (l) = ( ) 5a = 16a. Resposta A. 5 5 Resposta A. 5 matematica@obmep.org.br

7 1. (Extraído do ITA) Como o ponto P(8, 0) pertence à reta tangente t : y = mx n, temos 0 = 8m n, donde n = 8m. Sendo assim, podemos escrever a equação de t como y = mx 8m. Agora vamos verificar a interseção entre a reta e a elipse: x x 16 y = 1 (mx 8m) 16 = 1 x 16(m x 16m x 6m ) = 1 ( 16m )x 56m x 10m 1 = 0. Como encontramos uma equação quadrática e deve existir apenas um ponto de interseção entre a reta e a elipse, temos: = 0 ( 8 m ) ( m )( 10 m ) = 0 Aplicando a lei dos cossenos ao triângulo FF M, temos (a q) = (c) q c q cos α, donde chegamos a q = b a c cos α. De forma análoga, chegamos a p = b a c cos α. Portanto MM ab = p q = a c cos e, consequentemente, α MM a a = b a c cos. Supondo agora o centro da elipse α no centro do sistema de coordenadas cartesianas, temos que sua equação é x a y b Fazendo CD = CD = z, obtemos: (z cos α) (z sen α) a b = 1 z b (cos α) z a [1 (cos α) ] = a b z b (cos α) z a z a (cos α) = a b z a z c (cos α) = a b z = z = a b a c (cos α) a b a c (cos α) (DD ) = MM a. 16 m 1 m m 10 m = m = 81 6 m = ±. Como a interseção ocorre no primeiro quadrante, a reta é decrescente, ou seja, m =. Resposta D. 0. (Extraído do IME - 018) Sejam F e F os focos da elipse, p o comprimento de FM e q o comprimento de FM. Elaborado por Cleber Assis e Tiago Miranda Produzido por Arquimedes Curso de Ensino contato@cursoarquimedes.com 6 matematica@obmep.org.br