INSTITUTO FEDERAL DE BRASILIA 4ª Lista. Nome: DATA: 09/11/2016

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1 INSTITUTO FEDERAL DE BRASILIA 4ª Lista MATEMÁTICA GEOMETRIA ANALÍTICA Nome: DATA: 09/11/016 Alexandre Uma elipse tem centro na origem e o eixo maior coincide com o eixo Y. Um dos focos é 1 F1 0, 3 e a excentricidade é e. Determinar as coordenadas do outro foco, os comprimentos do eixo maior e eixo menor e a equação da elipse. Considere a hipérbole de equação 1 y mostrada na figura abaixo: x a) Determine os pontos de interseção entre a hipérbole e a reta de equação y x. b) Determine os pontos de interseção entre a hipérbole e a reta de equação y x. c) Para quais valores do parâmetro real m a reta de equação y mx intersecta a hipérbole em exatamente um ponto? Ana Determine a equação da parábola cujo vértice é a origem, o eixo coincide com o eixo Y, e passa pelo ponto A(4, - ). Dê o foco e a equação da diretriz. Determine que tipo de cônica representa a equação elementos (focos, vértices, assíntotas). y x 8 0 e dê seus principais Com relação às equações das elipses 5x 16y 150x 56y e 16x 5y 96x 00y 144 0, podemos afirmar que a) as elipses têm centros coincidentes. b) as elipses têm a mesma distância focal. c) as elipses têm a mesma excentricidade. d) as elipses têm focos sobre o eixo das abscissas. e) o eixo maior de uma delas é o dobro do eixo menor da outra. 1

2 Uma parábola P passa pelo ponto (4;-), tem vértice V na origem e o eixo OY como reta focal. Encontre sua equação, seu foco F e a equação da sua diretriz. Carlos Dada uma elipse de semi-eixos a e b, calcule, em termos destes parâmetros, a área do quadrado nela inscrito, com lados paralelos aos eixos da elipse. Considere as afirmações: I. Uma elipse tem como focos os pontos F 1 ( 3, 0), F (3, 0) e a medida do eixo maior é 8. Sua equação é x y II. Os focos de uma hipérbole são F 1 ( 10, 0), F (10, 0) e sua excentricidade é x 9y 576. III. A parábola 8x y 6y 9 tem como vértice o ponto V(3, 0). Com base nessas afirmações, assinale a alternativa correta. a) Todas as afirmações são falsas. b) Apenas as afirmações I e III são falsas. c) Apenas as afirmações I e II são verdadeiras. d) Todas as afirmações são verdadeiras. e) Apenas a afirmação III é verdadeira. Sua equação é Determine a parábola de vértice (-10; 0) e concavidade voltada para a direita, tangente à circunferência de centro (0; 0) e raio 6. Dica: Observe que tal parábola, para ser tangente ao círculo, deverá ter dois pontos em comum com ele, como mostra a figura abaixo. Observe ainda que estes dois pontos possuem a mesma coordenada x.

3 Eliézer A figura mostra um plano cartesiano no qual foi traçada uma elipse com eixos paralelos aos eixos coordenados. Valendo-se das informações contidas nesta representação, determine a equação reduzida da elipse. Ache a equação da parábola: a) Que tem a reta y = 1 como diretriz e o ponto (; ) como foco. b) Que tem a reta y = 0 como diretriz e o ponto (1; ) como vértice. c) Que tem a reta x = -1 como diretriz e o ponto (0; 0) como foco. d) Que tem a reta 4x + 3y = 1 como diretriz e o ponto (; 1) como foco. Gabriel Determine a equação da hipérbole equilátera com focos nos pontos 8,0 e 8,0. Uma elipse cujo centro encontra-se na origem e cujos eixos são paralelos ao sistema de eixos 3 cartesianos possui comprimento da semi-distância focal igual a 3 e excentricidade igual a. Considere que os pontos A, B, C e D representam as interseções da elipse com as retas de equações y x e y x. Calcule a área do quadrilátero ABCD. Um aluno desenhou, em um plano cartesiano, duas cônicas (elipse ou hipérbole), uma de excentricidade 0,8 e outra de excentricidade,4, tendo ambas como foco o par de pontos ( 1,0) e (1,0). Assinale o que for correto. 01) A cônica de excentricidade 0,8 é uma hipérbole. 0) A cônica de excentricidade,4 passa pelo ponto (5,0). 04) As cônicas descritas possuem quatro pontos em comum. x y 08) 1 é uma equação para a cônica de excentricidade 0, ) A cônica de excentricidade 0,8 passa pelo ponto (0,9). Determine a equação satisfeita pelos pontos (x; y) que sejam centro de um círculo contendo o ponto (0; 1) e tangente à reta y = -1. 3

4 João Joaquim Sendo m o maior valor real que x pode assumir na equação analítica (x ) 4(y 5) 36, e n o maior valor real que y pode assumir nessa mesma equação, então, calcule m n. Considere uma haste AB de comprimento 10 m. Seja um ponto P localizado nesta haste a 7 m da extremidade A. A posição inicial desta haste é horizontal sobre o semieixo x positivo, com a extremidade A localizada na origem do plano cartesiano. A haste se desloca de forma que a extremidade A percorra o eixo y, no sentido positivo, e a extremidade B percorra o eixo x, no sentido negativo, até que a extremidade B esteja sobre a origem do plano cartesiano. Escreva a equação do lugar geométrico, no primeiro quadrante, traçado pelo ponto P ao ocorrer o deslocamento descrito. Determine a reta tangente à parábola de equação y = x no ponto (1; 1). João Victor A figura mostra a representação de algumas das ruas de nossas cidades. Essas ruas possuem calçadas de 1,5 m de largura, separadas por uma pista de 7m de largura. Vamos admitir que: I. os postes de iluminação projetam sobre a rua uma área iluminada na forma de uma elipse de excentricidade 0,943; II. o centro dessa elipse encontra-se verticalmente abaixo da lâmpada, no meio da rua; III. o eixo menor da elipse, perpendicular à calçada, tem exatamente a largura da rua (calçadas e pista). Se desejarmos que as elipses de luz se tangenciem nas extremidades dos eixos maiores, qual a distância aproximada, em metros, entre dois postes consecutivos? Dado: 0,943 0,889 e 0,111 0,333 Encontre a equação da hipérbole que passa pelo ponto (6; ) e tem as retas r : x y 3 e s : x y 1 por assíntotas. Ache a equação da reta tangente à parábola de tangência. P: x y 1paralela à reta r : x y 0, e o ponto Lucas Os triângulos ABC e DEF são equiláteros com lados iguais a m. A área da figura FHCG é igual à metade da área da figura ABHFG. Determine a equação da elipse de centro na origem e eixos formados pelos segmentos FC e GH. 4

5 Os vértices de uma hipérbole são os pontos (0; 3) e (0;-3) e um de seus focos é o ponto (0; 5). Obtenha a equação da hipérbole, o comprimento do seu eixo focal e suas assíntotas. Encontre a equação da parábola P com reta focal paralela ao eixo OX, que passa pelos pontos 3, 1 0,5 e 6, 7., Márcia Determine os valores de k para os quais a equação x 4 y 1 representa elipses e 9k 5k hipérboles. Esboce a curva para k = -7 e dê os focos, a excentricidade e as assíntotas (caso existam). Determine que tipo de cônica representa a equação y x 8 0 e dê seus principais elementos (focos, vértices, assíntotas). Em que pontos a parábola de vértice V(,0) e foco na origem intercepta o eixo y? Mateus Santana Deseja-se construir uma praça em forma de elipse em um terreno retangular de dimensões x metros e y metros, com x y, de perímetro 300 m e área 5000 m, conforme nos mostra a figura. Estando previstas as instalações de duas torres de iluminação, uma em cada foco da elipse, 1 F e F, local de melhor distribuição e aproveitamento das mesmas, calcule a distância em metros entre as torres. 5

6 O centro de uma hipérbole é a origem, sua reta focal é um dos eixos coordenados e uma de suas assíntotas é a reta x - 5y = 0. Determine a equação da hipérbole H, supondo que o ponto (4; 6) pertence à hipérbole. Verifique se as equações abaixo representam uma parábola ou uma parábola degenerada. Caso seja uma parábola, determine seus elementos principais. a) b) c) d) x 8y 0 y 5x 8y 7 0 3y 7y6 0 3y y1 0 Mateus Santos A secretaria de infraestrutura de um município contratou um arquiteto para fazer o projeto de uma praça. Na figura a seguir, está o esboço do projeto proposto pelo arquiteto: uma praça em formato retangular medindo 80 m x 10 m, onde deverá ser construído um jardim em forma de elipse na parte central. Estão destacados na figura os segmentos AC e BD que são, respectivamente, o eixo maior e o menor da elipse, bem como os pontos F 1 e F, que são os focos da elipse onde deverão ser colocados dois postes de iluminação. Com base nessas informações, calcule o valor aproximado da distância entre os postes de iluminação. Determine as assíntotas da hipérbole de equação 9x y 36x y Sejam V = (-;-1) o vértice de uma parábola P e L : x + y = 1 a equação de sua diretriz. Encontre a equação da parábola e seu foco. Michael Um arquiteto projetou, para um salão de dimensões m por 18 m, um teto de gesso em formato de elipse com o eixo maior medindo 0 m e o eixo menor, 16 m, conforme ilustra a figura abaixo. 6

7 O aplicador do gesso afirmou que saberia desenhar a elipse, desde que o arquiteto informasse as posições dos focos. Para orientar o aplicador do gesso, o arquiteto informou que, na direção do eixo maior, calcule a distância entre cada foco e a parede mais próxima. Mostre que a excentricidade de qualquer hipérbole equilátera é Um círculo C, centrado no ponto C = (4;-1), passa pelo foco F da parábola P : x que a diretriz da parábola é tangente ao círculo C. 16y. Mostre Silmara Determine o centro, os focos e o comprimento dos eixos das elipses: a) 9x + 16y -18x -135 = 0 b) 4x + y - 8x - y + 1 = 0 Alguns telescópios usam espelhos parabólicos, pois essa forma geométrica reflete a luz que entra para um único ponto, chamado foco. O gráfico de y = x, por exemplo, tem a forma de uma parábola. A luz que vem verticalmente, de cima para baixo (paralelamente ao eixo y), encontra a parábola e é refletida segundo a lei de que o ângulo de incidência é igual ao ângulo de reflexão. Essa lei implica que os raios de luz verticais, encontrando a parábola no ponto (a,a ), serão refletidos na direção da reta 4ay + (1 4a )x = a. Sendo assim, calcule o ponto em que os raios de luz verticais refletidos em (1,1) e (,4) se encontrarão. Encontre o lugar geométrico dos pontos cuja distância ao ponto (0; 6) é igual a 3 da distância à 8 reta y

8 Stephanie Ache a equação da elipse: a) que tem a centro em (-1; 1), um foco em (;-1) e passa pelo ponto (; 1) b) que tem centro em (1; ), vértice em (3; ) e excentricidade 1 a) b) Encontre a equação e os elementos principais da hipérbole que passa pelo ponto Q = (-1;-5) e tem os eixos coordenados como assíntotas. Determine a reta tangente à parábola y 8x que é paralela à reta xy 3, indicando o ponto de tangência; x 16x que é perpendicular à reta x4y 7, indicando o ponto de tangência. Thais Determine a equação da elipse que passa pelos quatro pontos 1,3, 1, 4 3,3, admitindo que seus eixos são paralelos aos eixos coordenados., 0,3 3 e Calcular a área formada pelas assíntotas da hipérbole x y 1 e a reta 9x y A superfície de uma antena parabólica pode ser gerada pela rotação completa de uma parábola ao redor do seu eixo. A intersecção dessa superfície com qualquer plano perpendicular ao eixo é um círculo. Observe a figura. Considere um círculo de centro E e diâmetro CD de 4 metros de comprimento, cuja medida da distância do centro E ao vértice A do paraboloide é 0,5 metro. a) Escreva a equação cartesiana da parábola de foco B contida no plano CAD, sendo o vértice (A) a origem do sistema cartesiano e o eixo das abscissas paralelo ao diâmetro CD como mostra a figura. b) Calcule a distância do vértice A ao foco B. 8