Geometria Analítica? Onde usar os conhecimentos. os sobre Geometria Analítica?

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1 X GEOMETRIA ANALÍTICA Por que aprender Geometria Analítica?... A Geometria Analítica estabelece relações entre a álgebra e a geometria por meio de equações e inequações. Isso permite transformar questões de geometria em questões de análise e viceversa. Onde usar os conhecimentos os sobre Geometria Analítica?... A Geometria Analítica, por meio de representações cartesianas, pode ser usada para indicar a temperatura do corpo, as oscilações da Bolsa de Valores, efeitos da natureza etc.

2 Capítulo 1 INTRODUÇÃO À GEOMETRIA ANALÍTICA A Geometria Analítica é o estudo da geometria euclidiana por meio do método das coordenadas. Podemos dar significado algébrico às figuras geométricas, como reta, circunferência, elipse, hipérbole, parábola, pelas equações matemáticas epressas nas variáveis e, analisando essas equações por meio de gráficos. Estudo do Ponto Sistema Cartesiano Duas retas orientadas, uma horizontal ( OX ), chamada eio das abscissas, e outra vertical ( OX ), eio das ordenadas, são denominadas sistema cartesiano ortogonal. O ponto 0 é a intersecção das retas e, chamado origem. O par ordenado (, ) é chamado coordenada do ponto A. Os dois eios dividem o plano em quatro quadrantes. º 1º 3º 4º 474

3 Eemplo: Represente no plano cartesiano os pontos: A (, 3), B( 1, ), C (3, ), D (4, 0) e E (0, 3). Manual de Matemática Distância entre Dois Pontos Dados dois pontos, A( A, A ) e B( B, B ), definimos d A, B a distância entre A e B, como mostra a figura: B B B A A A C A B B A 475

4 Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo ABC, temos: d = d + d ou AB AC BC = B A + B A d(ab) ( ) ( ) Eemplos: 1) Calcule a distância entre os pontos A(, 3) e B(1, 3). Represente os pontos no plano cartesiano. d(a, B) = ( ) + ( ) B A B A d(a, B) = (1+ ) + ( 3 3) d(a, B) = d(a, B) = 45 d(a, B) = 3 5 A B ) (UFES) Sendo A(3, 1), B(, ) e C(4, 4) os vértices de um triângulo, ele é: a) eqüilátero. d) retângulo e não isósceles. b) retângulo e isósceles. e) n.d.a. c) isósceles e não retângulo. Calculando as distâncias d(a, B), d(b, C) e d(a, C), podemos classificar o triângulo. d(a, B) = (3 + ) + (1 ) d(a, B) = d(a, B) = 6 476

5 d(b, C) = (4 + ) + ( 4 ) d(b, C) = d(b, C) = 7 d(b, C) = 6 d(a, C) = (4 3) + ( 4 1) d(a, C) = 1+ 5 d(a, C) = 6 Como d(a, B) = d(a, C), o triângulo é isósceles. Vamos verificar se o triângulo é retângulo, aplicando o teorema de Pitágoras. ( 7 ) = ( 6) + ( 6) 7 = = 5 (F) Portanto, o triângulo não é retângulo. Resposta: c Ponto Médio Sendo A( A, A ) e B( B, B ) e M( M, M ), o ponto que divide AB ao meio é chamado ponto médio. B B M M A A A M B 477

6 M( M, M ) é o ponto médio do segmento AB. A + B A + B M = e M = Eemplos: 1) Determine as coordenadas de M, ponto médio de A(4, 3) e B(, 1). Substituindo os dados na fórmula: A + B A + B M = M = M = M = M = 3 M = 1 Portanto, M(3, 1). ) Sendo M(6, 1) o ponto médio de AB e A(0, 3), determine as coordenadas de B. Aplicando a fórmula: A + B A + B M = M = 0+ B 3+ B 6= 1= B = 1 = 3+ B B = 5 B(1, 5) 3) Dados os pontos A( 1, 4), B(0, ) e C(4, 6), determine o comprimento da mediana referente ao vértice A. Obs.: Mediana é o segmento que vai de um vértice do triângulo ao ponto médio do lado oposto. 478

7 Sendo o triângulo ABC: A Devemos calcular o comprimento AM. B M C Calculando o ponto médio de BC. + + M = M = M = M = = = 4 M B C B C M(, 4) A mediana é dada pela d(a, M). Assim: d(a, M) = ( 1 ) + (4 4) M d(a, M) = 9 d(a, M) = 3 Baricentro de um Triângulo Baricentro é o ponto de intersecção das três medianas do triângulo. A Sendo G( G, G ), podemos definir B M c G M a M b C + + G = G = 3 A B C A B C e 479

8 Eemplo: Seja o triângulo cujos vértices são: A(3, 1), B( 1, ) e o baricentro G(6, 8). Determine o vértice C. A + B + C A + B + C G = G = C 1+ + C 6= 8= = + C 4 = 3 + C = 16 = 7 C C Portanto, C(16, 7). Condição de Alinhamento de Três Pontos Para que três pontos A( A, A ), B( B, B ) e C( C, C ) sejam alinhados ou colineares, é necessário que: A A D= B B 1 1 = 0 1 C C Obs.: Se D 0, os pontos formam vértices de um triângulo. Eemplos: 1) Verifique se os pontos A(, 6), B(4, 8) e C(1, 7) estão alinhados D = D = D = 0 480

9 Como D = 0, os pontos estão alinhados. Manual de Matemática ) Determine o valor de m para que os pontos A(3, 1), B(4, ) e C(m, ) sejam vértices de um triângulo. A condição para que os pontos A, B e C sejam vértices de um triângulo é D D = 4 1 m m 1 6 m 8 m m 8 3m 8 8 m 3 0 Área de um Triângulo Sendo os pontos A( A, A ), B( B, B ) e C( C, C ) vértices de um triângulo, podemos calcular a área do triângulo pela fórmula: Eemplos: 1) Calcule a área do triângulo formado pelos pontos A(, 0), B( 1, 3) e C(4, 5). Calculando o determinante: 0 1 D =

10 D = D = 1 ) Determine o valor de a, sendo A(3, 1), B(a, 1) e C(, 3) e a área do triângulo determinada pelos pontos ABC é igual a D= a 1 1 a D = 3 6a a + 9 D = 8a + 1 A = D 1 6 = 8a+ 8a + = 1 8a + = 1 8a + = 1 8a = 10 8a = 14 8a = 10 8a = a = a = a = a = 4

11 A Reta Equação Geral da Reta Manual de Matemática Dados os pontos A( A, A ) e B( B, B ) e um ponto qualquer P( P, P ) que pertença à reta r( AB ). Sabendo que A,B e P são colineares, então: 1 A B P A 1 = 0 B 1 P A equação geral da reta que passa pelos pontos A e B é dada pela equação a + b + c = 0. Eemplo: Determine a equação geral da reta que passa pelos pontos A(4, ) e B(3, 6). Substituindo em: D = = = = = 0 Portanto, = 0 é a equação geral da reta que passa pelo ponto A e B. Intersecção de Retas Para calcularmos a intersecção de duas retas concorrentes, devemos resolver o sistema formado pelas equações dessas retas. 483

12 Eemplo: Determine o ponto de intersecção da reta r formada pelos pontos A(0, 3) e B( 4, ) e s formada pelos pontos C( 1, ) e D(5, ). Calculando a equação da reta r formada pelos pontos A(0, 3) e B( 4, ): = = = 0 reta s formada pelos pontos C( 1, ) e D(5, ) = = = 0 Formando um sistema, temos: 4+ 1= 0 ( 4) = = = 0 = = = 11 Substituindo = = = em = 0, temos:

13 = 0 = = O ponto de intersecção é, Manual de Matemática Equação Reduzida Dada a equação geral a + b + c = 0 da reta, podemos colocá-la na forma reduzida, isolando o valor de. = m + b coeficiente linear coeficiente angular Em que m é o coeficiente angular da reta e b é a ordenada do ponto em que a reta corta o eio. Coeficiente Angular É a tangente do ângulo α formado pela reta r com o eio das abscissas, medido sempre no sentido anti-horário. r α B A m= tgα ou m= B A 485

14 α r r α m > 0 m < 0 r r 486 m = 0 m não é definido Eemplos: 1) Determine o coeficiente angular da reta formada pelos pontos A(, 6) e B(1, 4). Aplicando a fórmula, temos: B A m = B 4 6 m = 1+ m = 3 A ) Dê a equação reduzida da reta = 0 Isolando o valor de, temos:

15 = 0 6 = = = + 3 Manual de Matemática 1 em que m = (coeficiente angular) e b = (coeficiente linear). 3 3) Escreva a equação reduzida determinada pelos pontos A(5, ) e B(0, 3). Quando olhamos uma montanha, observamos que podemos aplicar a definição de coeficiente angular. Qual será a inclinação da montanha? Ela será dada pela tangente do ângulo formado pelo solo e a montanha. 487

16 Como a reta é formada por dois pontos, devemos calcular o determinante = = 0 5 = = 15 1 = 3 5 Equação Segmentária A equação segmentária da reta r é dada pela fórmula + = 1, em que p p q é onde a reta corta o eio (p, o) e q é onde a reta corta o eio (o, q). r (0, q) (p, 0) Eemplo: Determine a equação segmentária da reta que passa pelos pontos A( 3, 0) e B(0, 4). 488

17 Aplicando a fórmula: + = 1 p q + = 1 ou + = Equação da reta que passa pelo ponto P( p, p ) e tem coeficiente angular m Determine a equação da reta r, dados o ponto P(, 3) e o coeficiente angular m =. 1 Seja P( p, p ) um ponto qualquer da reta. p Então m= p = m( p) (equação da reta) p p = m( p ) 1 3 = ( + ) 6 = + 4 = 0 (equação da reta) Posições Relativas entre Duas Retas Retas Paralelas Duas retas são paralelas se, e somente se, os coeficientes angulares forem iguais. s r α α m r = m s 489

18 Retas Concorrentes Duas retas são concorrentes se, e somente se, os coeficientes angulares forem diferentes. s r β α m r m s Retas Perpendiculares Duas retas são perpendiculares se, e somente se, m r. m s = 1 forem coeficientes angulares inversos e contrários. s r m r. m s = 1 Eemplos: 1) Verifique se as retas (r): 3 + = 0 e (s): = 0 são paralelas. 490

19 Determinando a equação reduzida das retas r e s, temos: 3 + = 0 = 3 = 3 + m r = = 0 3 = = m s = 3 Como m r = m s, as retas são paralelas. ) Determine K, para que as retas l 1 : (K + ) + + = 0 e l : 3 + k 1 = 0 sejam perpendiculares. Reduzindo as retas l 1 e l, temos: (l 1 ) (K + ) + + = 0 = (K+) m l = (K+ ) 1 (l ) 3 + K 1 = 0 K = = + m = l K k K Como as retas l 1 e l são perpendiculares, m l1 m l =-1 (K+). 3 = 1 K 3K+6= K 3K+K= 6 4K= 6 K= 6 3 = 4 491

20 3) Determine a equação da reta (s), paralela à reta (r) + 3 = 0 e que passa pelo ponto A( 1, ). Sendo a equação + 3 = 0, devemos colocar na forma reduzida: + 3 = 0 = 3 1 = + 3 mr = 1 3 = + Como as retas r e s são paralelas, m r = m s = 1. A = m s ( A ) = 1 ( + 1) 4 = = = 0 Ângulo entre Duas Retas Dadas duas retas r e s concorrentes e não perpendiculares entre si: r s θ θ θ 1 Eemplo: Determine o ângulo formado pelas retas: (r) + 1 = 0 e (s) 3 + = 0. Definimos: tg m m r s θ= 1 + mr ms 49

21 Reduzindo as equações, temos: (r) + 1 = 0 (s) 3 + = 0 = 1 = 3+ = +1 m s = 3 m r = Aplicando a fórmula: Distância entre Ponto e Reta A distância entre a reta (r) a + b + c = 0 e o ponto P( p, p ) é dada pela fórmula: d P, r ap+ bp+ c = a + b Eemplos: 1) Determine a distância entre a reta (r) = 0 e o ponto P( 1, 1). Aplicando a fórmula, temos: 493

22 ) Determine a distância entre as retas (r) + 3 = 0 e (s) = 0 Devemos achar um ponto em r ou em s para podermos calcular a distância. Tomando a reta r, determinamos o ponto: p/ = = 0 = 3 P(0, 3) Temos P(0, 3) e a reta (s) = 0. 3) Calcule a altura do triângulo ABC, relativo ao vértice A, dados os pontos A (5, 1), B(, 0) e C( 3, 3). Determinamos inicialmente a equação da reta r, suporte do lado BC do triângulo. A h B H C r = = 0 494

23 Determinamos a distância entre o vértice A e a reta r. Manual de Matemática Circunferência Definição Circunferência é o conjunto de pontos do plano eqüidistante de C (centro da circunferência). r r C r r r A distância de C a qualquer ponto da circunferência é chamada raio. Equação da Circunferência b C r P(, ) a C(a, b) é o centro da circunferência e P(, ) pertence à circunferência. 495

24 496 A equação reduzida da circunferência é dada pela fórmula: ( a) + ( b) = r Se o centro da circunferência for a origem C(0, 0), a equação é dada por + = r. Equação Geral da Circunferência Desenvolvendo a equação reduzida de raio r e centro C(a, b), chegamos à equação geral da circunferência: ( a) + ( b) = r a + a + b + b r = 0 + a b+ a + b r = 0 F Para que a equação represente uma circunferência, é necessário que: o coeficiente de e seja igual a 1; não eista termo na variável ; o raio r = a + b F, sendo r >0. Eemplos: 1) Determine o raio e o centro da circunferência cuja equação reduzida é: ( ) + ( + 1) = 9. Comparando as equações: ( a) + ( b) = r e ( ) + ( + 1) = 9, obtemos: a =, b = 1 e r = 3 C(, 1) e r = 3 ) Determine a equação reduzida da circunferência que tem raio igual a 5 e C( 3, 4). ( a) + ( b) = r ( + 3) + ( 4) = 5 ( + 3) + ( 4) = 5

25 3) Determine a equação da circunferência com centro C(, 1) que passa pelo ponto P(3, 0). O ponto P pertence à circunferência. C r P ( a) + ( b) = r ( + ) + ( 1) = ( 6) ( + ) + ( 1) = 6 d(c, P) = r r = ( 3) + (1 0) r = 5+ 1 r = 6 4) Ache a equação da circunferência cujas etremidades do diâmetro são os pontos A (4, ) e B(, 6). C(a, b) é o ponto médio de AB a= b= a= 1 b= 4 C(1, 4) r é dado por r = d(c, A). r = (1 4) + (4 ) r = 9+ 4 r = 13 A equação será ( 1) + ( 4) = 13. 5) Determine a equação geral da circunferência com centro em C( 1, 3) e r = 4. ( a) + ( b) = r 497

26 Substituindo C( 1, 3) e r = 4 na equação reduzida: (+1) + ( 3) = = = 0 6) Determine o centro e o raio da circunferência cuja equação geral é = 0. Comparando as equações, + a b + a + b r = 0 e = 0, temos: a = 4 b = 10 a = 4 b = 10 a = b = 5 C(, 5) a + b r = r = 7 r = 7 9 r = 36 r=6 Posições Relativas entre Circunferência e Ponto Observe a circunferência e os pontos: P P 3 C P 1 Se d(p 1, C) < r, P é interno. Se d(p, C) = r, P à circunferência. Se d(p 3, C) >r, P é eterno. 498

27 Eemplos: 1) Determine a posição dos pontos P(1, 1), Q(3, 4) em relação à circunferência = = 0 Substituindo P(1, 1), = 1 e = 1 na equação, 1 +( 1). 1+4( 1) 10=0 14 < 0 P é interior à circunferência = 0 Q(3,4) = 0 5> 0 Q é eterior à circunferência. ) Determine o valor de a, para que o ponto B(1, ) pertença à circunferência a = 0. Para que o ponto B(1, ) pertença à circunferência, devemos ter: a = 0 a = 4 Posições Relativas entre Reta e Circunferência Observe as retas a, b e c e a circunferência a seguir: C c b a a é secante à circunferência, pois a intercepta em dois pontos d(c, a) < r. b é tangente à circunferência, pois b a intercepta em um ponto d(c, b) = r. c é eterior à circunferência, pois não tem ponto em comum com a circunferência d(c, c) > r. 499

28 Eemplos: 1) Qual a posição da reta (r) = 0 em relação à circunferência = 0? Inicialmente determinamos o centro e o raio da circunferência: = 0 a = 6 b = a = 6 b = a = 3 b = 1 C(3, 1) a + b r = r = 1 r = 9 r = 9 r = 3 Calculando a distância de C à reta r, temos: Como d(c,r) < r, a reta é secante à circunferência. ) (MACK SP) A reta s: = k é tangente à circunferência + ( ) = 4. Determine k. + ( ) = 4 C(0, ) e r = K = 0 Se a reta é tangente à circunferência, d(c, s) = r. 500

29 = + + = K 1 K 1 K + 1= 1 K + 1= 1 K + 1= 1 K = 0 K= 0 Posições Relativas de Duas Circunferências Dados r 1 e r, os raios das circunferências de centros C 1 e C e d, a distância entre os centros, podemos identificar as posições relativas entre duas circunferências: d C 1 r1 r C As circunferências são eteriores: d > r 1 + r d As circunferências são C 1 C r1 r tangentes eteriores: d = r 1 + r As circunferências são d secantes: C 1 C r1 r d < r 1 + r 501

30 As circunferências são r 1 C 1 d tangentes interiores: C r d = r 1 r d C 1 r 1 r C As circunferências são interiores: d < r 1 r Eemplo: Verifique a posição relativa entre as circunferências ( ) + ( +1) = 5 e ( 3) + ( +) = 9: ( ) + ( +1) = 5 C(, 1) e r 1 = 5 ( 3) + ( +) = 9 C(3, ) e r = 3 d = (3 ) + ( + 1) d= r 1 r = 5 3 = = r 1 + r = = 8 Portanto, d < r 1 r e as circunferências são interiores. Estudo das Cônicas As figuras parábola, hipérbole e elipse recebem o nome de cônicas, pois são obtidas pela intersecção de um plano e um cone. 50 Elipse Hipérbole Parábola

31 Elipse Manual de Matemática Elipse é o conjunto dos pontos de um plano, em que a soma das distâncias de F 1 e F seja sempre igual a a. B 1 Elementos: A 1, A, B 1 e B são os vértices a a a é o semi-eio maior b b é o semi-eio menor F1 c c F c é a semidistância focal A 1 A a a F 1 e F são os focos b FF = c (distância focal) 1 AA = a (eio maior) 1 B BB = b (eio menor) 1 A MATEMÁTICA E A ASTRONOMIA ESTÃO INTERAGINDO Podemos observar que a elipse está presente na trajetória das Planeta órbitas dos planetas em torno do Sol, e o Sol está posicionado num Sol dos focos da elipse. Todos os planetas, com eceção de Plutão, descrevem elipses. trajetória elíptica 503

32 Equações Elipse com o centro na origem e eio maior horizontal: P(, ) A 1 A F 1 ( c, 0) F (c, 0) a + = 1 b Elipse com o centro na origem e eio maior vertical: A 1 F 1 B 1 B F a + = 1 b A Elipse de centro fora da origem C( 0, 0 ) e eio maior horizontal: B 1 P 0 A1 F 1 c C c B F A ( 0) ( 0) + = 1, a b em que F( c, ) e F( + c, )

33 Elipse de centro fora da origem C( 0, 0 ) e eio maior vertical: A 1 F 1 0 B 1 c c C B F A 0 Relação Fundamental a = b + c Ecentricidade Definimos como ecentricidade o quociente entre a semidistância focal e o semi-eio maior. c e= a, em que 0 < e < 1. Eemplos: 1) Determine a equação da elipse de centro na origem e eio maior horizontal, sendo a = 1 e c = 6. a = 1c = 6 a = 6 c = 3 Aplicando a relação fundamental a = b + c. 6 = b + 3 b = 7 b= 7 b= 3 3 Se o eio maior é horizontal, a equação é do tipo + = 1. a b + =

34 ) Determine o eio maior, o eio menor, a distância focal, os focos e a ecentricidade de cada uma das elipses abaio: a) + 5 = 0 Dividindo a equação por 0, temos: = = a = 0 a = a = eio maior: 4 5 b = 4 b = eio menor: b=4 a = b + c 0 = 4 + c c = 16 c = ±4 distância focal: c = 8 focos F 1 (4, 0) e F ( 4, 0) eio maior horizontal. ( 4) ( + ) b) + = A elipse é de centro fora de origem C(, 4) e eio maior vertical. ( 0) ( 0) + = 1 a b 506

35 a = 9 a= 9 a = 3 eio maior: a = 6 b = 4 b = eio menor: b = 4 a = b + c 9 = 4 + c c = 5 c=± 5 distância focal: c = 5 Os focos têm coordenadas F 1 ( 0, 0 + c) e F ( 0, 0 c). Substitutivo: F 1 (, ) e F (, 4 5 ). c 5 e= e= a 3 Hipérbole Definimos como hipérbole o conjunto dos pontos do plano, tais que o módulo da diferença das distâncias desses pontos a F 1 e F seja sempre igual a a. 507

36 Elementos: A 1 e A são os vértices F 1 e F são os focos a é o semi-eio real b é o semi-eio imaginário c é a semidistância focal FF = c (distância focal) 1 AA = a (eio real) 1 BB = b (eio imaginário) 1 Equações Hipérbole com centro na origem e focos no eio : a F 1 A 1 A F a a = 1 b Hipérbole com centro na origem e focos no eio : F 1 c A 1 A a = 1 a b F 508

37 Hipérbole de centro C( 0, 0 ) e eio real horizontal: Manual de Matemática 0 F 1 F ( 0) ( 0) = 1 a b 0 Hipérbole de centro C( 0, 0 ) e eio real vertical: F F 1 ( 0) ( 0) = 1 a b Relação Fundamental c = a + b Ecentricidade c e =, com e > 1 a 509

38 Hipérbole Eqüilátera Define-se como hipérbole eqüilátera a hipérbole que possui os semi-eios real e imaginário iguais, ou seja, a = b. Equações das Assíntotas da Hipérbole Define-se como assíntota as retas que contêm as diagonais do retângulo de lados a e b. b F 1 a a b F Equações Eio real horizontal e centro na origem: b =± a Eio real vertical e centro na origem: a =± b Eio real horizontal e C( 0, 0 ): b 0 =± ( 0) a Eio real vertical e C( 0, 0 ): a 0 =± ( 0) b 510

39 Eemplos: 1) Determine a equação da hipérbole abaio: 4 F 1 A 1 A 4 F Temos: a = e c = 4 Pela relação fundamental, temos: c = a + b 16 = 4 + b b = 1 Logo: = 1 = 1 a b 4 1 ) Determine a equação da hipérbole de eio real a = 4 horizontal, com centro na origem e eio imaginário b = 8. a = 4 (eio real) b = 8 (eio imaginário) a = b = 4 511

40 Equação: = 1 = 1 a b ) Determine a ecentricidade, as assíntotas e a equação da hipérbole de eio real horizontal medindo 8, centro na origem e foco F 1 ( 5, 0). = 1 a b a = 8 a = 4 e c = 5 c = a + b 5 = 16 + b b = 5 16 b = 9 = Ecentricidade: c e = a 5 e = 4 As assíntotas são: b 3 =± =± a 4 Parábola Definimos como parábola o lugar geométrico dos pontos eqüidistantes da reta d(diretriz) e do ponto F(foco). 51

41 d P 0 D p V p F eio de simetria 0 F é o foco. d é a diretriz. V é o vértice. a distância p entre o foco F e a diretriz d é o parâmetro. V é o ponto médio do DF. Equação Eio de simetria paralelo ao eio : d P(, ) F 0 0 p 0 Se V (0, 0): ( 0) = p( 0) = p Concavidade para a direita: ( 0 ) = p( 0 ) 513

42 Concavidade voltada para a esquerda: ( 0 ) = p( 0 ) Se V(0, 0): = p Eio de simetria paralelo ao eio : eio de simetria F Concavidade voltada para cima: ( 0 ) = p( 0 ) Se V(0, 0): = p Concavidade voltada para baio: ( 0 ) = p( 0 ) Se V(0, 0): = p Eemplo: Dada a parábola de equação = 1, determine: a) o vértice; 514

43 b) o foco; c) a diretriz. a) vértice = 1 tem vértice na origem e concavidade voltada para a direita. V(0, 0): b) foco A parábola é do tipo = p. p = 1 Então, p 3 = p = 6 p F, 0 = F(3, 0) c) diretriz p D, 0 D( 3, 0) e a equação é = 3. EXERCÍCIOS PROPOSTOS Geometria Analítica (ponto e reta) 1) Determine as coordenadas dos pontos A, B, C, D, E, F e G. C 3 A 1 B E 0 1 G 3 4 F D 515

44 ) Calcule a distância entre os pontos M( 3, 1) e N(5, 14). 3) Determine o ponto Q(0, a) eqüidistante dos pontos A(, 0) e B(, 4). 4) Classifique o triângulo cujos vértices são os pontos A(, 5), B(4, 3) e C(, 6). Calcule seu perímetro. 5) Calcule o ponto médio do segmento AB nos seguintes casos: a) A(, 0) e B( 4, 3) b) A(3, ) e B(1, ) 6) Dados A(, 4), B(0, 6) e C(1, 3), vértices do triângulo ABC, determine a mediana CM do triângulo. 7) Sabendo-se que as diagonais de um paralelogramo ABCD se interceptam num ponto M(1, 4), que é o ponto médio das diagonais, determine as coordenadas dos vértices C e D, sendo A(1, ) e B(3, 4). 8) Determine as coordenadas do baricentro do triângulo cujos vértices são A(1, 1), B(3, ) e C(4, ). A EVOLUÇÃO DO ZERO Desde os indianos até os árabes, a forma do zero mudou de um ponto para um círculo. O símbolo maia mais famoso para o zero era uma elipse com forma de olho. MATEMÁTICA DO ABAJUR Quando acendemos a luz de um abajur, podemos mostrar que a hipérbole aparece a partir da luz que o abajur projeta na parede. 516

45 9) Verifique se os pontos A, B e C estão alinhados nos seguintes casos: a) A(0, ), B(3, 0) e C(6, 0) b) A(, 3), B(, 4) e C(, 1) 10) Determine o valor de a para que os pontos A(1, 3), B(, a) e C(0, 1) formem vértices de um triângulo. 11) Determine o coeficiente angular dos seguintes pontos: a) A(, 4) e B(, 4) b) A( 1, 3) e B(0, 1) 1) Determine a equação da reta que passa pelo ponto A(3, 4) e tem coeficiente angular igual a ) Determine a equação segmentária da reta que passa pelos pontos A(, 0) e B(0, 6). 14) A reta s passa pelos pontos A(, 3) e B( 4, 1). Determine: a) a equação geral; b) a equação reduzida; c) a equação segmentária. 15) Determine a área do triângulo definido pelos pontos A( 1, 0), B(3, 1) e C(0, ). 16) (CESGRANRIO RJ) As retas de equações = 3 1 e = m + n são paralelas. Então: a) m = 3n c) n = 1 e) m=3 b) n = 3m 1 d) m = 3 17) Determine o valor de K para que as retas (r) + 4 = 0 e (s) (K 1) + 8 = 0 sejam concorrentes. 18) Determine a equação da reta s que passa pelo ponto A(3, ) e é perpendicular a r, de equação = 0. 19) (FUVEST SP) No plano cartesiano são dados os pontos A( 1, ), B(1, 3) e C(, 1). Determine a equação: 517

46 a) da reta AB; b) da reta que passa por C e é perpendicular a AB ) Calcule o ângulo formado pelas retas 5 = 0 e = 0. 1) (UFPR) A distância entre as retas paralelas = 0 e = 0 é igual a: a) b) 4 c) 5 d) 10 e) 18 ) (PUC SP) Qual a distância da origem à reta de equação 3 4 = 10? 3 a) b) c) 10 d) 1 e) 3) Determine a distância do ponto P à reta r, sendo P(4, 3) e (r) + 1 = 0. Geometria Analítica (circunferência e elipse) 4) Escreva a equação reduzida da circunferência de centro C e raio r nos seguintes casos: 1 a) C(1, ) e r = 3 c) C, 3 e r = 1 b) C(0, 4) e r = 5 d) C(0, 0) e r = 3 3 5) Escreva a equação geral da circunferência de centro C e raio r nos casos: a) C( 1, 1) e r = b) C(, ) e r = c) 1 5 C 1, e r = 6) Determine a posição relativa de cada ponto em relação à circunferência = 0. a) A(1, ) b) B( 1, 0) 7) (CESCEM SP) O raio da circunferência = 0 é igual a: a) b) 3 c) 3 d) 4 e) 16 8) Represente graficamente no plano as seguintes desigualdades: a) ( ) + ( 3) 1 b) + < 81

47 9) (FEI SP) O ponto ( 1, ) em relação à circunferência = 0: a) está situado no centro. b) é interno à circunferência e fora do centro. c) está situado na curva. d) é eterno à circunferência, mas está na reta. e) n.d.a. 30) Identifique a posição da reta r em relação à circunferência, em cada caso: a) = = 0 b) + 1 = = 0 c) = 0 ( 3) + ( 4) = 5 31) Determine a equação da elipse nos seguintes casos: a) a = 5 e b =, C(0, 0), de eio maior horizontal b) a = 4 e b = 3, C(0, 0), de eio maior vertical 1 c) a = 6, e = C(0, 0), de eio maior horizontal 3) Calcule a ecentricidade da elipse de eio maior 8 e eio menor 6. 33) Determine o centro, o eio maior, o eio menor, a distância focal, as coordenadas dos focos e a ecentricidade das elipses. ( 6) a) + = 1 b) + = ) Determine o foco e a diretriz das parábolas abaio: a) = 1 b) = 8 519

48 Respostas 1) A (1, ), B ( 3, 0), C ( 4, 3), D (0, ), E(0, 0), F( 1, ) e G(4, 0) ) 17 3) Q(0, ) 4) Triângulo Escaleno P= ) a) M 1, b) M(,0) 6) CM = 4 7) C(1, 6) e D( 1, 4) 8) 8 1 G, 3 3 9) a) não estão alinhados b) estão alinhados 10) a 5 11) a) m = b) m = 4 1) 3 15 = 0 13) + = ) a) = 0 b) = c) ) A= u 16) e 17) K 3 18) = 0 + = ) a) + 5 =0 b) + 3 = 0 0) 0 1) a ) e 3) 4 4) a) ( 1) + ( +) = 9 c) ( ) + = 1 3 b) + ( 4) = 5 d) + = 7 1 5) a) + + = 0 c) = 0 b) = 0

49 6) a) pertence à circunferência b) eterno à circunferência 7) d 8) a) b) 3 C r = 1 1 r 9 9 9) b 30) a) r é eterior à circunferência. b) r é secante à circunferência. c) r é eterior à circunferência ) a) + = 1 b) + = 1 c) + = ) ) a) C (0, 0), eio maior = 10, eio menor = 8, 3 distância focal 6, F 1 (0, 3), F (0, 3) e = e 5 b) C (6, 0), eio maior = 10, eio menor = 8, 3 distância focal = 6, F 1 (3, 0), F (9, 0) e e =. 5 34) a) F(3, 0), = 3 b) F(0, ) = 51