Retas e Funções Lineares

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1 Capítulo 1 Retas e Funções Lineares 1.1 A equação de uma reta Intuitivamente é fácil perceber que dois pontos distintos denem uma única reta. Na geometria analítica podemos determinar a equação de uma reta que passa por dois pontos distintos do plano cartesiano. Para tal, consideremos a reta denida pelos pontos A = ( 0, 0 ) e B = ( 1, 1 ) da Figura 1.1(a); um ponto qualquer P = (, ) também estará sobre esta reta desde que A, B e P sejam colineares (estejam alinhados) - Figura 1.1(b). P 1 0 B A 0 1 (a) Reta pelos pontos A e B 1 0 A... θ 0 1 B M N (b) Reta pelos pontos A, B e P Figura 1.1: Denindo a equação de uma reta Tal condição de alinhamento é satisfeita se os triângulos ABM e AP N forem semelhantes (neste caso uma semelhança do tipo ângulo-ângulo-ângulo); assim podemos escrever Simplicamos a equação (1.1) notando que a razão 0 0 = (1.1) é constante 1. Tal constante é chamada de coeciente angular da reta e doravante vamos denotá-la pela letra a. É útil observar que o coeciente angular de uma reta pode ser prontamente encontrado dividindo-se a variação das 1 Observe que ( 0, 0 ) e ( 1, 1 ) são as cordenadas de dois pontos conhecidos da reta, assim 0, 0, 1 e 1 são números conhecidos. Por outro lado a razão 0 0 não é constante, uma vez que e são as coordenadas de um ponto qualquer do plano cartesiano, logo e são valores incógnitos. 1

2 CAPÍTULO 1. RETAS E FUNÇÕES LINEARES 2 ordenadas dos pontos pela variação de suas as abcissas; assim a = = ou a = = (1.2) Substituindo o valor do coeciente angular dado em (1.2) na equação da reta (1.1) obtemos ou, mais apropriadamente, 0 0 = a, (1.3) 0 = a( 0 ), (1.4) chamada equação da reta na forma ponto-coeciente angular. Isolando nesta equação obtemos = a a 0 + 0, onde notamos que a é uma constante, denominada coeciente linear da reta e a qual denotaremos pela letra b. Podemos então reescrever a equação (1.4) como chamada equação da reta na forma reduzida. = a + b, (1.5) Eemplo 1.1 (Reta por dois pontos dados) Determine a equação da reta pelos pontos (1, 3) e (2, 5), mostrada na Figura Figura 1.2: Reta pelos pontos (1, 3) e (2, 5). Inicialmente calculamos seu coeciente angular a = = = = 2. A seguir, usando o ponto (1, 3), obtemos a equação da reta na forma ponto-coeciente 3 = 2( 1). Finalmente isolamos a variável para obter sua forma reduzida = Então, esta reta tem coeciente angular a = 2 e coeciente linear b = 1.

3 CAPÍTULO 1. RETAS E FUNÇÕES LINEARES 3 No eemplo anterior poderíamos obter a equação da reta usando o ponto (2, 5), ao invés do ponto (1, 3). Neste caso a equação da reta na forma ponto-coeciente seria e a forma reduzida 5 = 2( 2), = Observamos que a equação da reta na forma ponto-coeciente não é única: mudando-se o ponto usado muda-se a equação; por outro lado a forma reduzida é única, independente de qual ponto é usado para escrever sua equação O que queremos dizer com equação de uma reta? A geometria analítica estuda entes geométricos (retas, circunferências, parábolas, regiões etc) por meio de representações algébricas (equações e inequações). Dizer que = é a equação de uma dada reta signica que todo ponto da reta é dado por um par ordenado que satisfaz sua equação; reciprocamente, todo par ordenado que satisfaz sua equação é um ponto da reta. Eemplo 1.2 Ainda considerando a reta = e a Figura 1.2. O ponto (3, 7) pertence a esta reta pois as coordenadas (, ) = (3, 7) vericam sua equação. O ponto (3, 9) não pertence a esta reta pois as coordenadas (, ) = (3, 9) não vericam sua equação O coeciente angular e o coeciente linear 1 B A. 0. θ (0, b).. θ 1 0 a = = tg(θ) Figura 1.3: Coeciente angular e coeciente linear de uma reta Para entendermos os signicados geométricos dos coecientes angular e linear vamos observar a Figura 1.3, que ilustra novamente a reta pelos pontos A = ( 0, 0 ) e B = ( 1, 1 ). O ângulo θ que a reta forma com o eio das abscissas no sentido positivo denomina-se inclinação da reta; o leitor que tem conhecimentos de trigonometria pode observar que o coeciente angular da reta é o valor da tangente desta inclinação. Para entendermos o signicado do coeciente linear fazemos = 0 na equação (1.5) e obtemos = b; isto signica que a reta passa pelo ponto (0, b). Assim o coeciente linear é a ordenada do ponto em que a reta intercepta o eio Retas horizontais e retas verticais Se uma reta for horizontal - Figura 1.4(a) - então sua inclinação é nula; conseqüentemente seu coeciente angular é zero, pois tg(0) = 0. Neste caso a equação (1.5) se reduz a = b. Genericamente falando, toda equação da forma = constante é equação de uma reta horizontal. Se uma reta for vertical - Figura 1.4(b) - então sua inclinação é de 90 o ; conseqüentemente seu coeciente angular não eiste, pois tg(90). Neste caso sua equação é da forma = constante.

4 CAPÍTULO 1. RETAS E FUNÇÕES LINEARES 4 = k (0, k) = k (a) Reta horizontal a = 0 (k, 0) (b) Reta vertical a@ Figura 1.4: Reta horizontal e reta vertical Equação geral da reta Toda equação da forma A + B + C = 0, (1.6) onde A, B e C são constantes reais e A e B não são simultaneamente nulas, representa um reta. Para vericar esta armação consideramos as seguintes possibilidades: se B 0, então podemos isolar na equação (1.6), obtendo = A B C B, que é uma equação da forma (1.5); logo a equação de uma reta. Neste caso, se A = 0, a equação anterior se reduz a = C B, que é a equação de uma reta horizontal. se B = 0, então podemos isolar na equação (1.6), obtendo que é a equação de uma reta vertical. = C A, Retas paralelas e retas perpendiculares A condição de paralelismo entre duas retas é facilmente estabelecida: duas retas paralelas formam o mesmo ângulo com o eio das abscissas, logo seus coecientes angulares são iguais - Figura 1.5(a). A condição de perpendicularismo é um pouco mais sutil. Para estabelecê-la vamos recorrer à Figura 1.5(b), que nos mostra as retas perpendiculares r 1 : = a 1 + b 1 e r 2 : = a 2 + b 2 concorrentes no ponto P = ( 0, 0 ). Como P pertence a ambas as retas, suas coordenadas satisfazem tanto a equação de r 1 como a de r 2, isto é 0 = a b 1 e 0 = a b 2. Na reta r 1, um incremento de uma unidade na abscissa resulta a 1 ( 0 + 1) + b 1 = a a 1 + b 1 = a b 1 + a 1 = 0 + a 1 ; isto é, a ordenada é incrementada de a 1 unidades. Logo o segmento RQ da Figura 1.5(b) mede a 1 unidades. De modo análogo, na reta r 2, um incremento de uma unidade na abscissa resulta a 2 ( 0 + 1) + b 2 = a a 2 + b 2 = a b 2 + a 2 = 0 + a 2 ;

5 CAPÍTULO 1. RETAS E FUNÇÕES LINEARES 5 = a 1 + b θ θ.. (a) Retas paralelas = a 2 + b 2 a 1 = a 2 = tg(θ) 0 + a a 2 P r1 : = a 1 + b 1 Q R S RQ = a 1 SR = a 2 r 2 : = a 2 + b (b) Retas perpendiculares Figura 1.5: Paralelismo e perpendicularismo de retas isto é, a ordenada é decrementada de a 2 unidades 2. Logo o segmento SR da Figura 1.5(b) mede a 2 unidades. Finalmente, observando que os triângulos P RQ e P RS são semelhantes (ângulo-ângulo-ângulo), podemos escrever RQ RP = RP SR a 1 1 = 1 a 1 a 2 = 1, a 2 que é a condição de perpedicularismo entre duas retas. Assim, duas retas são perpendiculares quando o produto de seus coecientes angulares vale Funções lineares Funções lineares (ou funções polinomiais do 1 o grau) são funções 3 f : R R da forma = f() = a + b; (1.7) onde a e b são constantes reais. Comparando as equações (1.5) e (1.7) concluímos imediatamente que o gráco de uma função linear é uma reta no plano cartesiano. A raiz 4 é dada por = b/a Modelos lineares A despeito de sua simplicidade, várias situações importantes são modeladas por funções lineares. Por modelo linear queremos dizer que eistem duas quantidades que se relacionam algebricamente através de uma equação (ou função) linear. Os próimos eemplos ilustram alguns modelos lineares. Eemplo 1.3 (A pressão em um ponto submerso) Determine a relação entre a pressão p (medida em atm) e a profundidade h (medida em m) em um ponto submerso na água do mar, considerando que a pressão aumenta linearmente com a profundidade e que este aumento é de 1 atm a cada 10 m de descida. Inicialmente observamos que quando h = 0 m (na superfície) a pressão é p = 1 atm; assim nossa reta passa pelo ponto (h, p) = (0, 1). Quando h = 10 m de profundidade a pressão aumenta para p = 2 atm; assim nossa reta também passa pelo ponto (h, p) = (10, 2). De posse de dois pontos da reta determinamos seu coeciente angular a = p h = = Decrementada por que o valor numérico de a 2 é negativo. 3 Lembre-se que o símbolo R denota o conjunto de todos números reais. Assim f :R R indica que a função f tem como domínio (o R antes da echa) e contra-domínio (o R depois da echa) todos os números reais. 4 As raízes, ou zeros, de uma função são todos os valores do domínio que anulam sua imagem, ou seja, são todos os elementos do domínio que possuem imagem zero. Determinamos as raízes de uma função f resolvendo a equação f() = 0.

6 CAPÍTULO 1. RETAS E FUNÇÕES LINEARES 6 Finalmente, usando o ponto (h, p) = (0, 1), obtemos a equação da reta p 1 = 1 10 (h 0) p = 1 10 h + 1; que é o modelo linear que relaciona a pressão p e a pronfundidade h da situação descrita. Eemplo 1.4 (Escalas de temperaturas) Em muitos países, incluindo o Brasil, a temperatura é medida na escala Celsius. Nos países que adotam o arcaico sistema inglês de medidas, como Inglaterra e Estados Unidos, a temperatura é medida na escala Farenheit. A escala Celsius adota as seguintes convenções: a água congela a 0 o C e ferve a 100 o C. A escala Farenheit adota as seguintes convenções: a água congela a 32 F e ferve a 212 F. Determine uma equação de conversão Celsius-Farenheit, sabendo que trata-se de um modelo linear. Denotando por c a temperatura em Celsius e por f a temperatura em Farenheit observamos que a reta procurada passa pelos pontos (c, f) = (0, 32) (congelamento da água) e (c, f) = (100, 212) (ebulição da água). De posse de dois pontos da reta determinamos seu coeciente angular a = f c = = = 9 5. Finalmente, usando o ponto (c, f) = (0, 32), obtemos a equação da reta f 32 = 9 5 (c 0) f = 9 5 c + 32; que é o modelo linear que relaciona a temperatura Farenheit f e a temperatura Celsisus c. 1.3 Problemas Propostos Problema 1.1 Marque cada par de pontos no plano cartesiano; trace a reta que passa por eles e determine a equação desta reta. (a) (5, 0) e (1, 4) (b) ( 3, 0) e (1, 4) (c) ( 2, 3) e (1, 9) (d) ( 1, 1) e (1, 5) (e) ( 2, 4) e ( 1, 1) (f) (2, 4) e ( 1, 5) (g) ( 2, 4) e (1, 5) (h) (2, 4) e (1, 5) (i) ( 2, 4) e ( 1, 5) (j) ( 2, 4) e ( 1, 5) (k) (0, 3) e (4, 3) (l) (1, 1) e (3, 1) (m) (1, 1) e (1, 4) (n) (3, 2) e (3, 5) Analisando os resultados obtidos o que você pode inferir sobre a posição da reta quando seu coeciente angular é positivo? e quando é negativo? e quando é nulo? e quando não eiste? Problema 1.2 Esboce e determine a equação da reta que satisfaz as seguintes propriedades: (a) inclinação de 45 o e passa pelo ponto P = (2, 4); (b) inclinação de 60 o e passa pelo ponto P = (2, 4); (c) inclinação de 135 o e passa pelo ponto A = (3, 5); (d) inclinação de 45 o e passa pelo ponto médio dos pontos (3, 5) e (1, 1); (e) paralela à reta = 3 4 e passa pelo ponto P = (1, 2);

7 CAPÍTULO 1. RETAS E FUNÇÕES LINEARES 7 (f) perpendicular à reta = 3 4 e passa pelo ponto P = (1, 2); Problema 1.3 Determine se os três pontos dados são colineares (resolva este problema de dois modos: usando o coeciente angular e a fórmula da distância). (a) (1, 4); ( 2, 13) e (5, 8); (b) (1, 7); (4, 2) e (2, 1); (c) ( 1 2, 3 2 ); ( 1 4, 13 8 ) e ( 1 2, 2); Problema 1.4 Determine se os três pontos dados formam um triângulo retângulo (resolva este problema de dois modos: usando o coeciente angular e o Teorema de Pitágoras). (a) (1, 3); (2, 7) e ( 2, 5); (b) (1, 2); (0, 1) e ( 1, 2); (c) (0, 0); (3, 6) e ( 4, 2); Problema 1.5 Esboce cada par de retas no plano cartesiano e determine o ponto de interseção. (a) = 2 e = 2 + 4; (b) = 2 7 e = 2 + 1; (c) = 3 1 e = 5 + 2; Problema 1.6 Determine o(s) valor(es) da constante k para que a reta (a) seja paralela ao eio-; (b) seja paralela ao eio-; (c) passe pela origem. (k + 4) + (9 k 2 ) + (k 6) 2 = 0 Problema 1.7 O conjunto de todos os pontos eqüidistantes de dois pontos A e B dados é chamado reta mediatriz do segmento AB. Esboce e determine a equação da reta mediatriz do segmento AB, onde A = ( 1, 3) e B = (5, 1), de dois modos: (a) igualando a distância do ponto P = (, ) a A e B e simplicando a equação obtida; (b) usando o ponto médio do segmento AB e um coeciente angular adequado. Problema 1.8 Dada a função f : R R, tal que = f() = 2 10, (a) determine as coordenadas do ponto onde seu gráco corta o eio-; (b) determine as coordenadas do ponto onde seu gráco corta o eio-; (c) utilize as informações obtidas para esboçar seu gráco. Problema 1.9 Voltando ao Eemplo 1.3 (a) qual a unidade do coeciente angular da reta obtida? qual é o seu signicado? (b) qual a unidade do coeciente linear da reta obtida? qual é o seu signicado? Problema 1.10 Voltando ao Eemplo 1.4 (a) qual o signicado do coeciente angular da reta obtida?

8 CAPÍTULO 1. RETAS E FUNÇÕES LINEARES 8 (b) qual o signicado do coeciente linear da reta obtida? Problema 1.11 Dada a função f : R R, tal que f() = 3 4, determine as constantes a e b sabendo-se que f(a) = 2b e f(b) = 9a 28. Problema 1.12 Uma função linear é tal que f(3) = 2 e f(4) = 2f(2). Determine f. Problema 1.13 Uma função linear é tal que f(0) = 1 + f(1) e f( 1) = 2 f(0). Determine f(3). Problema 1.14 Um avião parte de um ponto P no instante t = 0 e viaja para o oeste a uma velocidade constante de 450 Km/h. (a) Escreva uma epressão para a distância d (em Km) percorrida pelo avião em função do tempo t (em horas). (b) Trace o gráco d t. (c) qual o signicado do coeciente angular da reta obtida? Problema 1.15 A equação da reta na forma (1.3) tem a vantagem da coneão direta com o raciocínio geométrico utilizado para obtê-la, ilustrado na Figura 1.1(b). Porém, rigorosamente falando, a equação de uma reta não pode ser deiada nesta forma. Por quê? 1.4 Respostas dos Problemas Propostos - Capítulo (página 6) (a) = + 5 (b) = + 3 (c) = (d) = (e) = (f) = (g) = 3 2 (h) = 9 14 (i) = 9 14 (j) = 6 (k) = 3 (l) = 1 (m) = 1 (n) = 3 Se a > 0, reta ascendente Se a < 0, reta descendente Se a = 0, reta horizontal Se a@, reta vertical 1.2 (página 6) (a) = + 2; (b) = ; (c) + 8; (d) = 5; (e) = 3 1; (f) = ; 1.3 (página 7) (a) sim (b) não (c) sim 1.4 (página 7) (a) não (b) sim (c) sim 1.5 (página 7) (a) (2, 0) (b) (2, 3) (c) ( 3 8, 1 8 ) 1.6 (página 7) (a) k = 4 (b) k = ±3 (c) k = (página 7) = (página 7) (a) (5, 0) (b) (0, 10) 1.9 (página 7) (a) Omitida! 1.10 (página 7) (a) Omitida! 1.11 (página 8) a = b = (página 8) f() = (página 8) f(3) = (página 8) (b) Omitida! (b) Omitida! (a) d = 450t. (b) Omitida! (c) o coeciente angular é a velocidade do avião (página 8) Omitida! Pense um pouco mais!