Geometria Analítica retas equações e inclinações, distância entre dois pontos, área de triângulo e alinhamento de 3 pontos.

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1 Geometria Analítica retas equações e inclinações, distância entre dois pontos, área de triângulo e alinhamento de pontos. 1. (Ufpr 014) A figura abaixo apresenta o gráfico da reta r: y x + = 0 no plano cartesiano. As coordenadas cartesianas do ponto P, indicado nessa figura, são: a) (,6). b) (4,). c) (8,). d) (6,). e) (,8).. (Uerj 014) No gráfico acima, estão indicados os pontos A(1,0), B(,1) e C(0,1), que são fixos, e os pontos P e Q, que se movem simultaneamente. O ponto P se desloca no segmento de reta de C até A, enquanto o ponto Q se desloca no segmento de A até B. Nesses deslocamentos, a cada instante, a abscissa de P é igual à ordenada de Q. Determine a medida da maior área que o triângulo PAQ pode assumir. Página 1 de 15

2 . (Insper 014) A figura mostra um tabuleiro de um jogo Batalha Naval, em que André representou três navios nas posições dadas pelas coordenadas B, B14 e M. Cada navio está identificado por um quadrado sombreado. André deseja instalar uma base em um quadrado do tabuleiro cujo centro fique equidistante dos centros dos três quadrados onde foram posicionados os navios. Para isso, a base deverá estar localizada no quadrado de coordenadas a) G8. b) G9. c) H8. d) H9. e) H (Insper 014) No plano cartesiano da figura, feito fora de escala, o eixo x representa uma estrada já existente, os pontos A(8, ) e B(, 6) representam duas cidades e a reta r, de inclinação 45, representa uma estrada que será construída. Para que as distâncias da cidade A e da cidade B até a nova estrada sejam iguais, o ponto C, onde a nova estrada intercepta a existente, deverá ter coordenadas 1 a), 0. b) 1, 0. c), 0. d), 0. 5 e), 0. Página de 15

3 5. (Insper 014) Considere, no plano cartesiano, o triângulo retângulo determinado pelos eixos coordenados e pela reta de equação 1x + 5y = 60. A medida do raio da circunferência inscrita nesse triângulo é igual a a) 1. b). c). d) 4. e) (Unicamp 014) No plano cartesiano, a reta de equação x y 1 intercepta os eixos coordenados nos pontos A e B. O ponto médio do segmento AB tem coordenadas 4 a) 4,. b) (, ) 4 c) 4,. d) (, ). 7. (Fuvest 014) Considere o triângulo ABC no plano cartesiano com vértices A (0, 0), B (, 4) e C (8, 0). O retângulo MNPQ tem os vértices M e N sobre o eixo das abscissas, o vértice Q sobre o lado AB e o vértice P sobre o lado BC. Dentre todos os retângulos construídos desse modo, o que tem área máxima é aquele em que o ponto P é 16 a) 4, 5 17 b), 4 1 c) 5, 5 11 d), 8 e) 6, 5 8. (Pucrj 01) Se os pontos A = ( 1, 0), B = (1, 0) e C = (x, y) são vértices de um triângulo equilátero, então a distância entre A e C é a) 1 b) c) 4 d) e) Página de 15

4 9. (Ufrgs 01) Considere os gráficos das funções f e g, definidas por f x x x e gx 6 x, representadas no mesmo sistema de coordenadas cartesianas, e os pontos A e B, interseção dos gráficos das funções f e g, como na figura abaixo. A distância entre os pontos A e B é a). b). c) 4. d) 5. e) (Uepb 01) A reta de equação (x )m (m ) y m 4 0, com m constante real, passa pelo ponto P(,0). Então, seu coeficiente angular é: a) 4 b) 4 c) 1 4 d) 1 4 e) (Mackenzie 01) As raízes reais da equação x 1 0, dispostas em ordem crescente, formam, respectivamente, os coeficientes a e b da reta r : ax by 1 0. A equação da reta s, perpendicular à r e que passa pelo ponto P(1,), será a) x y 0 b) x y 1 0 c) x y 0 d) x y 1 0 e) x y 0 1. (Uem 01) Sobre a reta r de equação x y 5 0, assinale o que for correto. 01) O ponto, 5 pertence a r. 0) Se (x, y) pertence a r, então x e y não podem ser ambos racionais. 04) O menor ângulo que a reta r faz com o eixo das abscissas é superior a ) A reta de equação 6x y 5 0 é paralela à reta r. 5 16) A reta r intercepta o eixo das ordenadas no ponto 0,. Página 4 de 15

5 1. (Espm 01) Seja A = (4, ) um ponto do plano cartesiano e sejam B e C os simétricos de A em relação aos eixos coordenados. A equação da reta que passa por A e é perpendicular à reta que passa por B e C é: a) x y = 6 b) x y = 0 c) x y = d) x + y = 8 e) x + y = (G1 - cftrj 01) No plano cartesiano abaixo, a reta r passa pela origem e forma um ângulo θ com o eixo x. Escolhendo um ponto P (a, b) qualquer da reta r, e considerando θ 40, podemos afirmar que: a) Se P pertence ao 1º quadrante, então a = b. b) Se P pertence ao º quadrante, então a < b. c) a = b independente de qual quadrante estiver P. d) Se P pertence ao º quadrante, então a > b. 15. (Fgv 01) Em um paralelogramo, as coordenadas de três vértices consecutivos são, respectivamente, (1, 4), (, 6) e (0, 8). A soma das coordenadas do quarto vértice é: a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) (Unioeste 01) Dado o ponto A(, 4), determine as coordenadas de dois pontos P e Q, situados, respectivamente, sobre as retas y x e y x, de tal modo que A seja o ponto médio do segmento PQ. a) P(1,) e Q( 5,5). b) P(,6) e Q(4, 4). c) P(0,0) e Q( 5,5). d) P(1,) e Q(4, 4). e) P(,6) e Q(0,0). 17. (Ufrgs 01) Os pontos A(1, ), B(6, ) e C são os vértices de um triângulo equilátero, sendo o segmento AB a base deste. O seno do ângulo formado pela o eixo das abscissas e a reta suporte do lado BC no sentido anti-horário é a) 1. b). c) 1. d). e). 18. (Fgv 01) No plano cartesiano, M(, ), N(7, ) e P(4, 0) são os pontos médios respectivamente dos lados AB, BC, e AC de um triângulo ABC. A abscissa do vértice C é: a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 0 Página 5 de 15

6 19. (Ita 01) Sejam A = (0, 0), B = (0, 6) e C = (4, ) vértices de um triângulo. A distância do baricentro deste triângulo ao vértice A, em unidades de distância, é igual a a) 5 b) c) d) e) (Enem 011) Um bairro de uma cidade foi planejado em uma região plana, com ruas paralelas e perpendiculares, delimitando quadras de mesmo tamanho. No plano de coordenadas cartesianas seguinte, esse bairro localiza-se no segundo quadrante, e as distâncias nos eixos são dadas em quilômetros. A reta de equação y x 4 representa o planejamento do percurso da linha do metrô subterrâneo que atravessará o bairro e outras regiões da cidade. No ponto P ( 5,5), localizase um hospital público. A comunidade solicitou ao comitê de planejamento que fosse prevista uma estação do metrô de modo que sua distância ao hospital, medida em linha reta, não fosse maior que 5 km. Atendendo ao pedido da comunidade, o comitê argumentou corretamente que isso seja automaticamente satisfeito, pois já estava prevista a construção de uma estação no ponto a) ( 5,0). b) (,1). c) (,1). d) (0,4). e) (,6). Página 6 de 15

7 Gabarito: Resposta da questão 1: [C] O ponto P possui coordenadas (x, ), logo: x 0 x 8 P 8,. Resposta da questão : Equação da reta AC: y = -x + 1 Equação da reta AQ: y = x 1 P(a, a-1) e Q(a+1, a) Cálculo da área do triângulo APQ: A a 1 a 1 a a a 1 a 1 Como 0 < a < 1, temos: A a a Valor da Área máxima: Δ 1 1 A máx. 4 a 4 ( 1) 4 Resposta da questão : [A] Adotando, convenientemente, um sistema de coordenadas cartesianas, com origem no vértice inferior esquerdo do quadrado O1, tem-se B (1,5; 1,5), B14 (1,5;1,5) e M (,5;,5). Queremos determinar o circuncentro do triângulo BB14M. A mediatriz do segmento BB14 é a reta 1,5 1,5 x x 7,5. A reta BM tem coeficiente angular igual a 1,5, ,5,5 O ponto médio do segmento BM é,5 1,5,5 1,5, (, 8). Logo, a equação da mediatriz do segmento BM é dada por y 8 (x ) y x Daí, a ordenada do circuncentro é Página 7 de 15

8 1 86 9,5 y 7,5 8, Portanto, como o ponto (7,5; 8,5) corresponde ao centro do quadrado G8, segue-se o resultado. Resposta da questão 4: [C] Seja M o ponto médio do segmento de reta AB. Se da, r db, r d, então M pertence à reta r. Logo, M,, 4 e, portanto, a equação de r é 11 y 4 tg45 x y x. Em consequência, tomando y 0, segue-se que Resposta da questão 5: [B] C, 0. Fazendo y 0 na equação 1x 5y 60, obtemos o ponto A (5, 0), que é o ponto de interseção da reta com o eixo das abscissas. Tomando x 0, encontramos o ponto B (0,1), que é o ponto de interseção da reta com o eixo das ordenadas. Desse modo, sendo O a origem do sistema de eixos cartesianos, queremos calcular o raio r da circunferência inscrita no triângulo AOB. Pelo Teorema de Pitágoras, encontramos AB 1. Logo, temos OA OB OA OB AB r 5 1 (5 1 1) r r. Página 8 de 15

9 Resposta da questão 6: [D] A equação segmentária da reta AB é x y x y Desse modo, como A (6, 0) e B (0, 4), segue-se que o ponto médio do segmento AB tem coordenadas ( 4), (, ). Resposta da questão 7: [D] Considere a figura. A equação da reta AB é dada por yb 4 y x y x. xb Logo, tem-se y Q,y 4 e y M,0, 4 com 0 y 4. Além disso, a equação da reta BC é yb yc 4 0 y y C (x x C) y 0 (x 8) xb xc 8 4 y x. 5 5 Daí, 5y P, y 4 e 5y N, 0, 4 com 0 y 4. A área do retângulo MNPQ é dada por Página 9 de 15

10 (MNPQ) MNPN 5y y (y 0) 4 4 y 8y [(y ) 4)] 8 (y ). Portanto, o retângulo MNPQ tem área máxima quando y, ou seja, quando Resposta da questão 8: [B] Como o triângulo ABC é equilátero, segue que 11 P,. AC AB ( 11) (0 0). Resposta da questão 9: [E] As abscissas dos pontos A e B são tais que f(x) g(x) x x 6 x x x 8 0 (x ) (x 4) 0 xa 4 e xb. Logo, ya 6 ( 4) 10 e y B 6 4. Portanto, a distância entre A e B é igual a ( 4 ) (10 4) 6. Resposta da questão 10: [B] Se a reta passa pelo ponto P, então ( ) m (m ) 0 m 4 0 m 4. Logo, a equação explícita da reta é (x ) 4 (4 ) y y 4x 8 e, portanto, seu coeficiente angular é 4. Página 10 de 15

11 Resposta da questão 11: [C] As raízes reais da equação x 4 1 = 0 são -1 e 1. Logo, a = 1 e b = 1 e a equação da reta r será: x + y + 1 = 0 y = x 1, onde m r = 1. Como a reta s, que passa por P(1,) é perpendicular à reta r, temos m a = 1 e sua equação será dada por: y = 1(x 1) x + y = 0. Resposta da questão 1: =. [01] Falsa, pois [0] Verdadeira, pois a soma de x y dever ser 5. [04] Verdadeira, pois a tangente desse ângulo é 45. 1, ( ) portanto, este ângulo é maior que [08] Falsa, pois seus coeficientes angulares são distintos. [16] Verdadeira, substituindo zero em x temos 5 y. Resposta da questão 1: [A] Temos B (4, ) e C ( 4, ). Logo, o coeficiente angular da reta que passa por B e C é ( ) A reta cuja equação queremos determinar passa por A e é perpendicular à reta que passa por B e C. Logo, sua equação é y (x 4) xy 6. Página 11 de 15

12 Resposta da questão 14: [B] Se P pertencer ao primeiro quadrante: b Como tg40 0 e tg40, temos b < a. a Se P pertencer ao terceiro quadrante: b Como tg40 0 e tg40, temos a < b, pois a e b são negativos. a Se P pertence ao º quadrante, então a < b. Resposta da questão 15: [B] M é o ponto médio das diagonais do paralelogramo da figura. Na diagonal AC, temos: xm ym 6 Logo, M(1/, 6) Página 1 de 15

13 Na diagonal BD, temos: xd 1 xd yd 6 6 yd 6 Logo, temos D(, 6) e + 6 = 9. Resposta da questão 16: [A] O ponto P pertence à reta y =x, logo P(a,.a). O ponto Q pertence à reta y = x, portanto Q(b, b). Sabendo que A é ponto médio de PQ, temos: a b a b 4 a b 4 a b 8 Resolvendo um sistema com as equações acima, encontramos a = 1 e b = 5. Portanto, P(1,) e Q( 5,5). Resposta da questão 17: [E] sen60. Página 1 de 15

14 Resposta da questão 18: [C] D é ponto médio de PN, logo: x D. D é ponto médio de CM, logo: xc 11 xc 8. Resposta da questão 19: [B] Determinando o ponto G (baricentro do triângulo ABC), temos: x G yg Logo, 4 G, Página 14 de 15

15 Calculando a distância do ponto G ao ponto A d Resposta da questão 0: [B] Os únicos pontos das opções das respostas que pertencem à reta são B (-,1), D (0,4) e E (,6); Calculando agora a distância de P a cada um deles, temos: P,B d ( 5 ( )) P,D d ( 5 0)) P,E d ( 5 )) Logo, o ponto (-,1) atende às condições do problema. Página 15 de 15