Matemática. Resolução das atividades complementares. M21 Geometria Analítica: Cônicas

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1 Resolução das atividades complementares Matemática M Geometria Analítica: Cônicas p. FGV-SP) Determine a equação da elipse de centro na origem que passa pelos pontos A, 0), B, 0) e C0, ). O centro da elipse coincide com a origem do plano cartesiano, e a equação é dada por : λ. A, 0) e B, 0) [ λ 0 a I) C0, ) [ λ 0 b II) De I) e II), vem:. PUC-MG) A equação 0 representa uma elipse, cujo comprimento do eio maior é: a) c) e) 8 b) d) Dividindo os termos da equação por, temos: Portanto, a e a 8. UNI-RIO) A área do triângulo PF F, em que P, 8) e F e F são os focos da elipse de equação, é igual a: a) 8 c) 0 e) b) d) F e são focos da elipse F e P, 8). De acordo com a equação dada, temos: a ; b. Daí, vem: c a b c c. Os focos da elipse são F, 0) e F, 0). Seja o PF F. base FF c 8 altura Área do triângulo PF F : S?

2 Vunesp-SP) Considere a elipse de equação. ) a) Mostre que o ponto P, pertence à elipse e calcule a distância de P ao eio das abscissas. b) Determine os vértices Q e R da elipse que pertencem ao eio das abscissas e calcule a área do triângulo ) PQR, em que P,. Q, 0), R, 0) e ) a) O ponto P, pertence à el ) ipse, pois A distância d do ponto P, ) ao eio das abscissas é. b) De acordo com o enunciado, a elipse de equação indicados os pontos P, Q e R:?. tem o seguinte gráfico, onde estão R C P, ) Q Os pontos Q e R, de acordo com o gráfico, têm coordenadas Q, 0) e R, 0). A área do triângulo PQR é: 0? S PQR RQ? d p. 8 A órbita da Terra é uma elipse, estando o Sol num dos focos. O eio maior mede, aproimadamente,? 0 8 km e a ecentricidade é. Calcule a maior e a menor distância da Terra ao Sol. 0,? 0 8 km e,? 0 8 km Eio maior:? 0 km a? 0 8 a,? 0 e e c c 8 0 a 0,? 0 c,? A,? 0 ; 0) A,? 0 ; 0),? 0 ; 0) F F,? 0 ; 0) Supondo que o Sol esteja em F, vamos calcular A, F e A, F. 8 8 da, F ),? 0,? 0 ),? 0 km 8 8 da, F ),? 0,? 0 ),? 0 km

3 UFJF-MG) Determine os valores de u [ [0, p] para os quais o ponto P de coordenadas? cos u,? sen u) pertença à elipse de equação. 0, p, p, p { } Substituindo as coordenadas na equação dada, temos:? cos u)? sen u)? u? u cos sen cos? u? sen u cos u sen u)? sen u? sen u)? sen u? sen u sen u 0 sen u? sen u ) 0 Daí: sen u 0 sen u 0 u 0 rad ou u p rad? sen u 0 sen u sen u u p p rad ou u rad sen u u [0, p] Portanto, os valores de u são: 0, p, p e p. Fuvest-SP) A elipse e a reta, do plano cartesiano, se interceptam nos pontos A e B. Pode-se, pois, afirmar que o ponto médio do segmento AB é: a), c), e), ) ) ) b), ) d) ), Os pontos de intersecção da elipse e da reta são obtidos resolvendo-se o sistema formado pelas suas equações. Assim, devemos ter: Então, 8 0 )., ou seja, 8 0. ). ). Se, então?. Se, então? ) ) ) Assim, temos: A, e B, O ponto médio de AB é,.

4 Em questões como a 8, a resposta é dada pela soma dos números que identificam as alternativas corretas. 8 UFMS) Sejam a, b e c números reais tais que a 0 e b 0. Com relação à equação c e sua representação geométrica num sistema cartesiano ortogonal de eios XOY, é correto afirmar que: 0) se a b, então a equação dada é a equação de uma circunferência para qualquer valor não-nulo de c. 0) se a b e c 0, então a equação dada é a equação de uma elipse. 0) se c 0, então a equação dada é a equação de uma parábola. 08) se a equação dada for a equação de uma circunferência, então o centro desta será sempre o ponto 0, 0) do sistema XOY. ) é possível, dependendo dos valores de a, b e c, que a equação dada seja a equação de uma hipérbole. ) se a equação dada for a equação de uma elipse, é possível que essa elipse tenha centro no ponto a, b) do sistema XOY. 8 0) Correta. a b c a c a a Considerando a c r, temos a equacão de uma circunferência: r. 0) Correta. a b e c 0 c, que é uma equação do tipo a c b c p Supondo a b, temos uma elipse., com p q. q 0) Falsa. c 0 0 b a 0 Como a 0 e b 0, a equação fica satisfeita apenas para 0 e 0, ou seja, representa o ponto O0, 0). 08) Correta. Se a b, temos r, que é a equação de uma circunferência com centro em O0, 0). ) Falsa. Não é possível. a 0, b 0 e c 0 ponto O0, 0) a 0, b 0 e c 0 elipse ) Falsa. a) Não é possível, pois a equação não é do tipo p São corretas as afirma tivas, e 8, somando. b) q, já que a 0 e b 0.

5 MACK-SP) Os pontos do plano que satisfazem a equação representam: a) uma parábola c) um par de retas e) uma hipérbole b) uma elipse d) uma circunferência elipse) ) ) 0 Numa hipérbole, a ecentricidade é e e os vértices são A, 0) e A, 0). Determine as coordenadas dos focos da hipérbole. F, 0 e F, 0 ) ) A, 0) a. E como A, 0) e c, temos: c a c. Como o eio real está contido no eio e a origem da hipérbole é 0, 0), as coordenadas dos focos são ) ). F, 0 e F, 0 Fesp-UPE) Em relação à hipérbole de equação, assinale a alternativa falsa: a) seu eio real mede d) sua ecentricidade é b) seu eio imaginário mede e) suas assíntotas são 0 c) sua distância focal mede 8 hipérbole De acordo com a equação, temos: a a b b Cálculo de c: c a b c c c a) medida do eio real: A A a V) b) medida do eio imaginário: B B b V) c) distância focal: F F c 8 V) d) ecentricidade: e c e não ) F) a e) assíntotas: b a 0 V)

6 Efei-MG) Determine a área do triângulo cujos vértices estão situados sobre o vértice da parábola 8 e sobre a sua intersecção com o eio das abscissas. u.a.) No eio das abscissas, P, 0) e Q, 0) 8 8 ) ) V, ) 0 D 0 )? S D u.a.) Unicamp-SP) Sejam A e B os pontos de intersecção da parábola com a circunferência de centro na origem e raio. a) Quais as coordenadas dos pontos A e B? A, ) e B, ) b) Se P é um ponto da circunferência diferente de A e de B, calcule as medidas possíveis para o ângulo APB ^. ou A circunferência de centro na origem e raio tem equação. a) A intersecção entre a parábola de equação e a circunferência de equação é obtida pela resolução do sistema pontos A, ) e B, ). ou, que determinam os b) Seja o gráfico abaio, em que são representadas a parábola e a circunferência. P B, ) A, ) M 0 Notando que os arcos AMB e ANB medem, respectivamente, 0º e 0º, conclui-se que as medidas possíveis dos ângulos APB formados são: med AMB ) 0 med ANB ) 0 P N PUC-SP) A equação do conjunto de pontos eqüidistantes da reta e do ponto F0, ) é: a) c) e) b) d) Uma equação reduzida da parábola de foco F0, p) e diretriz p é: p. Sendo p, temos:??.

7 UFG) Uma parábola é definida como sendo o lugar geométrico dos pontos do plano que distam igualmente de uma reta r, chamada diretriz da parábola, e de um ponto F, chamado foco da parábola. Encontre a equação da parábola cuja diretriz é a reta dessa parábola. Fazendo uma ilustração inicial do enunciado, temos: r P, ) F 0 e cujo foco é o ponto, ). Faça um esboço Pela definição da parábola dada, temos: dp, F) dp, r). I) Pela figura: dp, r) II). Cálculo da distânci a de P a F: dp, F) ) ) III) Substituindo II) e III) em I): O vértice da parábola tem coordenadas: v b v ; v? v a, então, V, ). A parábola corta o eio O no ponto Q0, q): q 0? 0 Q 0, ). Esboço da parábola: V, ) PUC-MG) Os pontos A0, ) e Bm, ) pertencem a uma parábola de vértice na origem e eio. O valor de m é igual a: a) c) e) b) 0 d) 0 Equação da parábola: p Se A0, ) pertence à curva, temos: 0 p? p. Logo, a equação é 00. Como Bm, ) também pertence à parábola, vem: m 00? m 0.

8 UERJ) A superfície de uma antena parabólica pode ser gerada pela rotação completa de uma parábola ao redor do seu eio. A intersecção dessa superfície com qualquer plano perpendicular ao eio é um círculo. Observe a figura abaio: onda B C E D Considere um círculo de centro E) e diâmetro CD ) de metros de comprimento, cuja medida da distância do centro E) ao vértice A) do parabolóide é 0, metro. A a) Escreva a equação cartesiana da parábola de foco B) contida no plano CAD, sendo o vértice A) a origem do sistema cartesiano e o eio das abscissas paralelo ao diâmetro CD, como mostra a figura ao lado. 8 b) Calcule a distância do vértice A) ao foco B). m A equação da parábola é do tipo p., à parábola, então: p 8 p p a) b) da, B) p m ) [ C E A D 8 Fuvest-SP) Determine a equação de uma das retas que passa pelo ponto 0, 0) e é tangente à parábola de equação. ou Seja t uma das retas procuradas. Como 0, 0) t, temos: 0 m 0) m. t é tangente à parábola λ), então: t λ {A} m I) II) De I) e II), vem: m m 0 Como devemos ter solução única: D 0 b ac 0 m 0 m Portanto, t: ou.