Lista 5: Superfícies Engenharia Mecânica - Professora Elisandra Bär de Figueiredo

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1 Lista 5: Superfícies Engenharia Mecânica - Professora Elisandra Bär de Figueiredo Nos eercícios 1 ao 18 identique e represente geometricamente as superfícies dadas pelas equações: = 6. = 16. = 9. = = 6. = e = = 0 9. = = = = = = = 16. = = = Considere a função = f(, ). Os grácos no plano das equações f(, ) = k, sendo k um número real, são chamados curvas de nível associadas à função f. Seja f(, ) = +. Esboce e identique as curvas de nível da função f para k =, k = 1, k = 0, k = 1 e k =. 0. Determinar a equação do lugar geométrico dos pontos de R cujas soma das distâncias aos pontos A(1,, 1) e B(1,, 1) é. Identique este conjunto de pontos. 1. Encontre a equação da superfície esférica que passa pelos pontos A(0, 0, 1), B(0, 1, 0) e C(1, 0, 0) e cujo centro está no plano π : + = 0.. Determine a equação da superfície esférica que tem centro na reta r : e B(0, 7, 5). = = 1 e passa pelos pontos A(6, 1, ). Considere a superfície de equação + = k, onde k é uma constante real. Classique as superfícies obtidas quando i. k < 0 ii. k = 0 iii. k > 0 Para k = encontre e identique as interseções da superfície dada com os planos coordenados e com os planos = e =. Para k = represente geometricamente a superfície dada.. Encontre a equação do elipsóide com centro na origem, um dos vértices em (1, 0, 0) e a interseção com o plano = 1 seja a curva + 1 = Identique e represente a curva: = + = 6. Represente a superfície cônica de vértice V (0, 0, 5) e cuja diretri é a curva: 7. Represente a superfície cônica de vértice V (0, 0, ) e cuja diretri é a curva: = + = 9 + = 6 = 8. Represente geometricamente, no primeiro octante, as curvas de interseção dos seguintes cilindros e parametrie-as: + = 16 e + = 6. = e =.

2 + = e + =. 9. Determine os três cilindros projetantes das curvas de interseção das superfícies abaio e construa, no primeiro octante (quando for possível), a curva dada pela interseção de dois dos cilindros. Caso não seja possível no primeiro, escolha outro. A seguir parametrie a curva dada pelo sistema escolhido = 0 e = = 1 e =. + + = e + 1 = = 10 e + = 1. (e) + = e = +. (f) + + = 16 e + =. 0. Escreva as equações paramétricas das seguintes curvas: = + + = 16 = + + = 9 (e) = + = = = 1 + = = + 1. Determine a equação cartesiana e identique as seguintes curvas: = cos(t) = 9 sin(t) = 1 = t = 0 = e t = sec(t) = tan(t) = 0 = = t + = t. Escreva as seguintes superfícies em coordenadas cilíndricas e esféricas: 5 + = 0 + = 9 + = (e) = + = 0 (f) + + = 5. Considere as seguintes superfícies dadas em coordenadas cilíndricas por: Identique estas superfícies. S 1 : = 1 + r, S : = r 1, S : = 7 r. Represente geometricamente o sólido delimitado inferiormente por S 1, lateralmente por S e superiormente por S.. As superfícies S 1 : ϕ = π e S : ρ sin ϕ ρ cos ϕ = 1 estão em coordenadas esféricas. Obtenha as equações das superfícies S 1 e S em coordenadas cartesianas e identique-as. Obtenha as equações das superfícies S 1 e S em coordenadas cilíndricas. Determine as equações paramétricas da(s) curva(s) C = S 1 S. Esboce a(s) curva(s) C obtida(s) no item. r r As superfícies S 1 : = e S : = estão em coordenadas cilíndricas. Obtenha as equações das superfícies S 1 e S em coordenadas cartesianas e identique-as. Use a item para encontrar as equações das superfícies S 1 e S em coordenadas esféricas. Represente geometricamente o sólido delimitado inferiormente por S 1 e superiormente por S.

3 6. Represente geometricamente o sólido que satisfa as condições: 0 θ π 0 ϕ π 6 0 ρ. Respostas: 1. Cilindro elíptico com geratri o eio. Cilindro hiperbólico com geratri o eio. Cilindro parabólico com geratri o eio. Plano paralelo ao eio. 5. Cilindro circular com diretri + = e geratri o eio 6. Cilindro com diretri = e e geratri o eio 7. Esfera C(0, 0, 0) 8. Elipsóide C(0, 0, 0) 9. Cone ao longo do eio V (0, 0, 0) 10. Parabolóide circular com V (0,, 0) ao longo do eio 11. Hiperbolóide de uma folha ao longo de com C(0, 0, 0) 1. Ponto (0, 0, 0) 1. Parabolóide elíptico ao longo do eio 1. Hiperbolóide de duas folhas ao longo do eio 15. Parabolóide Hiperbólico no eio com V (0, 0, 0) 16. Meia esfera ou calota superior da esfera C(0, 0, 1) e raio Cone ao longo do eio com V (0, 0, 9) 18. Folha inferior de cone ao longo do eio com V (0, 0, 9) 19. k = e k = 1 : hipérboles com eio real ; k 0 : duas retas; k = 1 e k = : hipérboles com eio real 0. ( 1) + ( ) + (+1) = 1 elipsóide com C(1,, 1) = 1. ( + 7) + ( + ) + ( + ) = 198. i. hiperbolóide de folhas em ; ii. cone em ; iii. hiperbolóide de 1 folha em. hiperbolóide de 1 folha em = 1 5. Circunferência de raio em = 6. Equação do cone elíptico: + ( 5) = 0

4 7. Equação do cone elíptico: 8.. = cos(t) = sin(t) = sin(t) + 9 ( ) = 0 = = t = t = cos(t) = 1 + sin(t) = 1 + sin(t) 9.. C 1 : + = 10; C : = 10; C : + = 0

5 5 + = 10 + = 0 = = 0 cos(t) 0 sin(t) = 10 0 sin (t) C 1 : + = ; C : + = 8; C : = 1 C 1 : + = 1; C : + = 1; C : = ± C 1 : + = ; C : + = 7; C : + = (e) C 1 : + = ; C : + = ; C : = ou + = 10 = 10 (f) C 1 : + = ; C : + = 16; C : = 0 = t = 10 t = 0 t 0.. = = 1 cos(t) = 1 sin(t) = sin(t) = 5 cos(t) = 6 5 cos(t) (e) = cos(t) = sin(t) = sin(t) = cos(t) = sin(t) = cos(t) = cos(t) = sin(t) = cos(t) + sin(t) = 1 = 1 = e = 0 elipse no plano = 1 eponencial no plano 16 = 1 = 0 = 6+5 = hipérbole no plano parábola no plano =.. tan θ = 5 ; tan θ = 5. r + = ; ρ ( sin ϕ + cos ϕ) =. r = ; ϕ = π. r = ; ρ sin ϕ =. (e) = ; ρ cos ϕ =. (f) r + = 5; ρ = 5... S 1 : folha positiva do cone + ( + 1) = 0 ( 1); S : parte 0 do hiperbolóide de uma folha + = 1; S : 7 = 7 parabolóide no eio com concavidade voltada para baio e vértice V (0, 0, 7).. S 1 : + = 0 cone ao longo do eio com vértice na origem; S : + = 1 hiperbolóide de 1 folha ao longo do eio com centro na origem. S 1 : r = 0; S : r = 1.

6 6 = ±1 = cos(t) = sin(t) circunferências nos planos = ±1 de raio com centro em C(0, 0, ±1) S 1 : = : folha 0 do cone + = 0 com vértice na origem ao longo do eio S : = : folha 0 do hiperbolóide de duas folhas = 1 com centro na origem ao longo do eio. S 1 : ϕ = π 1 S : ρ = cos ϕ sin ϕ 6.