(b) O centro é O, os focos estão em Oy, o eixo maior mede 10, e a distância focal é 6.

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1 Ministério da Educação Universidade Tecnológica Federal do Paraná Campus Campo Mourão Wellington José Corrêa Nome: 4 ā Lista de Geometria Analítica e Álgebra Linear No que segue, todas as bases utilizadas são ortonormais, e todos os sistemas de coordenadas ortogonais referem-se a uma base ortonormal positiva fixada. 1. Nos casos em que a equação dada descreve uma elipse de focos em algum dos eixos coordenados, especifique-o e calcule: a distância focal, a medida do eixo maior e a medida do eixo menor e faça um esboço do gráfico. (a) y 2 = 676 (b) x2 4 + y2 = 0 (c) + + ( ) 2 3y = Escreva uma equação reduzida da elipse, nos casos: (a) O centro é O, os focos estão em Ox, o eixo menor mede 6, e a distância focal é 8. (b) O centro é O, os focos estão em Oy, o eixo maior mede 10, e a distância focal é 6. (c) Os focos são (0, 6) e (0, 6), e o eixo maior mede 34. (d) Os focos são (0, 5) e (0, 5), e um dos vértices é ( 13, 0). (e) Os focos são (0, 2 3) e (0, 2 3), e a amplitude focal é A nave espacial Apollo 11 foi colocada em uma órbita elíptica com altitude de perilúnio de 110 km (ponto mais próximo da superfície da Lua) e a altitude de apolúnio de 314 km (o ponto mais distante da superfície lunar). Encontre uma equação desta elipse se o raio da Lua for 1728 km e o centro da Lua em um dos focos. 1

2 4. Pela Primeira Lei de Kepler, a trajetória da Terra é elíptica e o Sol ocupa a posição de um dos seus focos. Calcule o periélio e o afélio da Terra (que são, respectivamente, a menor e a maior distância da Terra ao Sol), adotando os valores aproximados: distância focal da trajetória da Terra, 0, km; medida do eixo maior, km 5. Determine, em cada caso, os vértices, os focos, as extremidades do eixo conjugado. Faça o esboço da mesma. (a) 25 2 y = 3600 (b) 16 2 y2 x2 2 = 400 (c) 25 9 y2 2 4 = Obtenha, em cada caso, uma equação reduzida da hipérbole. (a) Os vértices são (± 2, 0) e os focos são (± 3, 0). (b) Os focos são (± 5, 0) e a amplitude focal é Determine o foco, o vértice, o parâmetro e diretriz da parábola P e faça um esboço. (a) y 2 = 4 x (b) y 2 + 8x = 0 (c) 5y 2 = 8 x (d) 5 = 8 y 8. Obtenha, em cada caso, uma equação da parábola de vértice (0, 0), conhecendo seu parâmetro p e a localização do foco. (a) p = 2/3 e o foco está no semi-eixo positivo das abscissas. (b) p = 4/3 e o foco está no semi-eixo negativo das ordenadas. 9. Identifique os gráficos das equações abaixo completando quadrado. (a) 5y 2 2x 10y 9 = 0 (b) 4 + 8y x + 16y + 20 = 0 (c) + 8x + 2y + 14 = 0 2

3 10. Os Sistemas de Navegação Hiperbólico foram desenvolvidos na Segunda Guerra Mundial como ajuda na navegação dos navios e são baseados na definição de uma hipérbole. Com esses sistemas, o navio recebe sinais sincronizados de rádio a partir de dois transmissores à grande distância com suas posições conhecidas. O receptor eletrônico do navio mede a diferença nos tempos de recepção entre os sinais e usa essa diferença para calcular a diferença 2a entre suas distâncias dos transmissores. Essa informação, coloca o navio em algum ponto da hipérbole, cujos focos estão nos transmissores e cujos pontos têm 2a como a diferença entre suas distâncias dos focos. Repetindo esse processo, a posição do navio pode ser aproximada como a intersecção de duas hipérboles. (O moderno sistema de posicionamento global GPS é baseado no mesmo princípio.) Desse modo, faça o que se pede: (a) Conforme ilustrado na figura abaixo, suponha que dois observadores estejam posicionados nos pontos F 1 (c, 0) e F 2 ( c, 0) no sistema de coordenadas xy. Suponha também que o som de uma explosão no plano xy seja ouvido pelo observador F 1 e que t, segundos depois seja ouvido pelo observador F 2. Supondo que a velocidade do som é uma constante v, mostre que a explosão ocorreu em algum lugar da hipérbole v 2 t 2 /4 y 2 c 2 (v 2 t 2 /4) = 1 y Explosão F 2 ( c,0) F 1 (c,0) x (b) Conforme ilustrado na figura a seguir, suponha que duas estações de transmissão estejam posicionadas a 100 km uma da outra nos pontos A( 50, 0) e b(50, 0) ao longo 3

4 de uma praia reta, num sistema de coordenadas xy. Suponha também que um navio esteja navegando paralelo à praia, 200 km mar adentro. Encontre a posição do navio se as estações transmitem simultaneamente um pulso, mas o pulso de B seja recebido pelo navio 100 microsegundos antes que o pulso da estação A. 11. Um espelho parabólico tem uma profundidade de 12 cm no centro e o diâmetro na face do espelho é de 32 cm. Ache a distância do vértice ao foco. 12. Esboce o gráfico das regiões abaixo: (a) z = 3 (b) 6x + 3y 4z = 12 (c) 4 + 9y 2 + z 2 = 36 (d) 4 + 9y 2 z 2 = 36 (e) = y 2 z 2 (f) x z2 25 = 4 y (g) x2 36 z2 25 = 9 y (h) 4 y 2 + 2z = 0 (i) y 2 + 4z 2 = 4 (j) z = (k) z = 1 (l) z = cos y (m) + y 2 + z 2 = 3 4

5 Respostas 1. (a) Ox; 26, 4, (b) Não se trata de elipse. (c) Oy; 10, 6, (a) (b) y2 9 = y = 1 (c) y = 1 (d) x y = 1 (e) y = y = , km e 15, km 5. (a) (± 12, 0), (± 13, 0), (0, ± 5) (c) (0, ± 4), (0, ± 4 2), (± 4, 0) (b) (± 5, 0), (± 41, 0), (0, ± 4) 6. (a) x2 4 2 y2 5 2 = 1 (b) 16 2 y2 9 2 = 1 7. (a) (1, 0), (0, 0), p = 1, r : x + 1 = 0. (b) ( 2, 0), (0, 0), p = 2, r : x 2 = 0. (c) (2/5, 0), (0, 0), p = 2/5, r : 5x + 2 = 0. (d) (0, 2/5), (0, 0), p = 2/5, r : 5y + 2 = (a) y 2 = 8/3 x (b) = 16/3 y 9. (a) (x 1)2 (y + 1) 2 = 1, 5 hipérbole (b) (x + 2) 2 + elipse (y + 1)2 1/2 = 1, (c) (x + 4) 2 + 2y = 2, parábola 10. (a) Sugestão: sejam d 1 e d 2 as distâncias do primeiro e do segundo observador respectivamente, do ponto da explosão. Então t=(tempo para o som da explosão atingir o segundo observador) (tempo para o som da explosão atingir o primeiro observador)= d 2 v d 1 v. Para as constante v e t, as diferenças das distâncias entre d 2 e d 1 é uma constante, então a explosão em algum lugar do ramo da hipérbole cujos focos são onde estão o observador. Conclua o exercício usando o fato que d 2 d 1 = 2a. (b) Use o item anterior. O navio está localizado na posição x = 93, 625 km e y = 200 km. 11. A distância é p = 16 3 cm. 5

6 12. (a) plano (b) plano (c) elipsóide (d) hiperbolóide de uma folha em z (e) cone em y (f) parabolóide em y (g) sela em y (k) (h) hiperbolóide de duas folhas em y (i) cilindro em z (l) (j) (m) esfera de raio 3. Sucesso!!! 6