Exercícios de Geometria Analítica - Prof. Ademir

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1 Exercícios de Geometria nalítica - Prof. demir Vetores 1. onsidere o triângulo, onde = (1, 1, 1), = (2, 1, 0) e = (3, 2, 3). Verifique que este triângulo é retângulo, diga qual vértice contém o ângulo reto e calcule a medida da hipotenusa. 2. Sabendo que u + v + w = 0, u = 2, v = 3, w = 4, calcule u, v + v, w + w, u. 3. No hexágono regular EF, de centro O, mostre que E+ F = 6 O. O E F 4. onsidere a figura abaixo. Escreva o vetor P como combinação linear de e. P 5. Mostre que o segmento que liga os pontos médios de dois lados de um triângulo é paralelo ao terceiro lado e tem metade do tamanho. 6. onsidere o quadrado abaixo. (a) Escreva M como combinação de e. Faça o mesmo com. (b) alcule o produto interno M,. (c) alcule cos θ. θ M l=2

2 7. onsidere o quadrado abaixo. (a) Escreva M e N como combinação de e. (b) alcule o produto interno M, N. (c) alcule cos θ. θ M N l=2 8. Encontre o vetor de norma 2, ortogonal aos vetores (2, 1, 0) e ( 1, 0, 2), cujo ângulo formado com (3, 2, 1) seja agudo. 9. alcule a área e a altura, relativa ao lado, do triângulo, onde = (1, 2, 1), = (0, 1, 1) e = (2, 0, 1). 10. onsidere um retângulo, cujo lado mede 1 e o lado mede 2. Sejam M e N os pontos médios dos lados e, respectivamente. onsidere também θ o ângulo entre os vetores M e N. (a) Represente geometricamente todos os elementos citados acima. (b) alcule o produto interno M, N. (c) alcule cos θ. 11. onsidere os pontos = (1, 0, 2) e = ( 1, 1, 0). (a) Encontre o ponto P tal que P = 2. 3 (b) Encontre o ponto médio do segmento. (c) Represente geometricamente todos os elementos envolvidos neste exercício. 12. onsidere os pontos = (m, 1, 0), = (m 1, 2m, 2) e = (1, 3, 1). (a) Para m = 2, calcule a área do triângulo. (b) etermine m de modo que o triângulo seja retângulo em. 13. ados os vetores u = (2, 1, 0) e v = (0, 2, 1), calcule as projeções w = proj v u e p = proj u w.

3 Retas e planos 14. Verifique se os pontos = (1, 2, 0), = (0, 1, 1), = ( 1, 0, 1) e = (2, 3, 1) são coplanares. 15. Obtenha as equações paramétricas da reta interseção dos planos 2x y + z 1 = 0 e 3x + 2y z + 3 = 0. iga se o ponto P = (1, 2, 3) pertence a esta reta. 16. Encontre a equação geral do plano que passa pelos pontos = (1, 2, 0), = (0, 1, 1) e = ( 1, 0, 1). 17. Encontre a equação do conjunto dos pontos equidistantes de = (1, 0, 2) e = (1, 4, 0). O que é este conjunto? 18. Encontre o ponto da reta r : y = 2 t que está mais próximo do ponto = (2, 1, 0). 19. onsidere o ponto = ( 1, 1, 2) e o plano π : 2x + y 2z 4 = 0. (a) Encontre a equação da reta que passa por e é perpendicular ao plano π. (b) etermine o ponto de interseção desta reta com o plano. (c) alcule a distância do ponto ao plano π. 20. Encontre a equação geral do plano que contém a reta r : y = 2 t e passa pelo ponto = (1, 1, 0). = (1, 2, 0) = (2, 2, 5) 21. onsidere as retas r e s, dadas por r : e s :. Verifique se = (3, 1, 3) = (1, 3, 7) elas se intersectam e, caso afirmativo, encontre o ponto de intersecção. 22. Encontre os pontos da reta r : y = 2 t que distam 2 unidades de = (2, 1, 0). = (2, 5, 2) 23. Verifique se as retas r : y = 2 t e s : se intersectam e caso = (0, 1, 0) z = 1 + 3t afirmativo obtenha o ponto de interseção. 24. reta r : y = 2 t atravessa o plano π : 2x + y 2z 4 = 0 no ponto P, sob um ângulo θ. etermine P e cos θ. 25. Obtenha o simétrico do ponto = (1, 0, 2) relativamente ao plano π : 2x + y 2z 4 = 0.

4 26. onsidere o ponto = (0, 1, 2) e o plano π : x + y 2z 4 = 0. Encontre a equação da reta que passa por e é perpendicular ao plano π. etermine o ponto de interseção desta reta com o plano. 27. etermine a distância entre o ponto = (2, 1, 0) e a reta r : y = 2 t. x = 1 + 2t 28. onsidere as retas r : y = 2 t e s : y = 2t. etermine, caso exista, o ponto z = 4t de interseção entre elas. igamos que duas partículas se movem no espaço com trajetórias dadas pelas retas r e s, sendo t o tempo. iga se estas partículas se colidem em algum momento. ônicas 29. Resolva apenas um dos ítens abaixo. (a) Uma curva é descrita em coordenadas polares pela equação r = 6 sin θ. Encontre a equação desta curva em coordenadas cartesianas e diga que curva é esta; (b) plique uma rotação de π 4 na equação x2 +y 2 +2xy + 2(x y) = 0, obtenha a equação nas novas variáveis e diga que curva ela representa. 30. Encontre a equação geral da parábola cujo foco é o ponto F = (3, 1) e a diretriz é a reta de equação x = 1. Qual é o vértice desta parábola? Faça uma representação geométrica. 31. onsidere a hipérbole de equação x2 a y2 = 1. s duas retas verticais que passam pelos 2 b 2 focos intersectam esta hipérbole em 4 pontos. Mostre que a área deste retângulo é dada por S = 4b2 c. Represente geometricamente a hipérbole e o retângulo. a 32. onsidere a hipérbole de equação x2 3 indicado. = 1, esboçada abaixo. alcule a área do triângulo

5 33. Encontre a equação da elipse com focos F 1 = (1, 1) e F 2 = (3, 1) e eixo maior medindo 4 unidades. Represente geometricamente, destacando os vértices da elipse. 34. onsidere a elipse de equação x2 8 + y2 = 1 e a parábola cujo foco coincide com um dos focos 4 da elipse e diretriz passando pelo outro foco. Encontre os pontos de interseção da elipse com a parábola. Represente geometricamente as curvas e os pontos encontrados. 35. Encontre a equação da reta que tangencia a elipse x2 4 + y2 3 = 1 no P = ( ) 1, 3 2. Represente geometricamente. x = u cos θ v sin θ 36. onsidere a curva de equação xy = 1. plique a rotação y = u sin θ + v cos θ, identifique a curva e obtenha as coordenadas dos seus focos (nos sistemas uv e xy). 37. etermine o foco, o vértice e a equação da diretriz da parábola de equação x = 2y 2 6y + 5. Represente geometricamente. 38. onsidere a hipérbole de equação x2 = 1 e a elipse cujos focos coincidem com os focos 2 da hipérbole e vértices nos pontos (3, 0) e ( 3, 0). Encontre os pontos de interseção da elipse com a hipérbole e represente geometricamente as curvas e os pontos encontrados. 39. Encontre a equação de uma reta que passa pelo ponto P = (0, 1) e que tangencia a parábola de equação x 2 = 2y. Qual é o ponto de tangência? Represente geometricamente. 40. Encontre a equação da elipse com focos F 1 = (1, 1) e F 2 = (3, 1), que tem um vértice no ponto V 1 = (0, 1). 41. onsidere a parábola de equação y 2 2y 4x + 9 = 0. etermine o vértice, foco, diretriz e faça um esboço do gráfico. Quádricas 42. onsidere o parabolóide hiperbólico (sela) de equação x2 4 y2 3 +z2 = 1. escreva (algebrica 9 e geometricamente) as interseções desta quádrica com os planos de equações: x = 0; z = 1; z = onsidere a quádrica de equação x2 3 z2 = 1. Para que valores de k esta quádrica 2 intersecta o plano de equação x = k? Que curva é a interseção?