Profª.. Deli Garcia Ollé Barreto

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1 CURVAS CÔNICAS Curvas cônicas são curvas resultantes de secções no cone reto circular. Cone reto circular é aquele cuja base é uma circunferência e a projeção do vértice sobre o plano da base é o centro da circunferência.conforme a posição do plano secante, em relação ao eixo do cone. ELIPSE Quando o plano secante é oblíquo ao eixo mas o ângulo dele com o plano da base é menor do que o ângulo entre a geratriz do cone e o plano da base a curva resultante chama-se Elipse. ELIPSE como lugar geométrico A elipse é o conjunto dos pontos do plano que satisfazem a seguinte condição: PF + PF = AA Onde AA = eixo maior P é um ponto qualquer da curva F e F são os focos BB = eixo menor FF = distância Focal O = centro da curva Obs: Esta curva é fechada e possui dois eixos de simetria os quais são chamados de eixos da elipse.

2 CÍRCULOS DIRETORES São dois os círculos diretores: 1. Círculo diretor de F Centro em F e raio= AA` 2. Círculo diretor de F Centro em F e raio= AA` CÍRCULOS PRINCIPAIS São dois os círculos principais: 1. Centro em O e raio = AO 2. Centro em O e raio = OB

3 Construção da Elipse como lugar geométrico: Para esta construção basta conhecer o eixo maior e a distância focal ou os dois eixo ou o eixo menor e a distância focal. Supondo conhecer o eixo maior e a distância focal: Sobre uma reta marcar um ponto O, centro da curva Etapa 1: Marcar sobre esta reta e a partir do ponto O a metade da distância focal e a metade do eixo maior para cada lado de O. Etapa 2: Marcar os pontos 1, 2, 3... (arbitrários) entre F e O Com centro em F e F e raio A1 traçar arcos Com os mesmos centros e raio A 1 traçar arcos que cortarão os primeiros em quatro pontos.estes quatro pontos são da curva. Repetir a operação com os mesmos centros e raios A2 e A 2 encontrando mais 4 pontos da curva... Etapa 3: Quando o número de pontos for suficiente, traçar a curva. Etapa 1 Etapa 2 Etapa 3 B B

4 HIPÉRBOLE Hipérbole como lugar geométrico Hipérbole Quando o plano secante é paralelo ou oblíquo ao eixo mas o ângulo dele com o plano da base é maior do que o ângulo entre a geratriz do cone e o plano da base. A hipérbole é o conjunto dos planos do plano que satisfazem a seguinte condição: PF - PF = AA Onde AA = eixo real P é um ponto qualquer da curva F e F são os focos BB = eixo imaginário FF = distância Focal O = centro da curva Obs: Esta curva é aberta, de dois ramos e possui dois eixos de simetria.

5 Construção da Hipérbole como lugar geométrico: Para esta a construção basta conhecer o eixo real (AA ) e a distância focal (FF ). Supondo conhecer o eixo real (AA ) e a distância focal (FF ): Etapa 1: Sobre uma reta marcar o centro da curva (ponto O); Marcar sobre esta reta e a partir do ponto O a metade da distância focal (FF ) e a metade do eixo real (AA ), determinando A, A, F e F Etapa 2: Marcar os pontos 1, 2, 3... (arbitrários) à esquerda de F ou à direita de F ; Com centro em F e F e raio A1 traçar arcos; Com os mesmos centros e raio A 1 traçar arcos que cortarão os primeiros arcos em quatro pontos. Estes quatro pontos pertencem à curva. Repetir a operação com os mesmos centros e raios A2 e A 2 encontrando mais 4 pontos da curva Etapa 3: Quando o número de pontos for suficiente, traçar a curva. Etapa 1 Etapa 2 Etapa 3

6 PARÁBOLA Parábola Quando o plano secante é obliquo ao eixo mas sua inclinação é igual ao ângulo entre a geratriz do cone e o plano da base. Parábola como lugar geométrico A parábola é o conjunto de pontos do plano que satisfazem a seguinte condição: PF = Pd Onde P é um ponto qualquer da curva F é o foco d = diretriz V = vértice A distância OF é o parâmetro da curva. O vértice da curva é, por definição, o ponto médio do parâmetro

7 Para esta construção basta conhecer o parâmetro da curva. Construção da Parábola como lugar geométrico: Supondo conhecer o parâmetro (OF). Etapa1: Sobre uma reta (eixo) traçar uma perpendicular (d) e na intersecção das duas retas marcar o ponto O. A partir do ponto O e com o valor do parâmetro, marcar o foco (F). Determinar o vértice (V), ponto médio do segmento OF Etapa 2: A partir do vértice traçar paralelas a diretriz (d) pelos pontos arbitrários 1, 2, 3... Traçar arcos com centro no foco (F) e: Raio O1, cortar a paralela que passa pelo ponto 1 Raio O2, cortar a paralela que passa pelo ponto 2 Raio O3, cortar a paralela que passa pelo ponto 3... Os pontos de intersecção dos arcos com as paralelas são os pontos da curva. Etapa 3: Após obter um número suficiente de pontos, traçar a curva. Etapa 1 Etapa 2 Etapa 3 Observe que o centro de todos os arcos é o ponto F.

8 Tangentes por um ponto da curva Tangente à elipse Tangente à hipérbole Tangente à parábola Para determinar a reta tangente à elipse, por um de seus pontos, basta traçar a bissetriz do ângulo entre um raio vetor do ponto de tangencia e o prolongamento do outro raio vetor do mesmo ponto. Esta bissetriz é a reta tangente à elipse. Para determinar a reta tangente à hipérbole, por um de seus pontos, basta traçar a bissetriz do ângulo entre os raios vetores do ponto de tangencia. Esta bissetriz é a reta tangente à hipérbole. Para determinar a reta tangente à parábola, por um de seus pontos, basta traçar a bissetriz do ângulo entre os raios vetores do ponto de tangencia. Esta bissetriz é a reta tangente à parábola.

9 Tangentes por um ponto exterior à Elipse Etapa 1 Etapa 2 Etapa 3 Seja o ponto P exterior à elipse Traçar um arco com centro no ponto P e raio PF; Traçar outro arco com centro em F e raio AA ; Marcar os pontos 1 e 2 nas intersecções dos dois arcos; Traçar a mediatriz do segmento 1F Traçar a mediatriz do segmento 2F Estas duas mediatrizes são as tangentes à elipse e passam pelo ponto P. Esta era a proposta do problema Para determinar os pontos de tangência sobre as tangentes: Unir o ponto 1 a F até cortar T1 Unir o ponto 2 a F até cortar T2

10 Tangentes por um ponto exterior à Hipérbole Etapa 1 Etapa 2 Etapa 3 Seja o ponto P exterior à hipérbole Traçar um arco com centro no ponto P e raio PF; Traçar outro arco com centro em F e raio AA ; Marcar os pontos 1 e 2 nas intersecções dos dois arcos; Traçar a mediatriz do segmento 1F Traçar a mediatriz do segmento 2F Estas duas mediatrizes são as tangentes à hipérbole e passam pelo ponto P. Para determinar os pontos de tangência sobre as tangentes: Unir o ponto 1 a F até cortar T1 Unir o ponto 2 a F até cortar T2

11 Tangentes por um ponto exterior à Parábola Etapa 1 Etapa 2 Etapa 3 Seja o ponto P exterior à parábola. Traçar um arco com centro no ponto P e raio PF; Este arco corta a reta diretriz nos pontos 1 e 2. Traçar a mediatriz do segmento 1F Traçar a mediatriz do segmento 2F Estas duas mediatrizes são as tangentes à parábola e passam pelo ponto P. Para determinar os pontos de tangência sobre as tangentes: Traçar uma paralela ao eixo pelo ponto 1 até cortar t1 no ponto de tangência T1. Traçar uma paralela ao eixo pelo ponto 2 até cortar t2 no ponto de tangência T2.

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