Geometria Analítica: Cônicas

Tamanho: px

Começar a partir da página:

Download "Geometria Analítica: Cônicas"

Malu Gil Casado
6 Há anos
Visualizações:

1 Geometria Analítica: Cônicas 1 Geometria Analítica: Cônicas 1. Parábola Definição: Considere em um plano uma reta d e um ponto F não pertencente à d. Parábola é o lugar geométrico formado pelo conjunto de todos os pontos do plano que são equidistantes do ponto F e a reta d. 1.1 Elementos Foco: é o ponto F. Diretriz: é a reta d. Eixo: é a reta que passa pelo foco e é perpendicular à diretriz. Vértice: é o ponto V de intersecção da parábola com o seu eixo. Parâmetro: é o módulo da distância entre o foco e a diretriz, ou duas vezes a distância entre o foco e o vértice. 1.2 Equação da Parábola de Vértice na Origem 1º caso: quando o eixo da parábola é o eixo dos y

2 Geometria Analítica: Cônicas 2 No caso de uma parábola em que o seu eixo é o eixo dos y, e com a concavidade voltada para cima, a sua equação reduzida é dada na forma, mas quando a parábola possui a concavidade voltada para baixo, sua equação reduzida é dada na forma. Demonstração: 2º caso: quando o eixo da parábola é o eixo dos x No caso de uma parábola em que o seu eixo é o eixo dos x e que a concavidade é voltada para a direita, sua equação reduzida é dada por, e quando a concavidade concavidade é voltada para a esquerda, sua equação é dada por. Demonstração:

3 Geometria Analítica: Cônicas 3 Exemplo 1: Determinar o foco e a equação das parábolas e Construir também seus gráficos. Exemplo 2: Determinar a equação de cada uma das parábolas, sabendo que: a vértice V(0,0) e foco F(1,0). b - vértice V(0,0) e diretriz y = 3.

4 Geometria Analítica: Cônicas 4 c vértice V(0,0), passa pelo ponto P(-2,5) e concavidade voltada para cima. 2. Elipse Definição: Sejam dois pontos e tais que e dois pontos e tais que, e que,. É chamada elipse o lugar geométrico que representa o conjunto de pontos P, tais que, a soma da distância de P ao ponto coma distância entre o mesmo ponto P com o ponto é constante e vale.

5 Geometria Analítica: Cônicas Elementos Focos: são os pontos e. Distância Focal: é a distância 2c entre os focos. Centro: é o ponto médio C do segmento. Eixo Maior: é o segmento de comprimento 2a (o segmento contém os focos e os seus extremos pertencem à elipse). Eixo Menor: é o segmento de comprimento 2b. Vértices: são os pontos,, e. Quando o eixo maior da elipse encontra-se no eixo x, sua equação reduzida é dada por, analogamente, quando o eixo maior da elipse encontra-se no eixo y, sua equação reduzida é dada por. Vale ressaltar que a relação pitagórica é verdadeira, e a abertura da elipse é determinada pela excentricidade,, onde, 0 < e < 1, pois a > c. OBS.: Sabendo-se que,. Portanto, o valor de representa o semi-eixo maior e o de o semi-eixo menor. Demonstração:

6 Geometria Analítica: Cônicas 6 Exemplo 3: Nos problemas abaixo, determinar: a) a medida dos semi-eixos; b) um esboço do gráfico; c) os focos e d) a excentricidade das elipses descritas pelas equações: 1) 2) 3)

7 Geometria Analítica: Cônicas 7 Exemplo 4: Uma elipse de centro na origem tem um foco no ponto (3,0) e a medida do eixo maior é 8. Determinar sua Equação. 3. Hipérbole Definição: Hipérbole é o lugar geométrico dos pontos P(x, y) de um plano tal que a diferença (em módulo) de suas distâncias a dois pontos fixos e é constante (2a < 2c), com = 2c.

8 Geometria Analítica: Cônicas Elementos Focos: são os pontos e. Distância Focal: é a distância 2c entre os focos. Centro: é o ponto médio C do segmento. Vértices: são os pontos e. Eixo Real ou Transverso: é o segmento de comprimento 2a. Eixo Imaginário ou Conjugado: é o segmento de comprimento 2b. O processo de dedução da equação reduzida da hipérbole é análogo ao processo de dedução da elipse, sendo na hipérbole, segundo a definição tem-se, onde, realizado-se as simplificações, conclui-se que quando o eixo focal fica sobre o eixo x, a equação reduzida da hipérbole é dada por, analogamente, quando o eixo focal está sobre o eixo y, a equação reduzida da hipérbole é dada por. Cabe ressaltar que, em uma hipérbole, a relação pitagórica é verdadeira e a excentricidade, assim como na elipse, é dada por.

9 Geometria Analítica: Cônicas 9 As assíntotas são retas das quais a hipérbole se aproxima cada vez mais à medida que os pontos se afastam dos focos. Esta aproximação é contínua e lenta de forma que a tendência da hipérbole é tangenciar suas assíntotas no infinito. Demonstração:

10 Geometria Analítica: Cônicas 10 Exemplo 5: Nos exemplos abaixo, determinar para cada uma das hipérboles a) a medida dos semi-eixos; b) um esboço do gráfico; c) os vértices; d) os focos; e) a excentricidade e f) as equações as assíntotas: 1. 2.

11 Geometria Analítica: Cônicas Lista de Exercícios 1 Estabeleça as equações reduzidas das parábolas abaixo: a ) foco F(2, 0) e diretriz d: x + 2 = 0 b ) vértice V(0, 0) e foco F(-3, 0) 2 Em cada uma das parábolas, determinar o vértice, o foco e a equação da geratriz das parábolas: a ) x² = - 12y b ) y² - x = 0 3 Determinar os vértices, os focos e a excentricidade das elipses dadas: a ) b ) 9x² + 5y² - 45 = 0 4 Determine as equações das elipses abaixo: a ) eixo maior mede 10 e focos ( 4, 0) b ) centro C(0, 0), um foco F(, 0) e um vértice A (1,0)

12 Geometria Analítica: Cônicas 12 5 Determinar os vértices, os focos e a excentricidade das hipérboles abaixo: a ) b ) x² - 2y² - 8 = 0 6 Determinar a equação das hipérboles abaixo: a ) focos F( 5, 0) e vértices V( 3, 0) b ) focos F(0, 3), e vértices V(0, 2) Referências DANTE, Luiz Roberto. : volume único. 1ª Ed. São Paulo: Ática, STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo. Geometria Analítica. Makron Books, São Paulo, 1987.

Documentos relacionados

DEFINIÇÃO. Dados dois pontos F 1 e F 2 chamamos elipse o conjunto dos pontos P do plano tais que d(p,f 1 )+d(p,f 2 )=2a. Cônicas 4

DEFINIÇÃO. Dados dois pontos F 1 e F 2 chamamos elipse o conjunto dos pontos P do plano tais que d(p,f 1 )+d(p,f 2 )=2a. Cônicas 4 CÔNICAS Cônicas ELIPSE Cônicas 3 DEFINIÇÃO Dados dois pontos F 1 e F chamamos elipse o conjunto dos pontos P do plano tais que d(p,f 1 )+d(p,f )=a. Cônicas 4 ELIPSE Cônicas Elipse é o conjunto dos pontos