APLICAÇÕES DE CÔNICAS NA ENGENHARIA

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Amadeu Prado Beppler
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1 O que você deve saber sobre APLICAÇÕES DE CÔNICAS NA ENGENHARIA As equações das curvas chamadas cônicas recebem esse nome devido à sua origem (a intersecção de um cone por um plano) e podem ser determinadas com base no conceito de lugar geométrico e no cálculo das distâncias entre pontos no plano cartesiano.

3 I. Elipse Dados dois pontos F 1 e F 2 chamamos elipse o conjunto dos pontos P do plano tais que d(p,f 1 )+d(p,f 2 )=2a.

4 I. Elipse

5 II. Elipse Equação Elipse com eixo maior na horizontal (a > b): Elipse com eixo maior na vertical (a < b): Excentricidade A razão e = (com c a). a c Conforme essa razão se aproxima de 0, o formato da elipse se assemelha a uma circunferência; à medida que e se aproxima de 1, ela se torna mais achatada.

6 II. Parábola

7 II. Parábola

8 II. Parábola Parábola é o conjunto de todos os pontos de um plano equidistantes de um ponto fixo (F) e de uma reta fixa (d) desse plano. e F V D d

9 II. Parábola

10 II. Parábola

11 II. Parábola Equação Forma geral: Pelas coordenadas do vértice: Equação reduzida concavidade para cima: concavidade para baixo: Parábola com diretriz na vertical: Todas as relações acima são válidas para uma parábola que tenha diretriz vertical, desde que troquemos as posições das variáveis x e y, x V e y V.

12 III. Hipérbole

13 III. Hipérbole Equação reduzida Eixo geral horizontal: Eixo real na vertical: Assíntotas: duas retas secantes que passam pelo seu centro e não a interceptam. Suas equações são dadas por: r 1 : bx - ay = 0 r 2 : bx + ay = 0

14 III. Hipérbole Excentricidade É a razão e = c a (com c > a). À medida que essa razão se aproxima de 1, os ramos da hipérbole se tornam mais fechados; no ponto em que e tende a infinito, seus ramos se tornam mais abertos. Observe:

obras de engenharia civil como pontes, viadutos e

15 AS CÔNICAS NA ENGENHARIA As características físicas das curvas cônicas aparecem em diversos tipos de obras de engenharia civil como pontes, viadutos e túneis como solução estrutural e/ou estética. Um exemplo teórico

16 EXEMPLOS REAIS NAS ENGENHARIAS 1- ILUMINAÇÃO PÚBLICA

17 1- ILUMINAÇÃO PÚBLICA - APLICAÇÃO

18 ILUMINAÇÃO PÚBLICA - APLICAÇÃO

2- CATEDRAL DE BRASÍLIA A construção da Catedral, projeto do arquiteto Oscar Niemeyer, teve início em 12 de agosto de 1958, em plena construção da nova capital.

19 2- CATEDRAL DE BRASÍLIA A construção da Catedral, projeto do arquiteto Oscar Niemeyer, teve início em 12 de agosto de 1958, em plena construção da nova capital. Em 1959, mesmo antes da inauguração de Brasília (1960), a sua forma estrutural (pilares de concreto armado, na forma de um hiperboloide de revolução) já estava pronta. O fechamento lateral entre os pilares só ocorreu em 1967, pouco antes de sua consagração, em 12 de outubro do mesmo ano, ocasião em que recebeu a imagem de Nossa Senhora Aparecida. De 1969 a 1970, o complexo foi concluído com o espelho d água ao redor da Catedral, o batistério e o campanário. Texto extraído do ENADE

20 2- CATEDRAL DE BRASÍLIA - APLICAÇÃO Nesse contexto, considere na figura abaixo os elementos principais da hipérbole associada aos arcos hiperbólicos da Catedral Metropolitana de Brasília.

21 2- CATEDRAL DE BRASÍLIA - APLICAÇÃO Supondo que o eixo real (ou eixo transverso) da hipérbole na figura mede 30m e que a distância focal mede 50m, determine A medida do semi-eixo imaginário A equação reduzida dessa hipérbole

22 3- ANTENA PARABÓLICA A superfície de uma antena parabólica pode ser gerada pela rotação completa de uma parábola ao redor do seu eixo. A intersecção dessa superfície com qualquer plano perpendicular ao eixo é um círculo.

23 3- ANTENA PARABÓLICA - APLICAÇÃO Observe a figura. Considere um círculo de centro e diâmetro CD de 4 metros de comprimento, cuja medida da distância do centro E ao vértice A do paraboloide é 0,5 metro. a) Escreva a equação cartesiana da parábola de foco B contida no plano CAD, sendo o vértice (A) a origem do sistema cartesiano e o eixo das abscissas paralelo ao diâmetro CD como mostra a figura. b) Calcule a distância do vértice A ao foco B.

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