Cone. MA13 - Unidade 23. Resumo elaborado por Eduardo Wagner baseado no texto: A. Caminha M. Neto. Geometria. Coleção PROFMAT

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1 Cone MA13 - Unidade 23 Resumo elaborado por Eduardo Wagner baseado no texto: A. Caminha M. Neto. Geometria. Coleção PROFMAT

2 Cone Em um plano H considere uma curva simples fechada C e seja V um ponto fora de H. Por cada ponto P de C trace a reta VP. A reunião dessas retas é uma superfície cônica de vértice V. A parte do espaço limitada pela superfície cônica e pelo plano H é o cone de base C e vértice V. A distância de V ao plano H é a altura do cone. O segmento VP é uma geratriz do cone. Cone slide 2/13

3 Teorema Toda seção paralela à base de um cone é uma figura semelhante à base. Considere um cone de base C vértice V e altura h. Um plano paralelo à base distando h de V produziu no cone uma seção C. Para cada ponto X C considere X a interseção de X com C. A função s : C C tal que S(X ) = X é uma semelhança. De fato, para quaisquer X, Y C e suas imagens X, Y C tem-se X Y XY = h h Ċone slide 3/13

4 Teorema O volume do cone é a terça parte do produto da área da base pela altura. Dado um cone com base de área A e altura h considere uma pirâmide com mesma altura e base de mesma área. Coloque os dois sólidos com as bases no mesmo plano H. Um plano paralelo a H corta os dois sólidos formando seções de áreas A 1 e A 2. Pelas propriedades do cone e da pirâmide temos A ( 1 h A = h Logo, A 1 = A 2 e os dois sólidos têm mesmo volume. O volume do cone com base de área A e altura h é V = 1 3 Ah. ) 2 = A 2 A. Cone slide 4/13

5 Cone circular reto Seja C uma circunferência contida no plano H e seja V um ponto tal que OV seja perpendicular a H. O cone de base C e vértice V é o cone circular reto. Todas as geratrizes do cone circular reto são iguais. O cone pode ser imaginado como o sólido de revolução resultado da rotação do triângulo retângulo VOP em torno da reta que contém OV. Cone slide 5/13

6 Área lateral do cone circular reto Considere um cone de raio R e geratriz g. Cortando o cone ao longo de uma geratriz podemos aplicar sua superfície lateral sobre um plano sem alterar sua área. Obtemos um setor circular de raio g que subtende um arco de comprimento 2πR. A área lateral S L do cone é igual à área desse setor. Como a área do setor circular é proporcional ao comprimento do arco correspondente temos que S L = 2πR 2πg πg 2 = πrg Cone slide 6/13

7 Tronco de cone circular de bases paralelas Um cone com base de raio R foi cortado por um plano paralelo ao plano de sua base. A seção tem raio r e a distância entre os dois planos é h. O segmento da geratriz do cone compreendido entre os dois planos paralelos é a geratriz g do tronco de cone. O volume do tronco de cone é V = πh 3 (R2 + r 2 + Rr). A área lateral do tronco de cone é S = π(r + r)g. As demonstrações estão no Apêndice 1 desta aula. Cone slide 7/13

8 Esferas inscrita e circunscrita Todo cone circular reto (cone de revolução) admite esfera inscrita e circunscrita. Cone e esfera são sólidos de revolução. Então os centros das esferas inscrita no cone e circunscrita ao cone estão no eixo comum, ou seja, a reta que contém o vértice e o centro da base. Corte o cone por um plano que contém o eixo. A seção é a figura a seguir. eixo V A O B O ponto V é o vértice do cone e o segmento AB é o diâmetro da base. O raio da esfera inscrita no cone é o raio da circunferência inscrita no triângulo VAB. O raio da esfera circunscrita ao cone é o raio da circunferência circunscrita ao triângulo VAB. Cone slide 8/13

9 Apêndice 1 a) Volume do tronco de cone de altura h com bases de raios R e r. Faça uma figura. Do cone original de altura x foi retirado um cone de altura y. Assim, x y = h. O volume do tronco de cone é a diferença entre os volumes dos cones: V = 1 3 πr2 x 1 3 πr 2 y V = 1 3 πr2 (h + y) 1 3 πr 2 y = 1 3 πr2 h πr2 y 1 3 πr 2 y V = 1 3 πr2 h π(r2 r 2 )y = 1 3 πr2 h + 1 π(r + r)(r r)y 3 Da semelhança entre os dois cones temos R x (R r)y = rh. Substituindo na fórmula do volume temos = r y = R r h, ou seja, V = 1 3 πr2 h π(r + r)rh = 1 3 πr2 h πrrh r 2 h V = πh 3 (R2 + r 2 + Rr) Cone slide 9/13

10 b) Área lateral do tronco de cone de geratriz g com bases de raios R e r. Faça uma figura. Seja x a geratriz do cone original e seja y a geratriz do cone que foi retirado. Assim, x y = g. A área lateral do tronco de cone é a diferença entre as áreas laterais dos dois cones: S L = πrx πry S L = πr(g + y) πry = πrg + πry πry S L = πrg + π(r r)y Da semelhança entre os dois cones temos R x = r y = R r g, ou seja, (R r)y = rg. Substituindo na fórmula da área temos S L = πrg + πrg = π(r + r)g Cone slide 10/13

11 Seções em superfície cônica de revolução As retas r e e (eixo) são concorrentes em V. A reta r gira em torno de e produzindo uma superfície cônica de revolução (de duas folhas). Faça uma figura. a) O plano corta todas as geratrizes de uma folha. A seção é uma elipse. Cone slide 11/13

12 b) O plano corta as duas folhas A seção é uma hipérbole. Cone slide 12/13

13 c) O plano corta uma folha e é paralelo a uma geratriz. A seção é uma parábola. Cone slide 13/13