EXERCÍCIOS RESOLVIDOS TANGÊNCIA

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "EXERCÍCIOS RESOLVIDOS TANGÊNCIA"

Transcrição

1 1 Resumo. Maria Bernadete Barison apresenta exercícios e resoluções sobre TANGÊNCIA em Desenho Geométrico. Geométrica vol.1 n.6c Desenhos construídos por: Enéias de A. Prado. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS TANGÊNCIA 1. TRAÇAR UMA RETA TANGENTE NUM PONTO DADO DA CIRCUNFERÊNCIA. PROCESSO I Seja um Ponto T na circunferência de centro O. Traçar por T e O a reta normal e depois traçar a reta perpendicular à normal passando por T que será a reta tangente. PROCESSO II Seja um ponto T na circunferência de centro O. Com centro em O1 qualquer e raio O1T trace um arco de circunferência que corte a circunferência dada em P. E com centro em T e raio TP trace um outro arco de circunferência que corte o arco anterior em P'. Ligue o ponto P ao ponto T encontrando assim a reta tangente t. 2. POR UM PONTO EXTERIOR TRAÇAR DUAS RETAS TANGENTES A UMA CIRCUNFERÊNCIA DADA. PROCESSO I (Utilizando o centro da circunferência dada) Seja a circunferência de centro O' e o ponto A exterior. Ligue o Ponto O' ao ponto A.

2 2 Encontre o Ponto Médio(M) de AO' e com centro em M e raio MA trace uma circunferência que corte a circunferência dada em C e D. Ligue o ponto A aos pontos C e D encontrando assim as duas tangentes t e t'. As tangentes t e t' passam pela hipotenusa dos triângulos retângulos ACO' e ADO' inscritos nas semi-circunferências o que explica o processo utilizado.

3 3 PROCESSO II (Não utilizando o centro da circunferência dada) Seja a circunferência dada e o ponto P exterior. Passar por P uma reta secante (s) que corte a circunferência em dois pontos A e B. Marque na reta (s) a partir de P a medida PC que é igual à medida da corda AB encontrando assim o ponto C. Com a ponta seca do compasso em C e raio CB trace um arco. Com a ponta seca do compasso em A e mesma abertura trace outro arco encontrando o ponto D. Com a ponta seca do compasse em P e abertura igual à PD trace um arco que corte a circunferência dada em T e T'.

4 4 Ligue o ponto P aos pontos T e T' encontrando assim as duas tangentes. 3. DESCREVER UMA CIRCUNFERÊNCIA QUE SEJA TANGENTE A UMA RETA DADA NUM PONTO DADO, E PASSE POR OUTRO PONTO QUALQUER DADO FORA DA RETA. Seja a semi-reta Ts dada e um ponto B exterior. Ligue o ponto B ao ponto T.

5 5 Encontre a mediatriz do segmento TB. Levante uma perpendicular (p) pelo ponto T encontrando assim o ponto O na interseção da mediatriz (m) com a perpendicular (p). Com centro do compasso em O e abertura igual à OT ou OB trace a circunferência procurada.

6 6 4. TRAÇAR RETAS TANGENTES EXTERIORES COMUNS A DUAS CIRCUNFERÊNCIAS DADAS. Sejam duas circunferências exteriores dadas de centros O e O' e raios R 1 e R 2 respectivamente. Com a ponta seca do compasso em O e abertura igual a (R 1 -R 2 ) trace uma circunferência auxiliar. Ligue os centros O e O' e trace a mediatriz (m) do segmento OO' encontrando o ponto médio M.

7 7 Com a ponta seca do compasso em M e abertura igual à MO ou MO' trace uma circunferência auxiliar. A circunferência auxiliar de centro M e raio MO corta a circunferência auxiliar de centro O nos pontos T e T'. Ligue O' a T e T' e prolongue até encontrar os pontos A (T 1 ) e B (T 2 ). Centre o compasso em T 1 e com abertura igual a TO' trace um arco que corte a circunferência de centro O' em T 1 '. Centre o compasso em T 2 e com abertura igual a T'O' trace um arco que corte a circunferência de centro O' em T 2 '. Ligue os pontos (T 1 T 1 ') e (T 2 T 2 ') encontrando as retas tangentes. Utilize o método de divisão de segmentos (Aula 1 - Exercício oito) e divida AB em oito partes iguais.

8 8 5. TRAÇAR RETAS TANGENTES INTERIORES COMUNS A DUAS CIRCUNFERÊNCIAS DADAS. Sejam duas circunferências exteriores dadas de centros O e O' e raios R 1 e R 2 respectivamente. Construa uma circunferência auxiliar com o centro em O e com o raio igual a R 1 +R 2. Ligue os centros O e O'. Trace a mediatriz de OO' encontrando o ponto médio M. Com a ponta seca do compasso em M e abertura igual à MO trace uma circunferência que corta a circunferência auxiliar em T e T'.

9 9 Ligue o centro O aos pontos T e T' para encontrar na circunferência de centro O dada, os pontos de tangência T 1 ' e T 2 '. Ligue os pontos T e T' ao centro O'. Com a ponta seca do compasso em T 1 ' e com abertura TO' trace um arco que corte a circunferência de centro O' em T 1. Com a ponta seca do compasso em T2' e com abertura T'O' trace um arco que corte a circunferência de centro O' em T2.

10 10 Ligue os pontos T 1 ' a T 1 e T 2 ' a T 2 encontrando as tangentes interiores comuns às duas circunferências dadas. 6. DADA UMA CIRCUNFERÊNCIA, UM PONTO T SOBRE ELA, E UM PONTO P EXTERIOR, DESCREVER OUTRA CIRCUNFERÊNCIA QUE SEJA TANGENTE À CIRCUNFERÊNCIA DADA NO PONTO T DADO E QUE PASSE PELO PONTO P EXTERIOR DADO. Seja o ponto T pertencente à circunferência de centro O e o ponto P exterior dados. Para encontrar a circunferência que passa por P e tangencia a circunferência dada em T, primeiramente, trace uma reta normal à circunferência dada que passe por T e O.

11 11 Em seguida, ligue o centro O ao ponto P. Trace a mediatriz do segmento OP encontrando o ponto O' na interseção da mediatriz com a reta secante. Com a ponta seca do compasso em O' e com abertura igual à O'T trace a circunferência procurada. 7. DESCREVER COM UM RAIO DADO UMA CIRCUNFERÊNCIA TANGENTE A SUAS RETAS CONCORRENTES DADAS. Sejam as retas r e s dadas concorrentes no ponto O.

12 12 A partir de qualquer ponto na reta r levantar uma perpendicular e marcar nela uma distância d igual ao valor do Raio dado encontrando o ponto R. A partir de qualquer outro ponto na reta s levantar uma perpendicular e marcar nela a mesma distância d igual ao valor do Raio dado encontrando o ponto S. Traçar por R e por S retas paralelas às retas r e s encontrando no seu cruzamento o ponto O'. Levante duas perpendiculares por O' às retas r e s encontrando os pontos T1 e T 2. Com a ponta seca do compasso em O' e abertura O' T 1 ou O'T 2 traçar a circunferência de raio R que tangencia as duas retas concorrentes

13 13 8. DESCREVER COM UM RAIO DADO UMA CIRCUNFERÊNCIA TANGENTE A DUAS OUTRAS CIRCUNFERÊNCIAS DADAS. PROCESSO I (Tangentes interiores) Sejam duas circunferências dadas de centros O' e O'' e raios R e R 2 respectivamente e uma outra circunferência cujo raio é R.

14 14 A partir de O', traçar uma reta em qualquer posição cuja medida é (R-R 1 ) e depois, outra reta a partir de O'' cuja medida é (R-R 2 ). Com a ponta seca do compasso em O' e medida (R-R 1 ) trace um arco e com a ponta seca em O'' e raio (R-R 2 ) trace outro arco.

15 15 Ligue o cruzamento desses dois arcos aos centros O' e O'' encontrando respectivamente T 2 e T 1. Com a ponta seca do compasso nos cruzamentos dos arcos e abertura igual ao raio dado R trace a circunferência procurada que tangência interiormente as duas circunferências dadas em T 2 e T 1.

16 16 Ligue o outro cruzamento dos arcos auxiliares aos centros O' e O'' encontrando assim os pontos T 3 e T 4. Com a ponta seca do compasso nos cruzamentos dos arcos e abertura igual ao raio dado R trace a outra circunferência procurada que tangencia interiormente as duas circunferências dadas em T 3 e T 4.

17 17 Temos então, as duas circunferências tangentes interiores às duas circunferências dadas. PROCESSO II (Tangentes exteriores) Sejam duas circunferências dadas de centros O' e O'' e raios R e R 2 respectivamente e uma outra circunferência cujo raio é R.

18 18 A partir de O' traçar uma reta em qualquer posição cuja medida é (R+R 1 ) e outra reta a partir de O'' cuja medida é (R+R 2 ). Com a ponta seca do compasso em O' e medida (R+R 1 ) trace um arco e com a ponta seca em O'' e raio (R+R 2 ) trace outro arco.

19 19 Ligue o cruzamento desses dois arcos aos centros O' e O'' encontrando respectivamente T 2 e T 1. Com a ponta seca do compasso nos cruzamentos dos arcos e abertura igual ao raio dado R trace a circunferência procurada que tangência exteriormente as duas circunferências dadas em T 2 e T 1.

20 20 Agora, com a ponta seca do compasso em O' e O'' e abertura R trace os arcos para o lado de cima. Ligue o outro cruzamento dos arcos auxiliares (superior) aos centros O' e O'' encontrando os pontos T 3 e T 4.

21 21 Com a ponta seca do compasso nos cruzamentos dos arcos superiores e abertura igual ao raio dado R trace a outra circunferência procurada que tangencia exteriormente as duas circunferências dadas em T 3 e T 4. Temos então, as duas circunferências tangentes exteriores às duas circunferências dadas.

22 22 PROCESSO III (Tangentes: exterior e interior) Sejam duas circunferências dadas de centros O' e O'' e raios R e R 2 respectivamente e uma outra circunferência cujo raio é R. A partir de O', traçar uma reta em qualquer posição cuja medida é (R-R+) e outra reta a partir de O'' cuja medida é (R+R 2 ).

23 23 Com a ponta seca do compasso em O' e medida (R-R 1 ) trace um arco e com a ponta seca em O'' e raio (R+R 2 ) trace outro arco. Ligue o cruzamento desses dois arcos aos centros O' e O'' encontrando respectivamente T 1 e T 2.

24 24 Com a ponta seca do compasso nos cruzamentos dos arcos e abertura igual ao raio dado R trace a circunferência procurada que tangência interiormente a circunferência de centro O' no ponto T 1 e tangência exteriormente a circunferência de centro O'' no ponto T 2. Agora coma ponta seca do compasso em O' e depois em O'' com abertura no compasso igual a (R 1 -R) e (R 2 +R) respectivamente trace do lado de cima os dois arcos que se cruzam.

25 25 Ligue a intersecção dos arcos superiores aos centros O' e O'' encontrando respectivamente os pontos T 4 e T 3. Com a ponta seca do compasso nos cruzamentos dos arcos e abertura igual ao raio dado R trace a outra circunferência procurada que tangencia interiormente a circunferências de centro O' no ponto T 4 e exteriormente a circunferência de centro O'' no ponto T 3.

26 26 9. POR DOIS PONTOS DADOS, TRAÇAR DUAS CIRCUNFERÊNCIAS TANGENTES A UMA RETA DADA. Sejam A e B os dois pontos dados por onde deverão passar duas circunferências tangentes à reta r dada. Ligue A e B e prolongue até encontrar o ponto P na intersecção com r. Encontre a média geométrica PT' entre PB e PA: trace a mediatriz de PB encontrando o ponto M.

27 27 Com a ponta seca do compasso em M e raio MB ou MP construa uma semicircunferência. Levante por A uma perpendicular encontrando o ponto T'. A medida PT' será a média geométrica entre PB e PA.

28 28 Marque a medida PT' a partir de P na reta r para a esquerda e para a direita encontrando os pontos T 1 e T 2 respectivamente. Trace a mediatriz do segmento BA que é uma corda da circunferência. Esta mediatriz será o lugar geométrico dos centros das duas circunferências procuradas. Levante uma perpendicular por T 1. Esta perpendicular será o lugar geométrico do centro de uma das circunferências procuradas. Onde esta perpendicular intersectar com a mediatriz de AB teremos o centro O 1 de uma das circunferências procuradas. Levante uma perpendicular por T 2. Esta perpendicular será o lugar geométrico do centro da outra circunferência procurada. Onde esta perpendicular intersectar com a mediatriz de AB teremos o centro O 2 da outra circunferência procurada.

29 29 Com a ponta seca do compasso em O 1 e abertura O 1 T 1 trace uma circunferência. Com a ponta seca do compasso em O2 e abertura O 2 T 2 trace a outra circunferência procurada. Veja abaixo a resposta com as duas circunferências de centros O 1 e O 2 que passam por A e B e tangenciam a reta r em T 1 e T 2 respectivamente.

30 TRAÇAR UMA CIRCUNFERÊNCIA TANGENTE A TRÊS OUTRAS CIRCUNFERÊNCIAS DADAS Sejam três circunferências dadas de centros O 1, O 2 e O 3. Trace as tangentes exteriores comum às circunferências de centros O 1 e O 2 encontrando respectivamente os pontos de tangência (T 1, T 1 ') e (T 2,T 2 '). Em seguida trace as tangentes exteriores comum às circunferências de centros O2 e O3 encontrando respectivamente os pontos de tangência (T 2 '', T 2 ''') e (T 3, T 3 '). Depois, trace as tangentes exteriores comum às circunferências de centros O 1 e O 3 encontrando respectivamente os pontos de tangência (T 1 '', T 1 ''') e (T 3 '', T 3 '''). Em seguida, trace as retas Polares (T 1,T 1 ') e (T 2,T 2 '). Ligue os centros das circunferências O 1 e O 2 e prolongue o segmento além do centro O 2 até a reta atingir a polar T 2 T 2 ' encontrando assim o segmento AB que liga uma polar à outra.

31 31 Trace a reta d 1 dishomóloga (a mediatriz do segmento AB). Ligue os centros das circunferências O 2 e O 3 e prolongue o segmento além do centro O 2 até a reta atingir a polar T 2 ''T 2 ''' encontrando assim o segmento CD que liga uma polar à outra. Trace a dishomóloga d 2 (mediatriz de CD). Ligue os centros das circunferências O 3 e O 1 e prolongue o segmento além do centro O 3 até a reta atingir a polar T 3 ''T 3 ''' encontrando assim o segmento EF que liga uma polar à outra. Trace a dishomóloga d 3 (mediatriz de EF). As três disshomólogas se encontram no ponto K.

32 32 Ligue o ponto K às interseções das polares encontrando assim os pontos T 5 T 5 ' T 5 '' (internamente) e os pontos T 6 T 6 ' T 6 '' (externamente) nas três circunferências dadas. Obtemos os pontos de tangência T 5 T 5 ' T 5 '' da circunferência tangente exterior às três circunferências dadas e os pontos T 6 T 6 ' T 6 '' da circunferência tangente interior às três circunferências dadas. Ligue os pontos T 5 T 5 ' T 5 '' construindo assim um triângulo. Depois ligue os pontos T 6 T 6 ' T 6 '' construindo um outro triângulo. Traçar as mediatrizes dos lados dos triângulos para encontrar os centros O 4 e O 5 das circunferências tangentes.

33 33 Temos então as duas circunferências tangentes (exterior e interior) às três circunferências dadas. 11. ACHAR O PONTO DE CONTATO DE UMA TANGENTE A UMA CIRCUNFERÊNCIA. Trace passando pelo centro uma reta normal (perpendicular à reta tangente dada) encontrando assim, o ponto de tangência no cruzamento das duas.

34 DADO UM PONTO SOBRE UMA CIRCUNFERÊNCIA, TRAÇAR UMA OUTRA, DE RAIO DADO, QUE LHE SEJA TANGENTE EXTERIOR. Seja o ponto A pertencente à circunferência de centro O dada. Traçar por A, a reta normal (s) que passa pelo centro da circunferência dada. Com a ponta seca do compasso em A e abertura igual ao raio dado trace uma circunferência que corte a reta normal s em P e P'. Com a ponta seca do compasso em P e abertura PA trace a circunferência tangente exterior e com a ponta seca em P' e mesma abertura trace a circunferência tangente interior.

35 CONSTRUIR UMA CIRCUNFERÊNCIA DE RAIO DADO QUE PASSE POR UM PONTO P DADO E SEJA TANGENTE A UMA RETA DADA. Seja o ponto T pertencente à reta (s) dada e o ponto T não pertencente à reta (s). Ligue o ponto P ao ponto T. Trace a mediatriz do segmento PT. Levante uma perpendicular à reta (s) pelo ponto T. Coloque a ponta seca do compasso em O e com abertura OT ou OP trace a circunferência tangente à reta (s) no ponto T.

36 DESCREVER UMA CIRCUNFERÊNCIA TANGENTE ÀS TRÊS RETAS QUE SE INTERSECTAM S, T, U. Sejam a retas (s), (t) e (u) que se intersectam nos pontos A, B e C. Traçar as bissetrizes dos ângulos internos do triângulo ABC encontrando na intersecção o ponto P. Traçar pelo ponto P, retas perpendiculares aos lados do triângulo ABC, para encontrar os pontos de tangência T 1, T 2 e T 3 e assim descobrir o valor do raio da circunferência.

37 DESCREVER CIRCUNFERÊNCIAS TANGENTES ENTRE SI E A DUAS RETAS CONCORRENTES DADAS. Sejam duas retas concorrentes no ponto O. Trace a bissetriz do ângulo AOB e marque um centro qualquer O' na bissetriz. Em seguida trace pelo ponto O, retas perpendiculares aos lados do ângulo, encontrando assim, os pontos de tangência T 1 e T 2. Depois trace a circunferência de centro O' tangente às retas nos pontos T 1 e T CIRCUNSCREVER UM TRIÂNGULO A UMA CIRCUNFERÊNCIA DADA, SABENDO-SE QUE OS PONTOS T1 E T3 DADOS PERTENCENTES À CIRCUNFERÊNCIA DADA SÃO OS PONTOS DE TANGÊNCIA DA CIRCUNFERÊNCIA COM O TRIÂNGULO. Sejam três pontos T 1, T 2 e T 3 pertencentes à circunferência dada. Ligar o centro da circunferência aos pontos T 1, T 2 e T 3 e prolongar, traçando assim, as retas normais n 1, n 2 e n 3.

38 38 Em seguida, traçar as perpendiculares a cada reta normal por cada ponto. 17. TRAÇAR UMA RETA TANGENTE A UMA CIRCUNFERÊNCIA DADA QUE SEJA PARALELA A UMA RETA DADA. Seja uma circunferência e uma reta exterior (s). Trace passando pelo centro uma reta perpendicular à reta dada (s) encontrando o ponto B. Trace uma paralela à reta dada pelo ponto B.

39 TRAÇAR UMA CIRCUNFERÊNCIA DE RAIO DADO, TANGENTE A UMA CIRCUNFERÊNCIA DADA, QUE SEJA SECANTE A UMA RETA DADA, FORMANDO UMA CORDA DE COMPRIMENTO DADO. Seja "R" o raio da circunferência dada que deve tangenciar a circunferência de centro "O" dada e também intersectar a reta "s" dada formando com ela uma corda "C" dada. Desenhe separadamente o segmento AB = corda C.

40 40 Trace a mediatriz de AB encontrando o seu ponto médio M. Em seguida, encontre o ponto C que é o centro da circunferência de raio R dado. Os lados AC e BC são iguais a R dado. Prolongue o raio da circunferência de centro O e nele, a partir da circunferência, acrescente a medida do R dado encontrando o ponto W.

41 41 Trace a circunferência de raio OW que é o Lugar Geométrico do centro da circunferência procurada. Trace uma reta paralela à reta "s" a uma distância igual a "R". Esta reta paralela é o outro Lugar Geométrico do centro da circunferência procurada. No cruzamento dos dois lugares geométricos (circunferência e paralela) teremos o centro procurado. Entretanto, a circunferência e a reta paralela se intersectam em dois pontos, então, teremos dois centros "E" e "F".

42 42 Coloque a ponta seca do compasso nos pontos E, F e trace as duas circunferências de raio R. Veja a resposta: duas circunferências de centros: E, F e raio R que tangenciam a circunferência de centro O e intersectam a reta s determinando duas cordas de comprimento C.

43 CONSTRUIR UMA CIRCUNFERÊNCIA DE RAIO DADO, QUE PASSE PELO PONTO P DADO E CORTE UMA CIRCUNFERÊNCIA DADA FORMANDO UMA CORDA DE COMPRIMENTO DADO. Seja R 2 o raio da circunferência que deve passar por P dado e cortar a circunferência de centro O1 dada formando nela uma corda de comprimento C (AB) dado.

44 44 Trace os dois diâmetros da circunferência de centro O 1 e prolongue. Marque no diâmetro horizontal o segmento A'B' igual ao valor da medida da corda AB.

45 45 Trace duas retas paralelas ao diâmetro vertical por A' e B' encontrando na circunferência os pontos G e H. Ligue os pontos G e H determinando assim a corda C na circunferência.

46 46 Com a ponta seca do compasso em G e H e abertura igual a R 2 trace dois arcos que se cruzam na reta que passa pelo diâmetro. Em seguida, coloque a ponta seca do compasso em O 1 e com abertura até o cruzamento dos arcos, trace uma circunferência. Esta circunferência será o Lugar Geométrico do centro da circunferência procurada. Coloque a ponta seca do compasso em P e com abertura igual a R 2 trace uma circunferência que será o Lugar Geométrico do centro procurado. Onde os dois lugares geométricos se cruzam teremos os pontos C e D os quais serão os centros das duas circunferências procuradas. Conclui-se que teremos duas respostas: a circunferência de centro C e raio R 2 e a circunferência de centro D e raio R 2.

47 47 Veja a resposta: duas circunferências de raio R 2 dado, que passam por P e determinam na circunferência de centro O 1 dada, as cordas A''B'' e A'''B''' iguais à corda AB dada.

48 INSCREVER NUMA CIRCUNFERÊNCIA DADA, QUATRO CIRCUNFERÊNCIAS DE MESMO RAIO E TANGENTES ENTRE SI. Seja a circunferência de centro O dada. Trace por O uma reta s. Trace por O uma reta perpendicular à reta s. Marque os pontos AC e BD nos quadrantes do círculo. Trace a bissetriz dos ângulos AB e CD encontrando os pontos T e T 2 respectivamente. Trace as tangentes à circunferência pelos pontos T e T 2. Elas determinam dois triângulos. Trace as bissetrizes dos ângulos dos triângulos. Na intersecção das bissetrizes teremos os pontos O 2 e O 3 que serão os centros de duas circunferências inscritas e tangentes à circunferência dada. Coloque a ponta seca do compasso em O 2 e com abertura igual a O2T trace uma das quatro circunferências procuradas. Em seguida, coloque a ponta seca do compasso em O 3 e com abertura igual a O3T2 trace a segunda das quatro circunferências procuradas.

49 49 Veja abaixo as duas circunferências encontradas. Repita o processo anterior agora para os pontos T 3 e T 4. Construa as bissetrizes dos outros dois triângulos e na intersecção encontre os pontos O 4 e O 5. Construa as outras duas circunferências de centros O 4 e O 5. Veja na resposta abaixo as quatro circunferências de mesmo raio, tangentes entre si, inscritas e tangentes à circunferência dada.

50 50 BIBLIOGRAFIA BRAGA, Theodoro. Desenho Linear Geométrico. São Paulo : Ícone. 13 ed. 230 p. MELLO E CUNHA, G. N. de. Curso de Desenho Geométrico e Elementar. São Paulo: Livraria Francisco Alves, 460p, RIVERA, Félix ; NEVES, Juarenze; GONÇALVES, Dinei (1986). Traçados em Desenho Geométrico. Rio Grande: editora da Furg, 389 p.

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS CIRCUNFERÊNCIA

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS CIRCUNFERÊNCIA 1 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS CIRCUNFERÊNCIA 1. RECUPERAR O CENTRO DE UMA CIRCUNFERÊNCIA DADA. Seja uma circunferência de raio 3 cm. Marque na circunferência três pontos quaisquer A, B e C. Trace as cordas AB

Leia mais

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ARCOS ARQUITETÔNICOS

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ARCOS ARQUITETÔNICOS Resumo. Maria Bernadete Barison apresenta exercícios e resoluções sobre ARCOS ARQUITETÔNICOS em Desenho Geométrico. Geométrica vol.1 n.8c. 2005. Desenhos construídos por: Enéias de A. Prado e Maria Bernadete

Leia mais

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS TRIÂNGULOS

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS TRIÂNGULOS 1 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS TRIÂNGULOS 1. CONSTRUIR UM TRIÂNGULO ESCALENO DE BASE 10 CM E ÂNGULOS ADJASCENTES À BASE DE 75 E 45. Sejam dados a base AB e os ângulos adjacentes à base. Primeiro transporte o

Leia mais

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS - RETAS

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS - RETAS 1 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS - RETAS 1. CONSTRUIR A MEDIATRIZ DE UM SEGMENTO DADO AB = 7 CM: - Utilizando a régua trace o segmento AB de medida igual a 7 cm. - Com a ponta seca do compasso no ponto A, abra

Leia mais

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS SEGMENTOS PROPORCIONAIS

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS SEGMENTOS PROPORCIONAIS 1 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS SEGMENTOS PROPORCIONAIS 1. SÃO DADOS TRÊS SEGMENTOS, a = 3 cm, b = 2 cm e c = 2,5 cm. PEDE-SE ENCONTRAR A QUARTA PROPORCIONAL ENTRE a, b e c : PROCESSO I - Consideremos os três

Leia mais

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS CURVAS CÔNICAS

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS CURVAS CÔNICAS 1 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS CURVAS CÔNICAS 1. ENCONTRAR OS FOCOS DE UMA ELIPSE SENDO DADOS O EIXO MAIOR E O MENOR. Sejam os eixos AA' e BB' dados que se intersectam no ponto O (centro da elipse). Coloque a

Leia mais

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS - ÂNGULOS

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS - ÂNGULOS 1 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS - ÂNGULOS 1. TRANSPORTAR UM ÂNGULO PARA SOBRE UMA SEMI-RETA: - Construa o ângulo BÔA qualquer e ao lado a semi-reta O'. - Abra no compasso a medida OA, coloque a ponta seca no ponto

Leia mais

DESENHO GEOMÉTRICO AULA 3T EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

DESENHO GEOMÉTRICO AULA 3T EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1 DESENHO GEOMÉTRICO AULA 3T EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1. SÃO DADOS 3 SEGMENTOS, a = 3 cm, b = 2 cm e c = 2,5 cm. PEDE-SE ENCONTRAR A QUARTA PROPORCIONAL ENTRE a, b e c : PROCESSO I - Consideremos os 3 segmentos

Leia mais

Desenho Geométrico e Concordâncias

Desenho Geométrico e Concordâncias UnB - FGA Desenho Geométrico e Concordâncias Disciplina: DIAC-1 Prof a Eneida González Valdés CONSTRUÇÕES GEOMÉTRICAS Todas as construções da geometria plana são importantes, há, entretanto algumas, que

Leia mais

DESENHO GEOMÉTRICO AULA 4T EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

DESENHO GEOMÉTRICO AULA 4T EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1 DESENHO GEOMÉTRICO AULA 4T EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1. DIVIDIR O SEGMENTO AB = 5 CM EM MÉDIA E EXTREMA RAZÃO E INDICAR O SEGMENTO ÁUREO DE AB E TAMBÉM O SEGMENTO O QUAL AB É ÁUREO. Seja o segmento AB =

Leia mais

RETAS E ARCOS Prof. Robson Naoto Shimizu

RETAS E ARCOS Prof. Robson Naoto Shimizu CONCORDÂNCIA ENTRE RETAS E ARCOS Prof. Robson Naoto Shimizu O QUE É? Concordar duas linhas, de mesma ou diferente espécie, é reuni-las de forma que nos pontos de contato se possa passar de uma para

Leia mais

Circunferência. MA092 Geometria plana e analítica. Interior e exterior. Circunferência e círculo. Francisco A. M. Gomes

Circunferência. MA092 Geometria plana e analítica. Interior e exterior. Circunferência e círculo. Francisco A. M. Gomes Circunferência MA092 Geometria plana e analítica Francisco A. M. Gomes UNICAMP - IMECC Setembro de 2016 A circunferência é o conjunto dos pontos de um plano que estão a uma mesma distância (denominada

Leia mais

I. Para concordar um arco com uma reta é necessário que o ponto de concordância e o centro do arco, estejam ambos sobre uma mesma perpendicular.

I. Para concordar um arco com uma reta é necessário que o ponto de concordância e o centro do arco, estejam ambos sobre uma mesma perpendicular. 9.CONCORDÂNCIAS T A N G E N T E S Chama-se concordância de duas linhas curvas ou de uma reta com uma curva, a ligação entre elas, executada de tal forma, que se possa passar de uma para outra, sem ângulo,

Leia mais

Desenho Técnico Página 11

Desenho Técnico Página 11 Exercício 16 Concordância Interna de Circunferências Dada uma circunferência de centro O 1 conhecido, determine a circunferência de centro O 2 de tal forma que sejam concordantes internamente. Marque o

Leia mais

Plano de Recuperação Final EF2

Plano de Recuperação Final EF2 Professor: Cíntia e Pupo Ano: 9º Objetivos: Proporcionar ao aluno a oportunidade de resgatar os conteúdos trabalhados em Desenho Geométrico, nos quais apresentou defasagens e que lhe servirão como pré-requisitos

Leia mais

1 Construções geométricas fundamentais

1 Construções geométricas fundamentais UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ Setor de Ciências Exatas Departamento de Expressão Gráfica 1 Construções geométricas fundamentais Prof ª Drª Adriana Augusta Benigno dos Santos Luz Jheniffer Chinasso de

Leia mais

Lista 5. Geometria, Coleção Profmat, SBM. Problemas selecionados da seção 4.1, pág. 147 em diante.

Lista 5. Geometria, Coleção Profmat, SBM. Problemas selecionados da seção 4.1, pág. 147 em diante. MA13 Exercícios das Unidades 8, 9 e 10 2014 Lista 5 Geometria, Coleção Profmat, SBM. Problemas selecionados da seção 4.1, pág. 147 em diante. 1) As retas r, s e t são paralelas com s entre r e t. As transversais

Leia mais

Aula 09 (material didático produzido por Paula Rigo)

Aula 09 (material didático produzido por Paula Rigo) EMBAP ESCOLA DE MÚSICA E BELAS ARTES DO PARANÁ DISCIPLINA DE DESENHO GEOMÉTRICO E GEOMETRIA DESCRITIVA Profª Eliane Dumke e-mail: eliane.dumke@gmail.com Aula 09 (material didático produzido por Paula Rigo)

Leia mais

ARCOS CAD. bhttp://www.mat.uel.br/geometrica/cad/a8amat44.dwg

ARCOS CAD.  bhttp://www.mat.uel.br/geometrica/cad/a8amat44.dwg 1 1. INTRODUÇÃO. ARCOS CAD Nesta aula você aprenderá a construir arcos arquitetônicos compostos por arcos de circunferência utilizando os princípios da tangência e concordância. Nesta aula você aplicará

Leia mais

Expressões Algébricas

Expressões Algébricas META: Resolver geometricamente problemas algébricos. AULA 11 OBJETIVOS: Introduzir a 4 a proporcional. Construir segmentos que resolvem uma equação algébrica. PRÉ-REQUISITOS O aluno deverá ter compreendido

Leia mais

Profª.. Deli Garcia Ollé Barreto

Profª.. Deli Garcia Ollé Barreto CURVAS CÔNICAS Curvas cônicas são curvas resultantes de secções no cone reto circular. Cone reto circular é aquele cuja base é uma circunferência e a projeção do vértice sobre o plano da base é o centro

Leia mais

5. Desenhos geométricos

5. Desenhos geométricos 17 Exercícios: 1. Na folha A4 impressa escreva o alfabeto com letras maiúsculas e minúsculas e a numeração de 0 a 9, com letras verticias. Faça ainda a legenda da folha 2. Na folha A4 impressa escreva

Leia mais

Lista 3. Geometria, Coleção Profmat, SBM. Problemas selecionados da seção 2.5, pág. 81 em diante.

Lista 3. Geometria, Coleção Profmat, SBM. Problemas selecionados da seção 2.5, pág. 81 em diante. MA13 Exercícios das Unidades 4 e 5 2014 Lista 3 Geometria, Coleção Profmat, SBM. Problemas selecionados da seção 2.5, pág. 81 em diante. 1) Seja ABCD um quadrilátero qualquer. Prove que os pontos médios

Leia mais

CONSTRUÇÕES GEOMÉTRICAS FUNDAMENTAIS

CONSTRUÇÕES GEOMÉTRICAS FUNDAMENTAIS UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ SETOR DE CIÊNCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE EXPRESSÃO GRÁFICA CONSTRUÇÕES GEOMÉTRICAS FUNDAMENTAIS 2 1 NOÇÕES DE GEOMETRIA PLANA 1.1 GEOMETRIA A necessidade de medir terras

Leia mais

Polígonos PROFESSOR RANILDO LOPES 11.1

Polígonos PROFESSOR RANILDO LOPES 11.1 Polígonos PROFESSOR RANILDO LOPES 11.1 Polígonos Polígono é uma figura geométrica plana e fechada formada apenas por segmentos de reta que não se cruzam no mesmo plano. Exemplos 11.1 Elementos de um polígono

Leia mais

1- Traçar uma perpendicular ao meio de um segmento AB - Método Mediatriz.

1- Traçar uma perpendicular ao meio de um segmento AB - Método Mediatriz. 1- Traçar uma perpendicular ao meio de um segmento AB - Método Mediatriz. 1º - traçar uma reta A-B 2º - ponta seca em A (abertura do compasso um pouco maior que a metade), risca em cima e risca embaixo.

Leia mais

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ESTUDO DA RETA

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ESTUDO DA RETA 1 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ESTUDO DA RETA 1. SEJA O CUBO DADO NA FIGURA ABAIXO CUJOS VÉRTICES AB PERTENCEM À LT. PERGUNTA-SE: A) QUE TIPO DE RETAS PASSA PELAS ARESTAS EF, EC, EG. B) QUE TIPO DE RETAS PASSA

Leia mais

MATEMÁTICA II LISTA DE GEOMETRIA PLANA - V

MATEMÁTICA II LISTA DE GEOMETRIA PLANA - V MATEMÁTICA II LISTA DE GEOMETRIA PLANA - V 1) (PUC/MG) Na figura, ABCD é paralelogramo, BE AD e BF CD. Se BE = 1, BF = 6 e BC = 8, então AB mede a) 1 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16 ) (CESGRANRIO) O losango ADEF

Leia mais

INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DO RIO GRANDE DO NORTE. Professor: João Carmo

INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DO RIO GRANDE DO NORTE. Professor: João Carmo INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DO RIO GRANDE DO NORTE Professor: João Carmo INTRODUÇÃO Os ângulos são formados por duas semi-retas que têm a mesma origem O. OBS.: o ângulo é denominado

Leia mais

Lugares geométricos básicos I

Lugares geométricos básicos I Lugares geométricos básicos I M13 - Unidade 5 Resumo elaborado por Eduardo Wagner baseado no texto:. Caminha M. Neto. Geometria. Coleção PROFMT Definição Lugar Geométrico da propriedade P é o conjunto

Leia mais

Polos Olímpicos de Treinamento. Aula 11. Curso de Geometria - Nível 2. Potência de ponto e eixo radical. Prof. Cícero Thiago

Polos Olímpicos de Treinamento. Aula 11. Curso de Geometria - Nível 2. Potência de ponto e eixo radical. Prof. Cícero Thiago olos Olímpicos de Treinamento Curso de Geometria - Nível 2 rof. Cícero Thiago Aula 11 otência de ponto e eixo radical 1. Definição Seja Γ uma circunferência de centro O e raio R. Seja um ponto que está

Leia mais

DESENHO GEOMÉTRICO Matemática - Unioeste Definição 1. Poligonal é uma figura formada por uma sequência de pontos (vértices)

DESENHO GEOMÉTRICO Matemática - Unioeste Definição 1. Poligonal é uma figura formada por uma sequência de pontos (vértices) DESENHO GEOMÉTRICO Matemática - Unioeste - 2010 1 Polígonos Definição 1. Poligonal é uma figura formada por uma sequência de pontos (vértices) A 1, A 2,..., A n e pelos segmentos (lados) A 1 A 2, A 2 A

Leia mais

1ª Aula. Introdução à Geometria Plana GEOMETRIA. 3- Ângulos Consecutivos: 1- Conceitos Primitivos: a) Ponto A. b) Reta c) Semi-reta

1ª Aula. Introdução à Geometria Plana GEOMETRIA. 3- Ângulos Consecutivos: 1- Conceitos Primitivos: a) Ponto A. b) Reta c) Semi-reta 1ª Aula 3- Ângulos Consecutivos: Introdução à Geometria Plana 1- Conceitos Primitivos: a) Ponto A Na figura, os ângulos AÔB e BÔC são consecutivos, portanto AÔC=AÔB+AÔC b) Reta c) Semi-reta d) Segmento

Leia mais

ATIVIDADE: METODOS DE DIVISÃO DE SEGMENTOS E DA CIRCUFERENCIA.

ATIVIDADE: METODOS DE DIVISÃO DE SEGMENTOS E DA CIRCUFERENCIA. ANEXO 7 Referente a Ação 7 5. ATIVIDADE DE PREPARAÇÃO DOS BOLSISTAS ALUNOS MINI-CURSO Construções Geométricas: Esta atividade foi desenvolvida na Universidade com o objetivo de habilitar os bolsistas em

Leia mais

CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO 1ª PARTE DEFINIÇÕES

CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO 1ª PARTE DEFINIÇÕES CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO 1ª PARTE DEFINIÇÕES CÍRCULO E CIRCUNFERÊNCIA Circunferência: é uma linha. Exemplos: argola, roda de bicicleta... Círculo: é uma superfície. Exemplos: moeda, mesa redonda... CIRCUNFERÊNCIA

Leia mais

Áreas IME (A) (B) (C) (D) 104 (E) e 2

Áreas IME (A) (B) (C) (D) 104 (E) e 2 Áreas IME 1. (IME 010) Seja ABC um triângulo de lados AB, BC e AC iguais a 6, 8, e 18, respectivamente. Considere o círculo de centro O isncrito nesse triângulo. A distância AO vale: 104 (A) 6 104 (B)

Leia mais

Prof. Luiz Carlos Moreira Santos. Questão 01)

Prof. Luiz Carlos Moreira Santos. Questão 01) Questão 01) A figura abaixo representa o perfil de uma escada cujos degraus têm todos a mesma extensão (vide figura), além de mesma altura. Se AB = m e BCA mede 0º, então a medida da extensão de cada degrau

Leia mais

MATEMÁTICA II LISTA DE GEOMETRIA PLANA - III

MATEMÁTICA II LISTA DE GEOMETRIA PLANA - III MATEMÁTICA II LISTA DE GEOMETRIA PLANA - III 0 Dois círculos de centros A e B são tangentes exteriormente e tangenciam interiormente um círculo de centro C. Se AB = cm, AC = 7 cm e BC = 3 cm, então o raio

Leia mais

2. DIVIDIR UM ÂNGULO RETO EM 3 PARTES IGUAIS

2. DIVIDIR UM ÂNGULO RETO EM 3 PARTES IGUAIS 1 DESENHO GEOMÉTRICO AULA 2T EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1. TRANSPORTAR UM ÂNGULO PARA SOBRE UMA SEMI-RETA: - Construa o ângulo BÔA qualquer e ao lado a semi-reta O'. - Abra no compasso a medida OA, coloque

Leia mais

Aula 7 Complementos. Exercício 1: Em um plano, por um ponto, existe e é única a reta perpendicular

Aula 7 Complementos. Exercício 1: Em um plano, por um ponto, existe e é única a reta perpendicular MODULO 1 - AULA 7 Aula 7 Complementos Apresentamos esta aula em forma de Exercícios Resolvidos, mas são resultados importantes que foram omitidos na primeira aula que tratou de Conceitos Básicos. Exercício

Leia mais

Conceitos básicos de Geometria:

Conceitos básicos de Geometria: Conceitos básicos de Geometria: Os conceitos de ponto, reta e plano não são definidos. Compreendemos estes conceitos a partir de um entendimento comum utilizado cotidianamente dentro e fora do ambiente

Leia mais

DESENHO BÁSICO AULA 03. Prática de traçado e desenho geométrico 14/08/2008

DESENHO BÁSICO AULA 03. Prática de traçado e desenho geométrico 14/08/2008 DESENHO BÁSICO AULA 03 Prática de traçado e desenho geométrico 14/08/2008 Polígonos inscritos e circunscritos polígono inscrito polígono circunscrito Divisão da Circunferência em n partes iguais n=2 n=4

Leia mais

MAT-230 Diurno 1ª Folha de Exercícios

MAT-230 Diurno 1ª Folha de Exercícios MAT-230 Diurno 1ª Folha de Exercícios Prof. Paulo F. Leite agosto de 2009 1 Problemas de Geometria 1. Num triângulo isósceles a mediana, a bissetriz e a altura relativas à base coincidem. 2. Sejam A e

Leia mais

ATIVIDADES COM GEOPLANO CIRCULAR

ATIVIDADES COM GEOPLANO CIRCULAR ATIVIDADES COM GEOPLANO CIRCULAR Observações. O geoplano circular utilizado tem 24 pinos no círculo. Os pinos do geoplano circular são chamados de pontos. Os pontos do círculo são enumerados de 1 até 24

Leia mais

A equação da circunferência

A equação da circunferência A UA UL LA A equação da circunferência Introdução Nas duas últimas aulas você estudou a equação da reta. Nesta aula, veremos que uma circunferência desenhada no plano cartesiano também pode ser representada

Leia mais

Axiomas de Incidência Axiomas de Ordem Axiomas de Congruência Axioma das paralelas Axiomas de Continuidade

Axiomas de Incidência Axiomas de Ordem Axiomas de Congruência Axioma das paralelas Axiomas de Continuidade 1 GEOMETRIA PLANA Atualizado em 04/08/2008 www.mat.ufmg.br/~jorge Bibliografia 1. Pogorélov, A.V. Geometria Elemental Editora Mir. 2. Dolce, Osvaldo e Nicolau, Pompeu Geometria Plana Volume 9 da Coleção

Leia mais

Plano de Recuperação Final EF2

Plano de Recuperação Final EF2 Professor: Cíntia e Pupo Ano: 9º Objetivos: Proporcionar ao aluno a oportunidade de resgatar os conteúdos trabalhados em Desenho Geométrico, nos quais apresentou defasagens e que lhe servirão como pré-requisitos

Leia mais

RETAS E CIRCUNFERÊNCIAS

RETAS E CIRCUNFERÊNCIAS RETAS E CIRCUNFERÊNCIAS Diâmetro Corda que passa pelo centro da circunferência [EF] e [GH] Raio Segmento de reta que une o centro a um ponto da circunferência [OD] [AB], [IJ], [GH], são cordas - segmentos

Leia mais

Aula 11 Polígonos Regulares

Aula 11 Polígonos Regulares MODULO 1 - AULA 11 Aula 11 Polígonos Regulares Na Aula 3, em que apresentamos os polígonos convexos, vimos que um polígono regular é um polígono convexo tal que: a) todos os lados são congruentes entre

Leia mais

Geometria Plana - Aula 08

Geometria Plana - Aula 08 Geometria Plana - Aula 08 Elaine Pimentel Universidade Federal de Minas Gerais, Departamento de Matemática Geometria Plana Especialização 2008 - p. 1 Esquema da aula Círculos, raios e cordas. Tangentes.

Leia mais

MESTRADO PROFISSIONAL EM ENSINO DA MATEMÁTICA DA PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO LIETH MARIA MAZIERO

MESTRADO PROFISSIONAL EM ENSINO DA MATEMÁTICA DA PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO LIETH MARIA MAZIERO MESTRADO PROFISSIONAL EM ENSINO DA MATEMÁTICA DA PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO LIETH MARIA MAZIERO Produto Final da Dissertação apresentada à Pontifícia Universidade Católica de São Paulo

Leia mais

SOLUÇÃO DAS ATIVIDADES COM GEOPLANO CIRCULAR

SOLUÇÃO DAS ATIVIDADES COM GEOPLANO CIRCULAR SOLUÇÃO DAS ATIVIDADES COM GEOPLANO CIRCULAR Observações. O geoplano circular utilizado tem 4 pinos no círculo. Os pinos do geoplano circular são chamados de pontos. Os pontos do círculo são enumerados

Leia mais

Posição relativa entre retas e círculos e distâncias

Posição relativa entre retas e círculos e distâncias 4 Posição relativa entre retas e círculos e distâncias Sumário 4.1 Distância de um ponto a uma reta.......... 2 4.2 Posição relativa de uma reta e um círculo no plano 4 4.3 Distância entre duas retas no

Leia mais

Curso de Traçados de Caldeiraria

Curso de Traçados de Caldeiraria Curso de Traçados de Caldeiraria 3 4 LEVANTAR UMA PERPENDICULAR NO MEIO DE UMA RETA Fig. 1 AB, reta dada. Com ponta seca em A traçar dois arcos acima e abaixo da reta. Em seguida, com ponta seca em B traçar

Leia mais

RETAS. A marca de uma ponta de lápis bem fina no papel dá a idéia do que é um ponto. Toda figura geométrica é considerada um conjunto de pontos.

RETAS. A marca de uma ponta de lápis bem fina no papel dá a idéia do que é um ponto. Toda figura geométrica é considerada um conjunto de pontos. 1 RETAS PONTO: A Geometria é a Ciência da extensão. O espaço é extenso sem interrupção e sem limite. Um lugar concebido sem extensão no espaço chama-se Ponto. O ponto não tem dimensão. A marca de uma ponta

Leia mais

AVF - MA Gabarito

AVF - MA Gabarito MESTRADO PROFISSIONAL EM MATEMÁTICA EM REDE NACIONAL AVF - MA13-016.1 - Gabarito Questão 01 [,00 pts ] Em um triângulo ABC de perímetro 9, o lado BC mede 3 e a distância entre os pés das bissetrizes interna

Leia mais

Exercícios de Matemática Geometria Analítica

Exercícios de Matemática Geometria Analítica Eercícios de Matemática Geometria Analítica. (UFRGS) Considere um sistema cartesiano ortogonal e o ponto P(. ) de intersecção das duas diagonais de um losango. Se a equação da reta que contém uma das diagonais

Leia mais

Escola Secundária/2,3 da Sé-Lamego Proposta de Resolução da Ficha de Trabalho de Matemática 23/01/2012 Circunferência e polígonos; Rotações. 9.

Escola Secundária/2,3 da Sé-Lamego Proposta de Resolução da Ficha de Trabalho de Matemática 23/01/2012 Circunferência e polígonos; Rotações. 9. Escola Secundária/,3 da Sé-Lamego Proposta de Resolução da Ficha de Trabalho de Matemática 3/01/01 Circunferência e polígonos; Rotações. 9.º Ano Nome: N.º: Turma: 1. Coloca, na figura, pela letra conveniente,

Leia mais

Unidade. Educação Artística 171. l- Limpeza e organização com os materiais são requisitos básicos nesta disciplina.

Unidade. Educação Artística 171. l- Limpeza e organização com os materiais são requisitos básicos nesta disciplina. 2 Educação Artística 171 Unidade 1 l- Limpeza e organização com os materiais são requisitos básicos nesta disciplina. ll- O lápis é o responsável direto pela boa qualidade do desenho e é classificado,

Leia mais

CM127 - Lista Mostre que os pontos médios de um triângulo isósceles formam um triângulo também isósceles.

CM127 - Lista Mostre que os pontos médios de um triângulo isósceles formam um triângulo também isósceles. CM127 - Lista 2 Congruência de Triângulos e Desigualdade Triangular 1. Faça todos os exercícios dados em aula. 2. Em um triângulo ABC a altura do vértice A é perpendicular ao lado BC e divide BC em dois

Leia mais

1. Quantos são os planos determinados por 4 pontos não coplanares?justifique.

1. Quantos são os planos determinados por 4 pontos não coplanares?justifique. Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Matemática Disciplina: Geometria euclidiana espacial (GMA010) Assunto: Paralelisno e Perpendicularismo; Distância e Ângulos no Espaço. Prof. Sato 1 a Lista

Leia mais

Seja AB = BC = CA = 4a. Sendo D o ponto de interseção da reta s com o lado AC temos, pelo teorema de Tales, AD = 3a e DC = a.

Seja AB = BC = CA = 4a. Sendo D o ponto de interseção da reta s com o lado AC temos, pelo teorema de Tales, AD = 3a e DC = a. GABARITO MA1 Geometria I - Avaliação 2-201/2 Questão 1. (pontuação: 2) As retas r, s e t são paralelas, como mostra a figura abaixo. A distância entre r e s é igual a e a distância entre s e t é igual

Leia mais

1 Processos Aproximativos

1 Processos Aproximativos Desenho Geométrico Professora: Sandra Maria Tieppo 1 Processos Aproximativos Um processo é chamado aproximativo quando existe nele um erro teórico. Muitas vezes tais processos podem ser convenientes haja

Leia mais

Desenho Geométrico. Desenho Geométrico. Desenho Geométrico. Desenho Geometrico

Desenho Geométrico. Desenho Geométrico. Desenho Geométrico. Desenho Geometrico UNIVERSIDADE ESTADUAL VALE DO ACARAÚ- UVA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Desenho Geométrico Desenho Geométrico Desenho Geométrico Desenho Geometrico Daniel Caetano de Figueiredo Daniel Caetano de Figueiredo

Leia mais

I - INTRODUÇÃO 1. POSTULADOS DO DESENHO GEOMÉTRICO

I - INTRODUÇÃO 1. POSTULADOS DO DESENHO GEOMÉTRICO MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ SETOR DE CIÊNCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE EXPRESSÃO GRÁFICA Professora Deise Maria Bertholdi Costa Disciplina CD046 Expressão Gráfica I Curso Engenharia

Leia mais

APOSTILA I DAC CRIADO POR DÉBORA M. BUENO FRANCO PROFESSORA DE DESENHO ASSISTIDO POR COMPUTADOR FACULDADE EDUCACIONAL DE ARAUCÁRIA - FACEAR

APOSTILA I DAC CRIADO POR DÉBORA M. BUENO FRANCO PROFESSORA DE DESENHO ASSISTIDO POR COMPUTADOR FACULDADE EDUCACIONAL DE ARAUCÁRIA - FACEAR APOSTILA I DAC Alunos O material aqui disponibilizado deve ser entendido como material de apoio às aulas de Desenho Assistido por Computador, não substituindo de qualquer forma o conteúdo da disciplina

Leia mais

LINHAS PROPORCIONAIS Geometria Plana. PROF. HERCULES SARTI Mestre

LINHAS PROPORCIONAIS Geometria Plana. PROF. HERCULES SARTI Mestre LINHAS PROPORCIONAIS Geometria Plana PROF. HERCULES SARTI Mestre Exemplo 4: apostila Determine o perímetro do quadrilátero ABCD, circunscritível, da figura. Resolução: Exemplo 4: apostila Determine o perímetro

Leia mais

DESENHO TÉCNICO ( AULA 02)

DESENHO TÉCNICO ( AULA 02) DESENHO TÉCNICO ( AULA 02) Posições da reta e do plano no espaço A geometria, ramo da Matemática que estuda as figuras geométricas, preocupa-se também com a posição que os objetos ocupam no espaço. A reta

Leia mais

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS MALHAS PLANAS

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS MALHAS PLANAS 1 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS MALHAS PLANAS 1. CONSTRUIR UMA MALHA REGULAR QUADRADA COM CINCO LINHAS E CINCO COLUNAS SENDO DADO O LADO AB DO QUADRADO. Seja o segmento AB igual ao lado do quadrado. Construa um

Leia mais

PREPARATÓRIO PROFMAT/ AULA 8 Geometria

PREPARATÓRIO PROFMAT/ AULA 8 Geometria PREPARATÓRIO PROFMAT/ AULA 8 Geometria QUESTÕES DISCURSIVAS Questão 1. (PROFMAT-2012) As figuras a seguir mostram duas circunferências distintas, com centros C 1 e C 2 que se intersectam nos pontos A e

Leia mais

Escola Básica de Ribeirão (Sede) ANO LETIVO 2011/2012 Ficha de Trabalho Abril 2012 Nome: N.º: Turma: Compilação de Exercícios de Exames Nacionais (EN) e de Testes Intermédios (TI) Tema: Circunferência

Leia mais

TEOREMA DE CEVA E MENELAUS. Teorema 1 (Teorema de Ceva). Sejam AD, BE e CF três cevianas do triângulo ABC, conforme a figura abaixo.

TEOREMA DE CEVA E MENELAUS. Teorema 1 (Teorema de Ceva). Sejam AD, BE e CF três cevianas do triângulo ABC, conforme a figura abaixo. TEOREMA DE CEVA E MENELAUS Definição 1. A ceviana de um triângulo é qualquer segmento de reta que une um dos vértices do triângulo a um ponto pertencente à reta suporte do lado oposto a este vértice. Teorema

Leia mais

INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DO RIO GRANDE DO NORTE. Professor: João Carmo

INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DO RIO GRANDE DO NORTE. Professor: João Carmo INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DO RIO GRANDE DO NORTE Professor: João Carmo INTRODUÇÃO Circunferência é uma linha curva, plana, fechada e que tem todos os pontos que a constitui, equidistantes

Leia mais

Quadrilátero convexo

Quadrilátero convexo EMBAP ESCOLA DE MÚSICA E BELAS ARTES DO PARANÁ DISCIPLINA DE DESENHO GEOMÉTRICO E GEOMETRIA DESCRITIVA Profª Eliane Dumke e-mail: eliane.dumke@gmail.com Aula 10 (material didático produzido por Paula Rigo)

Leia mais

Geometria Plana. Exterior do ângulo Ô:

Geometria Plana. Exterior do ângulo Ô: Geometria Plana Ângulo é a união de duas semiretas de mesma origem, não sendo colineares. Interior do ângulo Ô: Exterior do ângulo Ô: Dois ângulos são consecutivos se, e somente se, apresentarem um lado

Leia mais

Basta duplicar o apótema dado e utilizar o problema 1 (pág.: 45).

Basta duplicar o apótema dado e utilizar o problema 1 (pág.: 45). Aula 12 Exercício 1: Basta duplicar o apótema dado e utilizar o problema 1 (pág.: 45). Exercício 2: Traçar a diagonal AB, traçar a mediatriz de AB achando M (ponto médio de AB). Com centro em AB M e raio

Leia mais

02 Do ponto P exterior a uma circunferência tiramos uma secante que corta a

02 Do ponto P exterior a uma circunferência tiramos uma secante que corta a 01 Em um triângulo AB AC 5 cm e BC cm. Tomando-se sobre AB e AC os pontos D e E, respectivamente, de maneira que DE seja paralela a BC e que o quadrilátero BCED seja circunscritível a um círculo, a distância

Leia mais

PROFESSOR FLABER 2ª SÉRIE Circunferência

PROFESSOR FLABER 2ª SÉRIE Circunferência PROFESSOR FLABER ª SÉRIE Circunferência 01. (Fuvest SP) A reta s passa pelo ponto (0,3) e é perpendicular à reta AB onde A=(0,0) e B é o centro da circunferência x + y - x - 4y = 0. Então a equação de

Leia mais

Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia Rio Grande do Sul Campus Rio Grande CAPÍTULO 4 GEOMETRIA ANALÍTICA

Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia Rio Grande do Sul Campus Rio Grande CAPÍTULO 4 GEOMETRIA ANALÍTICA Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia Rio Grande do Sul Campus Rio Grande CAPÍTULO 4 GEOMETRIA ANALÍTICA 4. Geometria Analítica 4.1. Introdução Geometria Analítica é a parte da Matemática,

Leia mais

Propriedades do ortocentro

Propriedades do ortocentro Programa límpico de Treinamento Curso de Geometria - Nível 3 Prof. Rodrigo ula 4 Propriedades do ortocentro ortocentro é o ponto de encontro das três alturas de um triângulo arbitrário. Se o triângulo

Leia mais

GABARITO DA BATERÍA DE EXERCÍCIOS DE DESENHO GEOMÉTRICO - 7o ANO

GABARITO DA BATERÍA DE EXERCÍCIOS DE DESENHO GEOMÉTRICO - 7o ANO Escola de Educação Infantilr Ensino Fundamental e Médio General Osório. Campo Grande - M S, d e de 2017. Professora: Roberta Olarte Martins ANO. Aluno (a ): n. NOTA GABARITO DA BATERÍA DE EXERCÍCIOS DE

Leia mais

SAGRADO REDE DE EDUCAÇÃO PROFESSORA :MÁRCIA CONTE 3º ANO ENSINO MÉDIO 2012

SAGRADO REDE DE EDUCAÇÃO PROFESSORA :MÁRCIA CONTE 3º ANO ENSINO MÉDIO 2012 SAGRADO REDE DE EDUCAÇÃO PROFESSORA :MÁRCIA CONTE 3º ANO ENSINO MÉDIO 2012 -POLÍGONOS REGULARES -APÓTEMAS DE BASES REGULARES -PONTOS NOTÁVEIS NO TRIÂNGULO -COMPRIMENTO DA CIRCUNFERÊNCIA -ÁREA DO CÍRCULO

Leia mais

Módulo de Semelhança de Triângulos e Teorema de Tales. Semelhanças entre Figuras e Poĺıgonos. 8 o ano/9 a série E.F.

Módulo de Semelhança de Triângulos e Teorema de Tales. Semelhanças entre Figuras e Poĺıgonos. 8 o ano/9 a série E.F. Módulo de Semelhança de Triângulos e Teorema de Tales Semelhanças entre Figuras e Poĺıgonos. 8 o ano/9 a série E.F. Semelhança de Triângulos e Teorema de Tales Semelhanças entre Figuras e Polígonos. 1

Leia mais

Construções Fundamentais. r P r

Construções Fundamentais. r P r 1 Construções Fundamentais 1. De um ponto traçar a reta paralela à reta dada. + r 2. De um ponto traçar a perpendicular à reta r, sabendo que o ponto é exterior a essa reta; e de um ponto P traçar a perpendicular

Leia mais

1 POTÊNCIA DE PONTO 2 CIRCUNFERÊNCIAS TANGENTES. 1.1 Potência de ponto interior. 1.2 Potência de ponto exterior

1 POTÊNCIA DE PONTO 2 CIRCUNFERÊNCIAS TANGENTES. 1.1 Potência de ponto interior. 1.2 Potência de ponto exterior Matemática 2 Pedro Paulo GEOMETRIA PLANA XV 1 POTÊNCIA DE PONTO Sejam um ponto interior ou exterior a uma circunferência e uma reta que passa por e corta a circunferência nos pontos e. A potência do ponto

Leia mais

MATEMÁTICA A - 11.º Ano TRIGONOMETRIA

MATEMÁTICA A - 11.º Ano TRIGONOMETRIA MATEMÁTICA A - 11.º Ano TRIGONOMETRIA NOME: N.º 1. Na figura ao lado [ABCD] é um quadrado de lado 5 cm. O é o ponto de interseção das diagonais. Calcula: 1.1. AB BC 1.2. AB DC 1.3. AB BD 1.4. AO DC 2.

Leia mais

Construções Elementares

Construções Elementares META: Introduzir as principais construções elementares. AULA 10 OBJETIVOS: Introduzir as construções elementares. Resolver problemas práticos. PRÉ-REQUISITOS Para um melhor aproveitamento o aluno deverá

Leia mais

6.1 equações canônicas de círculos e esferas

6.1 equações canônicas de círculos e esferas 6 C Í R C U LO S E E S F E R A S 6.1 equações canônicas de círculos e esferas Um círculo é o conjunto de pontos no plano que estão a uma certa distância r de um ponto dado (a, b). Desta forma temos que

Leia mais

CONSTRUÇÕES GEOMÉTRICAS

CONSTRUÇÕES GEOMÉTRICAS CONSTRUÇÕES GEOMÉTRICAS 2014 ROF. CRISTIANO ARBEX INTRODUÇÃO Este material tem o objetivo de mostrar as principais construções geométricas utilizadas em Desenho Técnico. ara cada definição apresentada

Leia mais

Plano cartesiano, Retas e. Alex Oliveira. Circunferência

Plano cartesiano, Retas e. Alex Oliveira. Circunferência Plano cartesiano, Retas e Alex Oliveira Circunferência Sistema cartesiano ortogonal O sistema cartesiano ortogonal é formado por dois eixos ortogonais(eixo x e eixo y). A intersecção dos eixos x e y é

Leia mais

uma da outra. Observação: Nestas duas questões as medidas dos raios das circunferências e dos arcos são arbitrárias.

uma da outra. Observação: Nestas duas questões as medidas dos raios das circunferências e dos arcos são arbitrárias. Questões de concordância 1 au 1996. Traçar três circunferências de raios diferentes, tangentes entre si. 2 au 1996. Concordar dois arcos, concordados entre si, com duas paralelas afastadas 7 centímetros,

Leia mais

RETA E CIRCUNFERÊNCIA

RETA E CIRCUNFERÊNCIA RETA E CIRCUNFERÊNCIA - 016 1. (Unifesp 016) Na figura, as retas r, s e t estão em um mesmo plano cartesiano. Sabe-se que r e t passam pela origem desse sistema, e que PQRS é um trapézio. a) Determine

Leia mais

Exercícios Propostos. Exercício 1: Cinco retas distintas em um plano cortam-se em n pontos. Determine o maior valor que n pode assumir.

Exercícios Propostos. Exercício 1: Cinco retas distintas em um plano cortam-se em n pontos. Determine o maior valor que n pode assumir. Exercícios Propostos Exercício 1: Cinco retas distintas em um plano cortam-se em n pontos. Determine o maior valor que n pode assumir. Exercício 2: As bissetrizes de dois ângulos adjacentes AÔB e BÔC são,

Leia mais

A Matemática no Vestibular do IME. Material Complementar 1: Soluções de Desenho Geométrico. c 2014, Sergio Lima Netto

A Matemática no Vestibular do IME. Material Complementar 1: Soluções de Desenho Geométrico. c 2014, Sergio Lima Netto Matemática no Vestibular do IME Material Complementar 1: Soluções de Desenho Geométrico c 014, Sergio Lima Netto sergioln@smt.ufrj.br Esse material inclui as soluções de diversas questões de desenho geométrico

Leia mais

5 LG 1 - CIRCUNFERÊNCIA

5 LG 1 - CIRCUNFERÊNCIA 40 5 LG 1 - CIRCUNFERÊNCIA Propriedade: O lugar geométrico dos pontos do plano situados a uma distância constante r de um ponto fixo O é a circunferência de centro O e raio r. Notação: Circunf(O,r). Sempre

Leia mais

Escola Secundária de Alberto Sampaio Ficha Formativa de Matemática A Geometria II O produto escalar na definição de lugares geométricos

Escola Secundária de Alberto Sampaio Ficha Formativa de Matemática A Geometria II O produto escalar na definição de lugares geométricos Escola Secundária de Alberto Sampaio Ficha Formativa de Matemática A Geometria II O produto escalar na definição de lugares geométricos º Ano No plano Mediatriz de um segmento de reta [AB] Sendo M o ponto

Leia mais

Geometria Analítica - AFA

Geometria Analítica - AFA Geometria Analítica - AFA x = v + (AFA) Considerando no plano cartesiano ortogonal as retas r, s e t, tais que (r) :, (s) : mx + y + m = 0 e (t) : x = 0, y = v analise as proposições abaixo, classificando-

Leia mais

LISTA DE EXERCÍCIOS MAT GEOMETRIA E DESENHO GEOMÉTRICO I

LISTA DE EXERCÍCIOS MAT GEOMETRIA E DESENHO GEOMÉTRICO I LISTA DE EXERCÍCIOS MAT 230 - GEOMETRIA E DESENHO GEOMÉTRICO I 1. Numa geometria de incidência, o plano tem 5 pontos. Quantas retas tem este plano? A resposta é única? 2. Exibir um plano de incidência

Leia mais

Unidade. Educação Artística 161. I- Limpeza e organização com os materiais são requisitos básicos nesta disciplina.

Unidade. Educação Artística 161. I- Limpeza e organização com os materiais são requisitos básicos nesta disciplina. Unidade 1 2 Educação Artística 161 Unidade 1 I- Limpeza e organização com os materiais são requisitos básicos nesta disciplina. II- O lápis é o responsável direto pela boa qualidade do desenho. Classificamos

Leia mais

Exercícios de testes intermédios

Exercícios de testes intermédios Exercícios de testes intermédios 1. Qual das expressões seguintes designa um número real positivo, para qualquer x pertencente 3 ao intervalo,? (A) sin x cos x (B) cos x tan x tan x sin x sin x tan x Teste

Leia mais