Lista de exercícios de GA na reta e no plano Período de Prof. Fernando Carneiro Rio de Janeiro, Janeiro de 2017

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1 Lista de GA no plano 1 Lista de exercícios de GA na reta e no plano Período de Prof. Fernando Carneiro Rio de Janeiro, Janeiro de Retas no plano 1.1) Determine os dois pontos, que chamaremos de A e B, que estão na reta r : 3x + 4y = 1, e nos eixos Ox e Oy. Determine as três alturas do triângulo OAB, onde O é a origem. Determine sua área. R: A(x A, y A ) r Ox : y A = 0, 3x A = 1 A(4, 0), B(x B, y B ) r Oy : x B = 0, 4y B = 1 B(0, 3). O triângulo OAB é retângulo, logo, OA e OB são alturas, a primeira tem tamanho 4 e a segunda tem tamanho 3. A área é 1 (3 4) = 6, e a terceira altura é a relativa à hipotenusa AB, que tem tamanho 5: 6 = 1 1 5h h = 5. Outra maneira de determinar a terceira altura é calcular a distância entre a origem e a reta r: d = = ) Determine as equações das retas que dividem o ângulo entre as retas r 1 e r em dois ângulos iguais, sendo r 1 : 3x + 4y = 7, r : 4x 3y = 1. R: É só calcularmos o bissetor dos vetores normais de r 1 e r : ele será o vetor normal da reta que divide o ângulo ao meio.

2 Lista de GA no plano n = 1 5 (3, 4) (4, 3) = 1 (7, 1). 5 Outra possibilidade, que nasce do fato que ( 4, 3) também é vetor normal de r, é: Como n = 1 5 (3, 4) ( 4, 3) = 1 ( 1, 7). 5 r 1 r = (1, 1) as retas que cortam o ângulo ao meio são: r 3 : 7x + y = 8, r 4 : x + 7y = ) Sejam os pontos A(1, 1), B(3, ) e C(, 3). Determine se são colineares ou se formam um triângulo. Determine a projeção do vetor AB na direção do vetor AC. Determine o ponto D que é o extremo final do representante de proj AC AB que começa em A. Determine a proporção entre a área de ABD e ABC. Determine a área de ABD. R: AB = B A = (, 1), AC = C A = (1, ) não são paralelos, portanto os pontos não são colineares, e formam um triângulo. proj AC AB = AC AB + AC = ( AC AC )(1, ) = 4 5 (1, ) = (4 5, 8 5 ). AD = D A = ( 4 5, 8 5 ) D = (9 5, 13 5 ). A proporção entre as áreas é a mesma que entre as bases, já que a altura é a mesma. Portanto, é a proporção entre a projeção e AC: 4 5. Área ABC é 1 AC AB proj AC AB 5 = (, 1) (4 5, 8 5 ) = = ) Determine a posição relativa entre as retas r 1 : x + y = 7, r : x + y = 1.

3 Lista de GA no plano 3 R: Os vetores normais são n 1 = (, 1) e n = ( 1, ). Não são vetores paralelos, portanto r 1 e r são concorrentes. A = r 1 r x A +y A = 7, x A +y A = 1 x A + 1 y A = 7, x A+y A = 1 5 y A = 5 y A = 1, x A = 3 A(3, 1). 1.5) Determine a interseção entre r 1 e r, r 1 e r 3, r e r 3, r 1 : x + y = 1, r : 4x + y = 3, r 3 : 4x y =. Se forem paralelas, determine a distância. R: os vetores normais são, respectivamente, n 1 = (, 1), n = (4, ), n 3 = ( 4, ), e são todos múltiplos um do outro. Para calcular a distância devemos uniformizar o lado esquerdo da igualdade: r 1 : 4x + y =, r : 4x + y = 3, r 3 : 4x + y =. Daí verificamos que as equações de r 1 e r 3 representam a mesma reta. Logo, não precisamos calcular. Sobra a distância entre r 1 e r : 1.6) Na reta d(r 1, r ) = = 10. r : 3x + 4y = 7, quais são as coordenadas x e y do ponto de coordenada 10 da reta r vista como eixo cuja origem é o ponto (1, 1) e a orientação é a do vetor ( 4, 3). E o ponto de coordenada 4? R: As coordenadas na reta r correspondem a escrever a reta na forma paramétrica segundo o versor de um vetor diretor, ( 4, 3), e a partir da origem escolhida, (1, 1). Logo, Versor de ( 4, 3) = ( 4 5, 3 5 ) x = 1 4 r : 5 t, y = t,

4 Lista de GA no plano 4 de modo que t é a coordenada do eixo r. Logo, para t = 10 e t = 4 temos, respectivamente: ( 7, 7), ( 1 5, 7 5 ) r. 1.7) Qual é o ponto da reta r : 3x + 4y = 5, que está mais próximo da origem do plano? Qual é a distância dessa reta à origem? R: É a interseção entre r e a reta r que passa na origem é ortogonal a r: r : (0, 0) + t(3, 4) r r : 9t + 16t = 5 t = 1 r r = (3, 4). A distância é ou, pela fórmula (3, 4) (0, 0) = = 5, d = = 5 5 = ) Determine a área do triângulo ABC, sendo A a interseção entre as retas r 1 : x + y = 7, r : x + y = 1, B a interseção entre r 1 e o eixo Ox, C interseção entre r e o eixo Ox. R: r 1 r : x+y = 7, x+4y = 5y = 5 y = 1, x = 3, r 1 r = A(3, 1). r 1 Ox : y = 0, x + y = 7 x = 7 B = (7, 0). r Ox : y = 0, x + y = 1 x = 1 C = (1, 0). A altura é a segunda coordenada de A: 1. A base é BC, BC = C B = ( 5, 0). Logo, Área = = 5 4.

5 Lista de GA no plano 5 1.9) Dados A(1, 1) e B(3, 5), determine a equação da mediatriz do segmento AB. R: A mediatriz é reta ortogonal a AB = B A = (, 4) e que passa pelo ponto médio de AB, M = 1 (A + B) = (, 3): r : x + 4y = = 16 r : x + y = 8. Cônicas Primeiro: exercícios 4, 5, 31 a 39 da lista 7..0) Determine a equação da cônica dada pela igualdade d(p, F ) = ed(p, r), sendo e um número real, F (d, 0), e r a reta do eixo Oy. Determine a excentricidade e mostre que F é um dos focos. Qual é o outro foco? R: No caso e = 1 temos uma parábola. Suponha e 1: (x d) + y = e x x dx+d +y = e x (1 e )x dx+y +d = 0 (1 (1 e )((x d d ( ) + y + d = 0 1 e ) 1 e ) (1 e )(x 1 ( de d + y = d 1 e ) 1 e d = d e 1 e d e ) ( d e 1 e ) y = 1. 1 e ) (x Podemos já concluir que se e < 1 temos uma elipse, se e > 1 temos uma hipérbole. c = maior denominador menor denominador = d e (1 e ) d e = d e 1 de 1 e ( 1) = ( c = de 1 e 1 e ) 1 e. 1 e

6 Lista de GA no plano 6 a = maior denominador = d e (1 e ) a = de 1 e. Logo, a excentricidade é c a = ( de 1 e ) ( de O centro é ( d 1 e, 0). Logo, os focos são 1 e ) = e. d Focos = ( 1 e, 0) ± (c, 0) = ( d de 1 e, 0) ± ( 1 e, 0) Focos = (d, 0) e (d( 1 + e 1 e), 0)..1) Determine a equação dos pontos do plano que satisfazem d(p, F ) = d(p, r), sendo F (0, ) e r : y = 0. Determine a reta focal. O ponto A(1, 0) pertence a esta cônica? R: Já podemos testar se A pertence a esta cônica: d(a, r) = 1 e d(a, F ) = Logo, A não pertence. A equação será x + (y ) = y x +y 4y+4 = y 4y = x +4 y = 1 4 x +1. A reta focal, r, é ortogonal à diretriz r e passa por F (0, ), logo, r : x = d, F r 0 = d r : x = 0..) Determine o foco da parábola de vértice V (1, ) e diretriz r : x + y = 0. Determine se B(3, 6) pertence a essa parábola. R: O vértice está na reta focal, que é ortogonal à diretriz. A reta focal é x + y = d, V reta focal d = + = 0. A interseção entre a reta focal e a diretriz é o ponto que satisfaz x + y = 0, x + y = 0 (0, 0).

7 Lista de GA no plano 7 O vértice é o ponto médio entre a interseção da diretriz e da reta focal e o foco. Logo 1 (F + (0, 0)) = (1, ) F = (, 4). B(3, 6) não pertence à parábola pois está na reta focal e não é o vértice..3) Determine o centro da cônica Determine sua excentricidade. R: x + y + x + 4y = 5. x +y +x+4y = 5 (x+1) 1+(y+1) = 5 Logo, o centro é C( 1, 1) e a excentricidade é (x + 1) (y + 1) = 1. e = c a = 4 8 =..4) Determine a equação da hipérbole que tem focos nos pontos A e B e vértices nos pontos C e D, sendo A(5, 0), B( 5, 0), C( 3, 0), D(3, 0). Determine seu centro. O ponto E(3, 4) pertence a esta hipérbole? R: Se os focos são A(5, 0) e B( 5, 0) então o centro, que é o ponto médio, é a origem. A constante c é 5 pois é metade da distância focal, e a constante a é metade da distância entre os vértices, portanto, é 3. A equação é x a y b = 1 x 9 y 16 = 1. Para as coordenadas de E temos x 9 y 16 = = 1 = 1 E hipérbole..5) Determine a equação dos pontos do plano que satisfazem d(p, F ) = d(p, r),

8 Lista de GA no plano 8 sendo F (4, 0) e r : x =. Determine se O(0, 0) pertence a esta cônica. R: d(o, F ) = 4, d(o, r) =, então O não pertence a esta cônica. Para achar a equação desenvolvemos a igualdade inicial d(p, F ) = d(p, r) (x 4) + y = x+ 4(x 8x+16+y ) = x +4x+4 3x + 4y 36x + 60 = 0..6) Determine o foco da parábola de vértice V (, 1) e diretriz r : x y = 0. Determine se o ponto A(6, 3) está na parábola. R: V focal, r focal : x + y = () + ( 1) = 0. Logo, focal r : x y = 0, x + y = 0 focal r = (0, 0). F = V (0, 0) = (4, ). d(a, F ) = + 1 = 5, d(a, r) = 1 5 (6) ( 3) = 3 5 d(a, F )..7) Determine o centro da cônica x y + x + 4y + 5 = 0. Determine sua excentricidade. Determine se o ponto B(3, 3) pertence a esta cônica. R: B : 3 (3 ) + (3) + 4(3) + 5 = 14 0 B / cônica. x y + x + 4y + 5 = 0 (x + 1) 1 (y 1) = 0 Logo, a excentricidade é (y 1) 3 (x = 1) 6 = 1. e = c a = = 3

9 Lista de GA no plano 9 e o centro é ( 1, 1)..8) Determine a equação da elipse que tem os vértices do eixo maior em A( 5, 0), B(5, 0) e excentricidade 0, 6. Determine seu centro. R: O centro é a origem pois o ponto médio dos vértices do eixo maior é o centro da elipse. A constante a é metade da distância entre os vértices do eixo maior: a = 5. Logo, 0, 6 = e = c a = c 5 c = 3 b = 4. x a + y b = 1..9) Determine a parte quadrática da equação da hipérbole cujas assíntotas são r 1 : x + y =, r : x y = 1. R: As assíntotas reunidas numa equação do segundo grau são 0 = (x + y )(x y 1) = x y 3x + y +. Elas são as assíntotas de qualquer hipérbole de equação Logo, a resposta é x y 3x + y + f = 0, f. x y..10) Determine o foco da parábola de vértice V ( 1, 3) e diretriz r : x y = 0. Determine a equação dessa parábola. R: Novamente, a reta focal contém V e é ortogonal a r : x y = 0. Podemos resolver de maneira alternativa. Se u = (, 1) é vetor normal da diretriz, então é vetor diretor da reta focal: focal : P = V ( 1, 3) + t(, 1) = ( 1 + t, 3 t).

10 Lista de GA no plano 10 A interseção ocorre em ( 1 + t) (3 t) = t + t = 0 t = 1. Se em t = 1 ocorre a interseção entre a diretriz e a reta focal, e se em t = 0 temos o vértice, então o foco ocorre em t = 1: F = ( 1, 3) + ( 1)(, 1) = ( 3, 4). Parábola: d(p, F ) = d(p, F ) (x + 3) + (y 4) = 1 5 x y 5(x + y + 6x 8y + 5) = 4x 4xy + y x + 4xy + 4y + 30x 40y + 15 = 0..11) Determine a equação dos pontos do plano que satisfazem d(p, F ) = d(p, r), sendo F (1, 1) e r : x + y = 0. Qual é a cônica? R: Como a constante na equação é, podemos dizer desde já que a cônica é uma hipérbole. A equação surge da igualdade d(p, F ) = d(p, r) (x 1) + (y 1) x + y = (x 1) + (y 1) = (x + y) x + y x y + = x + y + 4xy x + 4xy + y + x + y = 0..1) Determine a equação da hipérbole que tem focos nos pontos A e B e vértices nos pontos C e D, sendo A(0, 0), B(4, 4), C(1, 1), D(3, 3). Determine seu centro e sua excentricidade. R: O centro é o ponto médio entre os focos: A + B = (, ). A constante c é metade da distância focal: c = 1 d(a, B) =.

11 Lista de GA no plano 11 A constante a é metade da distância entre os vértices a = 1 d(c, D) =. A constante b é tal que b = c a = 8 = 6 b = 6. Logo, a excentricidade é e = c a = =..13) Calcule o ângulo entre as assíntotas da hipérbole x + 4xy + y + 4x + 4y = 0. R: Se reduzimos para uma equação do tipo as assíntotas são x a y b = 1 x a y b = 0 (x a + y b )(x a y b ) = 0, e seus vetores normais são ( 1 a, 1 b ) e ( 1 a, 1 b ). Logo, o ângulo é dado por cosθ = ( 1 a, 1 b ) ( 1 a, 1 b ) ( 1 a, 1 b ) ( 1 a, 1 b ) = ( 1 a 1 b ) ( 1 a + 1 b ) = a b (a + b ). Logo, precisamos somente calcular A e C, que são raízes de Logo, λ λ 3 = 0 λ = 3 ou 1. cosθ = = 1 θ = 60o. A fórmula, em função de A e C é cosθ = A + C A C,

12 Lista de GA no plano 1 ou, em função da parte quadrática original cosθ = A + C (A C) + 4B,