Mat. Monitor: Roberta Teixeira

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1 1 Professor: Alex Amaral Monitor: Roberta Teixeira

2 2 Geometria analítica plana: circunferência e elipse 26 out RESUMO 1) Circunferência 1.1) Definição: Circunferência é o nome dado ao conjunto de pontos do plano equidistantes de um ponto fixo, que é o seu centro. 1.2) Equação: Uma circunferência γ de centro no ponto C( x 0,y 0) e raio de medida R é o conjunto dos pontos P(x,y), tais que P γ, PC = R. Substituindo PC por seu valor, de acordo com a fórmula da distância entre dois pontos tem-se: R ( x x )² ( y y )² 0 0 Ao elevar ambos os lados ao quadrado, chegamos à equação da circunferência: R² ( x x )² ( y y )² 0 0 2) Elipse 2.1) Definição: Elipse é o conjunto de todos os pontos de um plano cuja soma das distâncias a dois pontos fixos desse plano é constante.

3 2.2) Elementos de uma elipse: Focos: são os pontos F 1 e F 2. Distância focal: é a distância 2c entre os focos. Centro: é o ponto médio C do segmento F 1F 2. Eixo maior: é o segmento A 1A 2 de comprimento 2a. Eixo menor: é o segmento B 1B 2 de comprimento 2b e perpendicular a A 1A 2 no seu ponto médio. Vértices: São os pontos A 1, A 2, B 1 e B 2. Pela figura, vemos que a² = b² + c². Esta igualdade mostra que b < a e c < a. Excentricidade: é o número real e c a ( 0 < e < 1 ) são aproximadamente circulares, enquanto que elipses com excentricidade próxima de 1 são 2.) Equação: 2..1) Eixo maior é paralelo ao eixo x: ( x h)² ( y k)² 1 a² b² 2..2) Eixo maior é paralelo ao eixo y: ( x h)² ( y k)² 1 b² a²

4 4 EXERCÍCIOS DE AULA 1. A segunda lei de Kepler mostra que os planetas se movem mais rapidamente quando próximos ao sol do que quando afastados dele. Lembrando que os planetas descrevem órbitas elípticas nas quais o sol é um dos focos, podemos afirmar que, dos pontos assinalados na figura, aquele no qual a velocidade da Terra é maior é o ponto: a) A b) B c) C d) D e) E 2. A figura mostra uma criança brincando em um balanço no parque. A corda que prende o assento do balanço ao topo do suporte mede 2 metros. A criança toma cuidado para não sofrer um acidente, então se balança de modo que a corda não chegue a alcançar a posição horizontal. Na figura, considere o plano cartesiano que contém a trajetória do assento do balanço, no qual a origem está localizada no topo do suporte do balanço, o eixo X é paralelo ao chão do parque, e o eixo Y tem orientação positiva para cima. A curva determinada pela trajetória do assento do balanço é parte do gráfico da função. a) f ( x) 2 x² b) f ( x) 2 x² c) f ( x) x² 2 d) f ( x) 4 x² e) f ( x) 4 x²

5 5. Considerando a circunferência C de equação (x ) 2 + (y 4) 2 = 5, avalie as seguintes afirmativas: 1. O ponto P(4,2) pertence a C. 2. O raio de C é A reta y x passa pelo centro de C. Assinale a alternativa correta. a) Somente a afirmativa 1 é verdadeira. b) Somente a afirmativa 2 é verdadeira. c) As afirmativas 1, 2 e são verdadeiras. d) Somente as afirmativas 1 e 2 são verdadeiras. e) Somente as afirmativas 1 e são verdadeiras. 4. Uma porta colonial é formada por um retângulo de 100cm 200cm e uma semi-elipse. Observe as figuras: Na semi-elipse o eixo maior mede 100cm e o semieixo menor, 0cm. Calcule a medida da corda PQ, paralela ao eixo maior, que representa a largura da porta a 224cm de altura. 5. Considere os pontos A, B e C nas condições mencionadas na tirinha. a) Se, A, B e C pertencem a uma mesma reta, calcule a distância entre A e C quando: A está situado entre B e C; A está situado fora do segmento BC.

6 6 b) Se A, B e C estiverem no plano cartesiano, sendo A um ponto móvel, B um ponto do semi-eixo positivo das abscissas (x) e C a origem (0,0), determine a equação da linha descrita pelo ponto A e identifique a curva correspondente. EXERCÍCIOS DE CASA 1. Durante uma aula de Matemática, o professor sugere aos alunos que seja fixado um sistema de coordenadas cartesianas (x, y) e representa na lousa a descrição de cinco conjuntos algébricos, I, II, III, IV e V, como se segue: I é a circunferência de equação x² + y² = 9; II é a parábola de equação y = x² 1, com x variando de 1 a 1; III é o quadrado formado pelos vértices ( 2, 1), ( 1, 1), ( 1, 2) e ( 2, 2); IV é o quadrado formado pelos vértices (1, 1), (2, 1), (2, 2) e (1, 2); V é o ponto (0, 0). Qual destas figuras foi desenhada pelo professor? a) d) b) e) c) 2. Considere dois pontos distintos A e B de um plano. O lugar geométrico dos pontos P deste plano tal que a soma das distâncias de P aos pontos A e B é constante, é uma curva denominada: a) circunferência b) parábola c) hipérbole d) elipse e) reta

7 . O segmento AB é diâmetro da circunferência de equação x 2 + y 2 = 10y. Se A é o ponto (,1), então B é o ponto: a) (-, 9) b) (, 9) c) (0, 10) d) (-, 1) e) (1, ) 4. Um satélite de órbita elíptica e excentricidade 1 viaja ao redor de um planeta situado num dos focos de uma elipse. Sabendo que a distância mais próxima do satélite ao planeta é de 00 km, a maior distância é a) 400 km b) 500 km c) 600km d) 00 km e) 900 km 5. As circunferências x 2 + y 2 + 8x + 6y = 0 e x 2 + y 2 16x 12y=0 são: a) exteriores. b) secantes. c) tangentes internamente. d) tangentes externamente. e) concêntricas. 6. A elipse representada na figura tem equação: 2 2 x 4 2 y a) 1 b) c) d) e)

8 8. A excentricidade da elipse 1 a) b) 4 16 é: c) 4 d) e) A equação da circunferência com centro na origem e raio igual ao semieixo menor da elipse x 2 + 4y 2 = 4 é: a) x 2 + y 2 = 2 b) x 2 + y 2 = 16 c) x 2 + y 2 = 4 d) x 2 + y 2 = 1 e) x 2 + y 2 = 2

9 9 GABARITO Exercícios de aula 1. e 2. d. e cm 5. a) A situado entre B e C = 10/ cm A situado fora de B e C = 10 cm b) x² + y² - 40x = 0, circunferência de círculo. Exercícios de casa 1. e 2. d. a 4. c 5. d 6. c. b 8. d