Exercícios da semana 4 vídeo aulas 15 e 16

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1 Curso de Engenharia - UNIVESP Disciplina Matemática Bimestre 1 Exercícios da semana 4 vídeo aulas 15 e 16 RECOMENDAÇÕES GERAIS SOBRE A AVALIAÇÃO (PORTFÓLIO) Caro aluno, Nesta semana, a sua avaliação para as aulas 15 e 16 será composta por duas postagens no Portfólio de Matemática que estão descritas a seguir: A) Os exercícios da aula 15 foram formulados para que pratique aquilo que aprendeu na vídeo aula. Para avaliação da aula 15, escolha pelo menos UM (1) exercício para resolver. A resposta deve compor o Portfólio da disciplina. Para melhorar a sua aprendizagem resolva, explore e aprofunde, até onde for possível, os outros exercícios da aula 15. B) Os exercícios da aula 16, foram formulados para que pratique aquilo que aprendeu na vídeo aula. Para avaliação da aula 16, escolha pelo menos UM (1) exercício para resolver. A resposta deve compor o Portfólio da disciplina. Para melhorar a sua aprendizagem resolva, explore e aprofunde, até onde for possível, os outros exercícios da aula 16. Lembre-se - Nesta semana você também deverá postar a resolução de alguns exercícios referentes às videoaulas 13 e 14 que estão disponíveis na Organização Didática da semana 4 e no Ambiente Virtual de Aprendizagem (AVA) do curso. Exercícios da video aula 15 1) Normalmente assumimos que a Terra é uma esfera para a maioria dos cálculos, porém, sua forma é aproximadamente a de um elipsóide, que é uma forma tridimensional gerada a partir da rotação de uma elipse l por um eixo de simetria, como se vê na figura.

2 Sabendo que o semieixo equatorial da Terra tem aproximadamente km, e que seu semieixo polar tem aproximadamente km, pede-se: a) A excentricidade de l (lembre-se que a excentricidade é definida como c/a). Semieixo equatorial é igual a km (2 a ), logo, metade deste semieixo é igual a ,5 km (equivale, no desenho, a a ). No eixo menor, N-S, metade deste eixo que, no desenho, está descrito como b é igual à metade do eixo menor, que, então, equivale a km. De acordo com Pitágoras, se tenho b e a, como explicado na Aula 15 aos aproximados 15 min. pelo Prof. Pastore, temos a possibilidade de fazer o seguinte cálculo: a²= b² + c² ² = ,5² + c² c² = , c² = ,25 c = ,92 Logo, l = c/a l = ,92/ l=c/a l=0,0821 Obs: É provável que eu tenha me equivocado, mas considerando que os dados apresentados neste exercício e os cálculos efetuados mostram uma excentricidade diferente da exposta pelo professor na aula (Na aula, a excentricidade é = a 0,0167, o que é 5x menor do valor que consegui).

3 b) A equação de l considerando o referencial de eixos ortogonais indicado abaixo. 2) Um estudante resolveu fazer um desenho (no chão) em escala da trajetória elíptica da Terra em torno do Sol utilizando barbante e giz. Na construção ele utilizou um pedaço de 2 metros de barbante para representar o eixo maior da elipse. Sabendo que a excentricidade da trajetória da Terra em torno do Sol é 0,0167, qual terá sido a medida da distância focal da elipse desenhada pelo estudante no chão? (dê sua resposta em centímetros) c e b, no exercício em questão, podem ser determinados pelo Teorema de Pitágoras, conforme explanado pelo Prof. Pastore aos 15 min. (+/-) da Aula 15. Então, se a² = b² + c², e tendo a como hipotenusa (1 metro), b como um dos catetos e c o outro cateto, calcularíamos: a² = b² + c² 1² = b² + c² Como não conseguiremos sair desta equação, mas sabendo o valor da excentricidade da TERRA (0,0167) e sabendo que a fórmula da excentricidade nos permitirá calcular c, poderíamos então: l = c / a 0,0167 = c / 1 c = 0,0167 m (Em centímetros, 1,67 cm.) Agora de posse do valor obtido em c, poderemos continuar: 1² = b² + 0,0167² b = 1 0, b = 0, m. (Em centímetros, 99,986 cm.) 3) A Terra está a aproximadamente 150 milhões de quilômetros do Sol, e o ano terrestre tem aproximadamente 365 dias. Sabendo que o ano em Mercúrio, que é o planeta mais próximo do Sol, tem aproximadamente 88 dias terrestres, calcule a distância que Mercúrio está do Sol utilizando a terceira lei de Kepler. A lei dos períodos é baseada nas quantidades envolvidas na interação centrífuga e centrípeta no movimento de um planeta em torno do Sol. A terceira lei de Kepler, também conhecida como a lei dos períodos, diz:... O quadrado do período de qualquer planeta em torno do Sol é proporcional ao cubo da distância média entre o planeta e o Sol... HALLIDAY, 2004, pg. 15.

4 Temos então a seguinte equação: T² = k* r³, onde o período equivale a 88 dias segundo os cálculos terrestres, contudo, para obtermos um cálculo correto, precisaríamos dividir 88 por 365 e, aí sim, teríamos o período correto que é igual a 0,2411 anos. Em outras palavras, um ano MERCURIANO equivale a 25% aproximadamente do TERRÁQUEO. Como não temos de mais dados, teremos que fazer a seguinte operação: 150³/365² = x³/88² X³ = (150³ * 88²)/365² x =,... x é aproximadamente = 58 milhões. Exercícios da vídeo aula 16 Dados: para os exercícios a seguir, considere a Terra como sendo uma esfera de raio 6370 km. 1) Sabendo que a distância entre as cidades de São Paulo e Moscou é de aproximadamente km, calcule o menor ângulo do arco de circunferência máxima que separa essas duas cidades. São Paulo Moscou = distância de km km 360º 11806km X º X = (360*11806)/ x = 106,15º 2) O satélite Aqua da NASA está bem próximo da Terra. Sua órbita completa em torno da Terra leva cerca de 100 minutos, e ele está a cerca de 700 km da superfície da Terra. Determine sua velocidade média aproximada, em km/h, e o tempo aproximado que leva um sinal emitido por esse satélite para chegar a Terra, em milisegundos. 3) Admita três satélites girando em torno da Terra, cada com raio de alcance de 8, 10 e 12 mil quilômetros respectivamente. Os satélites estão localizados conforme descrito na figura abaixo, sendo C (0, 0, 0) a origem do sistema de coordenadas, e P (x, y, z) o ponto de intersecção das três esferas determinadas pelo alcance dos três satélites com uma quarta esfera de centro não coplanar, que poderia ser a Terra. Determine as coordenadas cartesianas do ponto P admitindo que o triângulo formado por P e os satélites de raios 8000 km e km é retângulo em P.

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