Cursos de Estatística, Informática, Ciências de Informação Geográfica ALGA, Ficha 10 Cónicas

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1 Cursos de Estatística, Informática, Ciências de Informação Geográfica ALGA, Ficha 10 Cónicas EXERCÍCIOS: Circunferência 1. Escreva a equação da circunferência de centro em C e de raio r, onde: a) C está situado na origem das coordenadas e r =7 b) C(-,1) r = c) C(,) r = 6 d) C(,) r = m arbitrário e) C(,-1) r =.. Dadas as seguintes equações, verifique se elas representam circunferências. Em caso afirmativo, indique o valor do seu raio e as coordenadas do seu centro: a) x y x y 0 b) x y x y 1 0 c) x y 6 d) x y x y 1 e) x y x y 0 f) x y xy 0. Escreva a equação da circunferência que passa por três pontos A,B e C onde: a) A(1,1) B(1,-1) C(,) b) A(0,0) B(,) C(1,-1) c) A(-1,) B(-,- ) C(,,). Escreva a equação da circunferência de centro P e que passa pelo ponto A: a) P(-1,) A(0,) b) P(0,0) A(,) c) P(0,-) A(1,). Escreva a equação da circunferência de centro em C e que é tangente à recta r: a) C(1,-1) r: x 1y 9 0 b) C(0,0) r: x y 0 0 : c) C(-1,-1) r passa por A(,-1) B(-1,). 6. Ache a distância mais curta do ponto A até à circunferência ( C ): a) A(,-6) ( C ) : x y x y 1 0 b) A(6,-) ( C ) : x y x y Construa as linhas determinadas pelas equações: a) y 9 x b) x 9 y. y 1 6 x c) x y d) Elipse. Mostre que as equações seguintes são equações de elipses. Para cada caso, determine as coordenadas dos focos e a distância focal: a) 6x 100y b) 7x 16y Escreva a equação canónica da elipse sabendo que: a) a distância focal é igual a e a elipse passa pelo ponto A ( 1, 1) b) a elipse passa por dois pontos A (, ) e B (,) c) a elipse passa pelo ponto A (, ) e a sua excentricidade é igual a.

2 10. Ache os semieixos, os focos, a excentricidade e as equações das directrizes da elipse dada pela equação: a) 9x y b) 9x y 11. Seja e a excentricidade de uma elipse. Mostre que : a) e = 0 se e somente se a elipse se reduzir a uma circunferência b) e = 1 se a elipse s reduzir a um segmento. 1. Mostre que uma elipse é simétrica em relação ao seu centro e aos seus eixos. 1. Calcule a área dum quadrilátero em que dois dos seus vértices se encontram nos focos da elipse 9x y e os outros dois coincidem com os extremos do seu eixo menor. 1. Desenhe as linhas determinadas pelas seguintes equações: a) y 16 x b) y 9 x c) x 9 y d) 1 x 9 y. 7 1.Considere a elipse 1, sendo e a sua excentricidade. (1 e ) a) Faça o esboço da elipse para e = 0,, e = 0, e e = 0 b) Usando os resultados da alínea anterior, faça uma conjectura sobre a mudança da forma da elipse, conforme e se aproxima de 0. Respostas: 1. a) x y 9 b) ( x ) ( y 1) 9 c) ( x ) ( y ) 6 d) 1 1 e) ( x ) ( y 1).a) C,, ( x ) ( y ) m 1,1 C, C, r = c) 0,0 d) C ( 1, 1), r 6 r. a) x y 6x 0 b) x y x y 0 c) 7x 7y x 6y 0.a) r b) ( x 1) ( y ) 1 b) x y c) x ( y ) 7. a) ( x 1) ( y 1) b) x y a) b) 1. a) F 1 =(0), F =(-0), d = 16 b) F 1 =(0), F =(- 0), d = 6 9. a) x y 1 0 b) x y c) x y a) a =, b =, F 1 =(0), F =(-0), e, x b) a, b =, F 1 =(0), F =(0,-) 1..

3 Hipérbole 1. Mostre que as seguintes equações são equações de hipérboles. Ache as coordenadas dos seus focos: a) 0x 9y 0 b) 11x y 7 0 c) 9x 16y 1 0. Dê a equação da hipérbole de focos ( 0 ) e distância entre os vértices igual a. Determine os vértices, a excentricidade e as assimptotas desta hipérbole.. Determine os focos, os vértices e as assimptotas da hipérbole dada pelas seguintes equações: a) 16x 9y 1 b) 16x 9y 1 c) d) y x. Construa cada uma destas hipérboles.. As seguintes hipérboles: (H) : 1 e (H ) : 1 dizem-se conjugadas b a a b entre si. Construa estas duas hipérboles no mesmo sistema de coordenadas e compare os seus gráficos.. Ache os pontos de intersecção da recta x-y+=0 com a hipérbole x y Calcule a área do triângulo cujos lados estão situados nas assimptotas da hipérbole x y 16 e na recta y x Escreva a equação canónica da hipérbole, sabendo que o seu foco se encontra no ponto ( 0) e que ela corta o eixo das abcissas no ponto (60).. Determine os pontos de intersecção das linhas x y 1 9 e x y Construa as linhas representadas pelas equações: a) y x 9 b) y x 16 c) x y 1, d) x y 10. Numa figura, indique a parte do plano XOY determinada por: a) x y 1 b) x y 1 c) y x d) x y y Parábola 11. Escreva a equação da parábola cuja directriz é a recta r, cujo foco é o ponto F e cujo vértice é a origem: a) r : x = - b) r : x = c) F(0) d) F(-0) e) r: y = - f) r : y = g) F(0) h) F(0, -). 1. Escreva a equação da parábola com vértice na origem, simétrica ao eixo dado e que passa pelo ponto dado: a) OX, A(96) b) OX, B(-1) c) OY, C(11) d) OY, D(-).

4 1. Construa as parábolas seguintes e determine os seus focos e as equações das suas directrizes: a) x y 0 b) y 1x c) y x 0 d) x y 0 1. Determine o foco e a equação da directriz da parábola dada pela equação: a) y x 0 b) y 6x 0 c) y 1x 0 d) y 16x 0 1. Determine os pontos de intersecção das linhas: a) y 16x e x = b) x y e x y 1. y x 16. Numa figura, indique a parte do plano OXY determinada por : a) b) x y 0 y x Esboce os gráficos de x 1 1 py para p, p, p 1 e p no mesmo sistema de coordenadas. Discuta as mudanças nos gráficos, conforme o valor de p cresce. 1. Determine os focos, os vértices e esboce o gráfico das cónicas: a) y x 1 b) y 6x. 19. Determine a área do quadrado inscrito na elipse 9x 16y Relacione cada uma das seguintes equações com o gráfico correspondente: 1) x y ) x y ) y x. ) x y ) x y 6) a) b) c) d) e) f)

5 Respostas: 1. a) F 1 ( -70), F (70) b) F 1 ( -60), F (60) c) F 1 ( -0), F (0) g) x y 1 9. x y 1 ( 0 1) x y. a) x y 1, ( 0), ( 0), y x b) y x , ( 0 ), ( 0 ), y x c) x y 1, 10 0, 0) (, y x d) x 1, ( 0 ), ( 0 ), y x. (6) e (-0) x y e a) y 0 x b) y 0x c) y x d) y x e) x 1y f) x 1y g) x y h) x y 1. a) y x b) y 9x c) x y d) x y 1 1. a) F (0 ) 16 : y 1 1. a) F 0 16, x = : y b) F : y b) F 0, a) ( ) b) ( ( ) ) F, 0, V(0,0) : x c) F (10 ), : x 1 d) F 0, : y c) F 0, : x d) F(10) 1. a) F, 0 V, 1 0 b)