Quantos números pares, formados por algarismos distintos, existem entre 500 e 2000?

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1 PROVA DE MATEMÁTICA - TURMAS DO 3 O ANO DO ENSINO MÉDIO COLÉGIO ANCHIETA-BA - AGOSTO DE 011. ELABORAÇÃO: PROFESSORES OCTAMAR MARQUES E ADRIANO CARIBÉ. PROFESSORA MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA Questão 01 Quantos números pares, formados por algarismos distintos, existem entre 500 e 000? 01) 43 0) ) ) ) 480 C D U POSSIBILIDADES 5 (7 ou 9) 1,, 3, 4, 6, 7, 8 ou 9 0 (, 4, 6 ou 8) ( ou 8) 1,, 3, 4, 5, 7, 8 ou 9 0 (, 4 ou 8) UM C D U POSSIBILIDADES 1 (3, 4, 5, 6, 7, 8 ou 3, 4, 5, 6, 7, 8 ou 0 (, 4, 6 ou 8) ) 9 TOTAL DE POSSIBILIDADES: RESPOSTA: Alternativa 04. Questão 0. A figura ao lado, representa a planta de situação de um terreno com a forma de um trapézio isósceles, na escala 1:00. A Prefeitura projetou uma rua com a largura de 6m e terá que desapropriar a área hachurada na planta pagando R$400,00 por metro quadrado. Quanto o proprietário receberá, em reais, por essa desapropriação? 01) ) ) ) ) No triângulo retângulo BCH: (CH) (BC) (BH) (CH) (CH) 8. Os triângulos retângulos BCH e BEG são semelhantes, então: (EG) (BG) 3 (BG) 9 (BG) (CH) (BH) No trapézio ABEF, EF cm 17,5cm 4 Considerando-se A B E F o terreno que cuja planta é o trapézio ABEF, e como a planta foi feita na escala 1:00, (EF) 1 (AB) 1 (EG) 1 tem-se: ; e (E'F') 00 17,5; A'B' 00 e E'G' 00 3 (E'F') 00 (A'B') 00 (E'G') 00 E F 3500cm 35m; A B 4400cm 44m e E G 600cm 6m (M)_ªAval-Matem-3ºEM-U1(prof)_15-04_ado

2 ( ) A área do terreno a ser desapropriado é: S m 37m. A indenização será de (400 37) reais reais. RESPOSTA: Alternativa 0. Questão 03.. (MACK-SP) Se colocarmos em ordem crescente todos os números de 5 algarismos distintos, obtidos com os algarismos 1, 3, 4, 6 e 7, a posição do número será: 01) ) ) ) ) 84 0 UM CM C D U POSSIBILIDADES 1, (3 ou 4) 3, (4, 6 ou 4, (6 ou 7) 6, (ou 7) ) , (ou 7) TOTAL 76 RESPOSTA: Alternativa 01. Questão 04. Um quadrado ABCD de lado medindo 4u.c., situado no primeiro quadrante tem lados contidos nos eixos cartesianos Ox e Oy. A reta r passa pelo vértice do quadrado mais afastado da origem e forma com o semieixo positivo dos x um ângulo de 60. A reta t passa pela diagonal do quadrado que não contém a origem. Determine a abscissa do ponto de interseção dessas retas. 01) + 3 0) ) ) 1+ 05) 6 3 Sendo 4u.c. a medida do lado do quadrado, B (4, 0), C (4, 4) e D (0, 4) O coeficiente angular da equação da reta r é a tg 60 3, y 3x + b. Como a reta r passa pelo ponto C (4, 4): b b ( 4 4 3). Logo r tem equação: y 3 + 4( 1 3). O coeficiente angular da equação da reta t é m tg135 1, y x + n. Como a reta t passa pelo ponto B (4, 0), n n 4 y x + 4 y 3x y x + 4 ( 3) 3x + 4( 1 3) x ( 3 1) x( 3 + 1) 4 3 x RESPOSTA: Alternativa (M)_ªAval-Matem-3ºEM-U1(prof)_15-04_ado

3 Questão 05. Dispomos de 4 cores distintas e temos que colorir o mapa mostrado na figura com os países P, Q, R e S, de modo que países cuja fronteira é uma linha não podem ser coloridos com a mesma cor. De quantas maneiras é possível colorir o mapa? 01) 84 0) 56 03) 4 04) 10 05) 60 Inicialmente consideremos que todos os países serão pintados de cores diferentes: para este caso existem 4! 4 maneiras diferentes de pintar o mapa. Agora consideremos todos os casos em que dois países separados por apenas um ponto têm cores iguais e os dois outros cores diferentes. Por exemplo, escolher uma das quatro cores para os país P e pintar S com essa mesma cor; pintar R com uma das três cores restantes e Q com uma das últimas duas cores. Como pode ser R e Q com a mesma cor e P e S com cores diferentes, existem! maneiras diferentes de pintar o mapa dessa forma. Agora consideremos todos os casos em que dois países separados por apenas um ponto têm cores iguais e os dois outros também cores iguais. Por exemplo, escolher uma das quatro cores para os país P e pintar S com essa mesma cor; pintar R com uma das três cores restantes e Q com esta mesma cor. Existem então maneiras diferentes de pintar o mapa dessa forma. TOTAL DE MANEIRAS DIFERENTES DE PINTAR O MAPA: RESPOSTA: Alternativa 01 Questão 06. Uma elipse tem os eixos contidos nos eixos Ox e Oy. Determine a excentricidade dessa elipse sabendo que ela possui os pontos A (0, ) e B (, 3) 01) 3 0) ) 1 04) 4 05) 4 1 b a b b a 4 b 1 a 4 x y a 4 e b. Seja c a metade da distância focal (F 1 F ). No triângulo retângulo AOF 1 : c 16 4 c 3. A excentricidade da elipse é o valor da razão RESPOSTA: Alternativa 01. c e a 3 3 e (M)_ªAval-Matem-3ºEM-U1(prof)_15-04_ado 3

4 Questão 07. Sobre fatorial, considere as seguintes afirmativas: (I) 6! 5! + + 4! 4! 31 6 (II) Simplificando a expressão (n + 1)! (n + )! (n 1)! (n + 1)! obtemos n (n + 1)! + 4(n 1)! (III) A soma das soluções da equação 10 n! (n 1)! é 9. Assinale a alternativa correta: 01) Somente a afirmativa I é falsa. 0) Somente a afirmativa II é falsa. 03) Somente a afirmativa III é falsa. 04) Somente uma afirmativa é verdadeira. 05) Todas as afirmativas são verdadeiras. (I) VERDADEIRA. 6! 5! + + 4! 4! 4! ( ) 4! ( 5 + 1) 6 (II) VERDADEIRA. 31 n + 1)! (n + )! (n 1)! (n + 1)! ( n + 1) n ( n 1)! (n + ) ( n + 1) ( (n 1)! (n + 1)!! ( n + 1) n (n + ) n + n n n (III) VERDADEIRA. (n + 1)! + 4(n 1)! (n + 1) n (n 1)! + 4(n 1)! (n 1)! n! (n 1)! n (n 1)! (n 1)! (n ( n + 1) n + 4) 10 n n 1 + n n 10 n 9n A soma dos dois valores de n que são raízes da equação é 9. RESPOSTA: Alternativa 05. [(n + 1) n + 4) ] 1)! [ n 1] 10 Questão 08. Considere a circunferência com o centro no primeiro quadrante, de raio 4, tangente à reta y e ao eixo Oy. Determine a equação da transformada dessa circunferência por uma homotetia de centro C (6, ) e razão 1 k. 01) x + y ) x + y 4 03) x + y 6x + y ) x + y + 4y ) x + y 14x (M)_ªAval-Matem-3ºEM-U1(prof)_15-04_ado 4

5 As coordenadas do transformado de um ponto, por uma homotetia de razão k e centro no ponto C (c,c ) são determinadas pelas relações: x' kx + c (1 - k) e e y' ky + c (1 - k) Se a circunferência temo centro no primeiro quadrante, é tangente à reta y e ao eixo Oy, com raio 4, então seu centro é o ponto A (4, 6). 1 Como a razão da homotetia é k, o raio da transformada mede u.c. O centro da homotetia é C (6, ) e y' ky + c(1 - k) (6) Logo o centro da circunferência transformada é A (7, 0) e sua equação è: x' kx + c(1 - k) ( 4) ( x 7) + y 4 x + y 14x x + y 14x RESPOSTA: Alternativa 05. Questão 09. x + 3; se x < 1 Considere a função f: R R dada por f (x) x ; se 1 x < 4; se x Sobre esta função assinale a alternativa verdadeira. 01) f é sobrejetora. 0) f é crescente no intervalo ] ; [. 03) A equação f (x) 1 tem 3 soluções distintas. 04) A equação f (x) 5 admite uma única solução. 05) n.r.a. 01) FALSA. f não é sobrejetora pois o seu conjunto imagem ], 4] é diferente do seu contra-domínio que é R. 0) FALSA. f não é crescente, nem decrescente, no intervalo ] ; [. 03) VERDADEIRA. A reta f (x) 1 intercepta o gráfico em três pontos distintos: 1, e 1,. 04) FALSA. A reta f (x) 5 não intercepta o gráfico da função em nenhum ponto.. 05) FALSA. 5 1, 4, (M)_ªAval-Matem-3ºEM-U1(prof)_15-04_ado 5

6 Questão 10. Dentre as proposições a seguir qual é a verdadeira? 01) A composta T 1 o T das translações T 1 e T equivale a uma simetria central. 0) A transformada da reta y x por uma translação de vetor v (0, 3) é a reta y x 3. 03) Se um círculo tem raio 5, então seu transformado por uma homotetia de raz ão k tem área 50π. 04) Se T é uma translação de vetor v (, 1) e S é uma simetria central de centro C (3, 0), então, S o T leva o ponto ( 1, 4) no ponto (5, 5). 05) Todo polígono regular de n lados tem n eixos de simetria. 01) FALSA Seja T 1 uma translação de vetor u e T uma translação de vetor u Graficamente: Pelo gráfico concluí-se que sendo T 1 (x) x + u e T (x) x + v, então, T 1 o T T 1 (T (x)) T 1 (x+v) (x+v)+ u x + (v + u) que é uma translação de vetor (u + v) 0) FALSA. Na reta y x, considere-se o segmento AB determinado pelos pontos A (0,0) e B (5, 5). Aplicando a translação de vetor v (0,3): A (0 + 0, 0 + 3) (0, 3) e B (5 + 0, 5 + 3) (5, 8) que a reta que contém o segmento A B é y x + 3 e não y x 3. 03) FALSA. Se um círculo tem raio 5, então seu transformado por uma homotetia de razão k tem raio 10 e sua área é 100π. 04) VERDADEIRA. Sendo T uma translação de vetor v (, 1) S (T ( 1, 4)) S ( 1 +, 4 + 1) S(1, 5) Sendo S uma simetria de centro C (c, c 1 ), então, S(x, y) (c x, c 1 y): S(1, 5) (.3 1,.0 5) (5, 5). 05) FALSA. Somente os polígonos regulares com número par de lados (M)_ªAval-Matem-3ºEM-U1(prof)_15-04_ado 6

7 Questão 11. Sobre a função f: R R dada por f (x) 3 x 1 é correto afirmar. 01) A imagem de f é o intervalo [ ; + [. 0) f é uma função sobrejetora. 03) A função é positiva no intervalo ] ; [. 04) A função é crescente no intervalo [ 1; 1]. 05) A função é sempre positiva. Considerando g(x) x 1 e fazendo o estudo da variação de seus sinais em relação aos intervalos externos e internos às suas raízes x -1 e x 1 tem-se o gráfico ao lado No intervalo ]-1, 1[ onde x 1 < 0, x 1 1 x f (x) 3 x 1 f (x) 3 (1 x ) x +. Nos intervalos ]-, -1[ e ]1, + [ nos quais x 1 > 0, x 1 x 1 f (x) 3 x 1 3 (x 1) x ) FALSA. A imagem de f é o intervalo [ ;3] 0) FALSA. f não é uma função sobrejetora, pois [ ;3] R. 03) VERDADEIRA. A função é positiva no intervalo ] ; [. 04) FALSA. A função não é crescente nem decrescente no intervalo [ 1; 1]. 05) FALSA. Analisando o gráfico conclui-se que a função é negativa para valores de x pertencentes ao intervalo ], [ ], + [ e positiva para todo x pertencente ao intervalo ], [ (M)_ªAval-Matem-3ºEM-U1(prof)_15-04_ado 7

8 Questão 1. Identifique a proposição verdadeira. 01) Se P é um ponto do espaço, é impossível a existência dos planos α, β e γ, tais que α β γ {P}. 0) Se as retas r, s e t são paralelas duas a duas, então são coplanares. 03) Se a reta r é oblíqua ao plano α, então existe uma, e somente uma, reta s α, tal que a reta s é perpendicular à reta r. 04) Se os pontos P e Q, não pertencem ao plano α, e são eqüidistantes deste plano, então a reta que passa por P e Q é paralela a α. 05) Se o ponto P não pertence ao plano α, então existe uma, e somente uma, reta que possui P e é paralela ao plano α. 01) FALSA. Na figura ao lado, P é um ponto do espaço, e α β γ {P}. 0) FALSA. Na figura ao lado, as retas r, s e t são paralelas duas a duas, mas não são coplanares. 03) VERDADEIRA. Na figura ao lado, a reta r é oblíqua ao plano α, e somente a reta s α, é perpendicular à reta r. 04) FALSA. Se os pontos P e Q, estiverem no mesmo semiespaço em relação ao plano α (FIGURA 1), a reta que passa por P e Q é paralela a α. Porém se P e Q estiverem em semiespaços opostos relação ao plano α (FIGURA ), a reta que passa por P e Q não é paralela a α (M)_ªAval-Matem-3ºEM-U1(prof)_15-04_ado 8

9 05) Na figura ao lado, o ponto P não pertence ao plano α, e todas as infinitas retas que possuem P e estão contidas no plano β são paralelas ao plano α. Questão 13. Seja f: R R uma função definida por f (x) x + 3 x 3. Assinale a alternativa verdadeira. 01) A imagem de f é o intervalo de [ 6; + [. 0) f é injetora. 03) f é ímpar. 04) f é crescente. 05) n.r.a. Estudo da função: 1) Se x + 3 > 0 e x 3 > 0, f (x) x + 3 (x 3) 6. ) Se x + 3 > 0 e x 3 < 0, f (x) x + 3 ( x + 3) x. 3) Se x + 3 < 0 e x 3 > 0, f (x) x 3 (x 3) x. ) Se x + 3 < 0 e x 3 < 0, f (x) x 3 ( x + 3) 6 Graficamente: 01) FALSA. A imagem de f é o intervalo de [ 6; 6]. 0) FALSA. f( 3 ) f( 4 ) 6, f( 3 ) f(4 ) 6,... 03) VERDADEIRA. Pelo gráfico percebe-se que para todo x, f( x ) f(x ). Por exemplo, f( 3 ) f(3). 04) FALSA. f não é crescente nem decrescente. 05) FALSA. Questão 14. O conjunto solução da equação x 6x 4 x 4 possui quantos números inteiros? 01) 0 0) 1 03) 04) 3 05) 4 Se x 6x 4 x 4 x 6x 4 x 4 ou x 6x 4 x + 4. x 6x 4 x 4 6x 4 4 6x 0 x (M)_ªAval-Matem-3ºEM-U1(prof)_15-04_ado 9 x 6x 4 x + 4 x 6x 8 0 x 3x ± ± 5 Verificação: Para x 0: (F) x x 1 ou x 4 Verificação: Para x 1: (F) Para x 4: (v) O conjunto solução da equação x 6x 4 x 4 é S {4}. RESPOSTA: Alternativa 0.

10 Questão 15. O conjunto solução da inequação x + 1 > x 4 é: 01) ]1; 5[ 0) ] ; 1[ 03) ]1; + [ 04) ] ; 5[ 05) ]5; + [ x + 1 < x + 4 3x < 3 x < 1 De x + 1 > x 4 sendo x 4 > 0, tem-se: ou ou ou x ],5[. x 1 x 4 x 5 + > < x < 5 Analisando o gráfico, conclui-se que x + 1 > x 4, para todo x pertencente Graficamente ao intervalo ] ; 5[. RESPOSTA: Alternativa (M)_ªAval-Matem-3ºEM-U1(prof)_15-04_ado 10

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