RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA UFBA A FASE. POR PROFA. MARIA ANTÔNIA CONCEIÇÃO GOUVEIA.

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Isabella de Carvalho Faria
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1 RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA UFBA A FASE. POR PROFA. MARIA ANTÔNIA CONCEIÇÃO GOUVEIA. QUESTÕES de a 8 INSTRUÇÃO : Assinale as proposições verdadeiras, some os números a elas associados e marque o resultado na Folha de Respostas. QUESTÃO * Considere as funções f: R R e g: R R definidas por f() = Nessas condições, é correto afirmar: () A função g é ímpar. Falsa porque: g() = ³ - e g(-) = -³ - -g() = -³ +. () A função g possui uma única rai real. log e g() = ³ Verdadeira, porque g() = ³ - = ( )(²++) possui como raies o número real e as raíes do fator ²++que são os números compleos i (4) O ponto (,) pertence à interseção dos gráficos de f e de g. Verdadeira, pois f() = log = = g() = =. (8) A imagem de = 8 pela função composta g o f é igual a. Falsa porque: g o f() = ( log )³ g o f(8) = ( log 8 )³ = 7 = 6 (6) A função composta g o f é inversível, e sua inversa é a função (g o f) - : R R * definida pela equação (g o f) - () =. A função composta g o f é inversível porque g() e f() são inversíveis sendo f - () = e g - ( ) = (g o f) - () = (f o g )() = RESPOSTA:

2 QUESTÃO Um cliente, ao solicitar um empréstimo de R$ 5., a determinado banco, foi informado de que, no vencimento, em t meses, deveria pagar o valor calculado pela fórmula P(t) = 5 (,) t. Nessas condições, é correto afirmar: () A condição estipulada pelo banco corresponde a um empréstimo com juros compostos de % ao mês. () O valor dos juros a serem pagos, se o cliente optar pelo prao de meses, corresponderá a % do valor emprestado. Falsa porque:o fator de acréscimo será de,² =, juros no valor de % do valor emprestado. (4) O valor total a ser pago, se o cliente optar pelo prao de meses, será igual a R$ 6.655,. Verdadeira pois o valor total será de 5.,³ = 6655, (8) A dívida do cliente, se ele optar pelo prao de meses, será maior que R$.,. A dívida será de 5., = 968,7 >. (6) P(), P(),..., nesta ordem, formam uma progressão aritmética. Porque 5,; 5,²; 5,³ ;...forma uma P.G. de raão,. () A figura ao lado representa um esboço do gráfico da função P(t), com t N * A função P(t) = 5., t é uma função eponencial e o gráfico acima não é gráfico de uma função eponencial. RESPOSTA:

3 QUESTÃO Considerando-se as funções f: R R e g: R R definidas pelas equações f() = + e g() = ², é correto afirmar: () A soma das soluções da equação f() = g() é igual a. Se f() = g() ² = + ² + = + =. () O trapéio ABCD, que tem como vértices A = (,), B = (,) e os pontos de interseção 5 dos gráficos de f e g, tem área igual a.u.a As raíes da equação f() = g() (item anterior) são = ou =, logo a interseção dos seus gráficos são os pontos (,) e (,4). A área do trapéio ABCD pode será a metade do módulo do falso determinante 5 = S = u.a. 4 (4) O conjunto solução da inequação g() f() é o intervalo [,+[. -- g() f() ² +. Faendo o estudo da variação do sinal do trinômio ² ],] [,+[ vemos que a solução da inequação em questão é o intervalo (8) A desigualdade f²() g() é válida para todo R. f²() g() (+)² ² ² ² (6) A imagem da função h definida por h() = g() f() é,. 4 h() = ² (+) = ² + = 4() = 9 min = Im(h()) = 4, 4

4 4 QUESTÃO 4 Considerando-se o sistema de equações S: e as matries B =, C = e X =, sendo um número real, pode-se afirmar: () A matri transposta de B.C é a matri linha (,, ). B.C = = cuja transposta é (,, ) () A matri inversa de B, para =, é a matri B - =. Sabemos que B.B - = B -.B = I. Verifiquemos se esta propriedade se verifica para as matries em questão: =. (4) S é um sistema determinado, se e. S: é um sistema determinado se ++² K²+ e. (8) O terno (,, ) é a única solução do sistema S, para =. S: (6) O sistema é possível e indeterminado, para =.

5 5 S: As equações ++ = e ++ = são incompatíveis, logo para = o sistema é impossível. () O conjunto solução do sistema homogêneo B.X =, para =, é {(,, ), R}. R,,, S 4 4 QUESTÃO 5 Considere um plano, um ponto P e uma reta r não contida em. Nessas condições, é correto afirmar: () Toda reta que passa por P não intercepta r. Na figura ao lado, a reta s passa pelo ponto P e intercepta a reta r no ponto Q. () Se r é paralela a alguma reta contida em, então ela é paralela a. Na figura ao lado, s, r // s r //. (4) Se P r, então r é perpendicular a. Na figura ao lado, r, r, r são três das infinitas retas que passam por P, não estão contidas em, e apenas r é perpendicular a. (8) Eiste um plano que contém r e é perpendicular a. Na figura ao lado, r α, t α, t s e perpendicular à reta interseção entre os planos α e, então α.

6 (6) Se Q é um ponto não pertencente a, então a reta PQ não está contida em. α >. () Qualquer reta perpendicular a r intercepta. As retas s e r estão contidas em α. s r e s = 6 QUESTÃO 6 Considerando-se o polígono ABCDEFG no plano cartesiano, sendo A = (,), B = (,5), C =,5, D = (,7), E =,5, F = (5,5) e G = (5,), pode-se afirmar: () A reta que passa pelos pontos A e F é paralela à reta que passa pelos pontos C e D. Pois seus coeficientes angulares são diferentes. 5 () A distância entre os pontos D e G é igual a 5 u.c. DG = u.c. (4) A reta que passa pelos pontos C e G tem coeficiente angular negativo a a OU: Igualando a ero o falso determinante: = = 9 = 4+49 =

(8) O ponto de interseção das diagonais do retângulo ABFG é (,4). 5 5 O ponto de interseção das diagonais é o seu ponto médio, de AF, por eemplo,,,4 (6) A área do polígono ABCDEFG é igual a u.a. S = S DCE +S ABFG = (5,5,5).

7 (8) O ponto de interseção das diagonais do retângulo ABFG é (,4). 5 5 O ponto de interseção das diagonais é o seu ponto médio, de AF, por eemplo,,,4 (6) A área do polígono ABCDEFG é igual a u.a. S = S DCE +S ABFG = (5,5,5).(7 5) 5. (5 )(5 ) 8 u.a. () A figura ao lado representa o polígono obtido pela refleão de ABCDEFG em relação à origem Os simétricos dos pontos A = (,), B = (,5), C =,5, D = (,7), E =,5, F = (5,5) e G = (5,) em relação à origem são, respectivamente, A = (-,-), B = (-,-5), C =, 5, D = (-,-7), E =, 5, F = (-5,-5) e G = (-5,-)..6 G' A' E' F' B' C' D'

8 QUESTÃO 7 Usualmente, chama-se Taa de Analfabetismo de uma localidade a taa percentual de analfabetos com idade superior a anos, calculada em relação ao número de habitantes, nessa faia etária, da localidade. A tabela a seguir contém dados sobre o Estado da Bahia e os municípios baianos de Salvador e de Cel. João Sá. Bahia Salvador Cel. João Sá População com idade superior a anos Número de analfabetos com idade superior a anos Taa de analfabetismo,6% 49,6% Fonte: IBGE ( dados aproimados) Com base nessas informações, é correto afirmar: () A taa de analfabetismo de Salvador é de, aproimadamente, 6,%. 6, ,% () Mais de 8% da população da Bahia com mais de anos de idade não é habitante de Salvador. 45, ,9% da população da Bahia com mais de anos de idade são habitantes de Salvador aproimadamente 9,% dessa população não habita em Salvador. (4) Na faia etária considerada acima, o número de analfabetos de Salvador corresponde a aproimadamente 5,6% do número de analfabetos da Bahia. 6 47, ,6% (8) Se o número de analfabetos de Cel. João Sá com idade superior a anos fosse.6, a taa de analfabetismo desse município seria menor que a do Estado da Bahia I CJS =,78...,78% ; i B =,...,%. I CJS > i B

9 (6) Escolhendo-se ao acaso um habitante do Estado da Bahia, analfabeto, na faia etária referida, a probabilidade de que ele seja habitante de Cel. João Sá é maior do que a de ser habitante de Salvador. 7 I CJS = 47 6 ; I S = IS > I CJS 47 () Escolhendo-se ao acaso uma pessoa de Salvador ou de Cel. João Sá, com idade superior a anos, a probabilidade de que essa pessoa seja analfabeta é maior que 7% ,65.. 6,5% QUESTÃO 8 O lucro de uma empresa, em função dos meses de janeiro a deembro do ano, é dado, em milhares de reais, pela fórmula L(n) 9n n², n {,,...,}, em que os números naturais n, variando de a, correspondem, respectivamente, aos meses de janeiro a deembro. Com base nessas informações, pode-se afirmar: () O maior lucro da empresa, no ano, ocorreu em junho e em julho. 9 Para n R, o maior lucro do ano ocorreria em n = 6, 5. 6 Como n {,,...,} o maior lucro ocorre para n = 6 e n = 7 (meses de junho e julho). () O maior lucro obtido pela empresa, no ano, foi de R$6,. O lucro máimo foi L(6) = L(7) = 9.7.7² = 6 mil reais. (4) O lucro, durante o segundo semestre, foi decrescente. 9

10 Analisando o gráfico vemos que para n 7 a função é decrescente. (8) O lucro foi igual nos meses de maio e setembro. L(5) = L(9) = 8 (6) O lucro médio, nos três primeiros meses, foi de R$66,. (9 ) (78 ) (7 7) L m = 64 mil reais. () O lucro mediano, nos doe meses, foi de R$99,. Analisando o gráfico e colocando os lucros em ordem crescente: L(), L(), L(), L(), L(), L(), L(4), L(9), L(5), L(8), L(6), L(7). Como são meses, o lucro mediano é a média aritmética entre os lucros do o e do 4 o mês: L() L(4) 8 9 logo, 99 9

11 QUESTÔES 9 e. INSTRUÇÃO: Efetue os cálculos necessários e marque o resultado na Folha de Respostas. QUESTÃO 9 Calcule o número de pares de vértices não consecutivos que se pode obter num prisma triangular. RESOLUÇÃO: Analisando a figura ao lado ( um prisma triangular ) vemos que eistem dois vértices não consecutivos ao vértice B, por eemplo. Agora percebamos que o {B,D} = {D,B} que cada par é contado duas 6. vees, logo o número de pares de vértices não consecutivos é 6 6 QUESTÃO Uma ponte, com formato de um arco de circunferência e 4 comprimento igual a quilômetros, liga dois pontos A e B situados em margens opostas de um rio, conforme figura ao lado.. Sabe-se que O é o centro da circunferência e que o ângulo AÔB mede rd. Calcule d², sendo d a distância, em quilômetros, entre os pontos A e B. O arco AOB tem comprimento r =. 4 4 m e o ângulo central AÔB mede rd = r. Como o ângulo central AÔB mede rd, então a corda AB é lado de um triângulo equilátero inscrito na circunferência e a sua medida d = r = d² =

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