Prova 3 Matemática. N ọ DE INSCRIÇÃO:

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1 Prova QUESTÕES OBJETIIVAS N ọ DE ORDEM: NOME DO CANDIDATO: N ọ DE INSCRIÇÃO: IINSTRUÇÕES PARA A REALIIZAÇÃO DA PROVA Confira os campos N ọ DE ORDEM, N ọ DE INSCRIÇÃO e NOME, conforme o que consta na etiqueta fiada em sua carteira Confira se o número do gabarito deste caderno corresponde ao constante na etiqueta fiada em sua carteira Se houver divergência, avise, imediatamente, o fiscal É proibido folhear o caderno de provas antes do sinal, às 9 horas 4 Após o sinal, confira se este caderno contém 0 questões objetivas e/ou qualquer tipo de defeito Qualquer problema, avise, imediatamente, o fiscal 5 O tempo mínimo de permanência na sala é de h e 0min após o início da prova 6 No tempo destinado a esta prova (4 horas), está incluído o de preenchimento da Folha de Respostas 7 Transcreva as respostas deste caderno para a Folha de Respostas A resposta correta será a soma dos números associados às proposições verdadeiras Para cada questão, preencha sempre dois alvéolos: um na coluna das dezenas e um na coluna das unidades, conforme eemplo ao lado: questão, resposta 09 (soma das proposições 0 e 08) 8 Se desejar, transcreva as respostas deste caderno no para Anotação das Respostas constante nesta prova e destaque-o, para retirá-lo hoje, nesta sala, no horário das h5min às h0min, mediante apresentação do documento de identificação do candidato Após esse período, não haverá devolução 9 Ao término da prova, levante o braço e aguarde atendimento Entregue ao fiscal este caderno, a Folha de Respostas e o para Anotação das Respostas Corte na linha pontilhada RASCUNHO PARA ANOTAÇÃO DAS RESPOSTAS N ọ DE ORDEM: NOME: UEM Comissão Central do Vestibular Unificado GABARITO

2 MATEMÁTICA 0 Em um sistema de eios ortogonais Oy, considere uma circunferência C dada pela equação y 6 4y 0 Assinale o que for correto 0) A circunferência C está contida no primeiro quadrante do sistema cartesiano 0) O diâmetro da circunferência C mede unidade de comprimento 04) Se P(a,b) é o centro da circunferência C, então a e b satisfazem a equação ) A reta de equação y divide o círculo delimitado pela circunferência C em duas regiões de mesma área 6) O volume de uma esfera que tem o mesmo raio da circunferência C é 4 π unidades de volume 0 Em um sistema de eios ortogonais Oy, em que as unidades correspondem a quilômetros, há três antenas de operadoras de celulares com raio de alcance até 0 km As antenas estão localizadas nos pontos A(0,0), B(,0) e C(-4,-4) Em um dado instante, as três antenas captam uma mesma ligação Se a antena localizada em A identificou a ligação a 5 km de distância e a antena localizada em B identificou a ligação a 4 km de distância, é correto afirmar que 0) a distância entre as antenas localizadas em B e C é 9 km 0) o ponto que indica onde foi realizada a ligação e os pontos A, B e C são vértices de um paralelogramo 04) os pontos que indicam as antenas A, B e C são colineares 08) a antena localizada em C identificou a ligação a uma distância de 7 km 6) o ponto que indica onde foi realizada a ligação e os pontos A e B são vértices de um triângulo retângulo GABARITO Vestibular de Inverno/008 Prova

3 0 Sejam r e s duas retas no plano cartesiano definidas pelas equações y e y, respectivamente É correto afirmar que 5 5 0) as retas r e s são perpendiculares 0) as retas r e s são concorrentes 04) a área da região delimitada pelas retas r e s e pela reta t que passa pelos pontos P(,) e Q(5,0) é 6 unidades de área 08) a área do triângulo determinado pelos pontos de interseção da reta s com os eios O e Oy e pela origem do sistema cartesiano Oy é 5 unidades de área 6) a reta r e a reta t que passa pelos pontos P(,) e Q(5,0) não determinam um único plano 04 Em uma circunferência com raio de medida r, temos um trapézio isósceles inscrito Sabendo que o comprimento da base maior do trapézio é igual à medida do diâmetro e a base menor tem medida igual à do raio, é correto afirmar que 0 0) a soma dos ângulos internos do trapézio é 80 0) o perímetro do trapézio é 5r r 04) a área do trapézio é 4 08) três lados do trapézio medem r 6) o trapézio possui um ângulo interno de medida π GABARITO Vestibular de Inverno/008 Prova

4 05 As figuras a seguir apresentam os gráficos de três funções f:, p: e q: f() - - p() q() - - Analisando esses gráficos, assinale o que for correto 0) ( f q )(0) 0 0) ( p q f )() 0 04) ( f p)() 0 08) ( p p) () ( f f )() 6) Se restringirmos o domínio da função f ao p f () intervalo [0,], então ( ) GABARITO Vestibular de Inverno/008 Prova 4

5 06 Considere as matrizes quadradas de ordem 9:, se i j A ( a ) tal que a 0, se i j; B ( b ) tal que b i j ; C ( c ) tal que c i j ; 0, se i> j D ( d ) tal que d i j, se i j Assinale o que for correto 0) A é a matriz identidade e, portanto, ABA 0) B t C C 04) Se E ( e ) CA, então 08) det ( D ) 9! 6) det ( B ) det ( C ) e Assinale o que for correto com respeito às matrizes y A, B e C 0 z e à equação AB C 0) Não eistem valores reais para, y e z que satisfazem a equação dada 0) Eistem infinitos valores reais para, y e z que satisfazem a equação dada 04) Eiste apenas um valor real para, um para y e um para z que satisfazem a equação dada 08) A matriz A é invertível para todo 0 6) Para obtermos uma solução da equação dada, devemos ter y 08 Um paralelepípedo reto de base quadrada e altura medindo h possui área total 6h É correto afirmar que 0) a aresta da base mede o dobro da altura do paralelepípedo 0) o paralelepípedo é um cubo 04) a diagonal do paralelepípedo mede h 08) a área lateral do paralelepípedo é metade da área total 6) o volume do paralelepípedo é 4h GABARITO Vestibular de Inverno/008 Prova 5

6 09 Com respeito a tetraedros (pirâmides de base triangular) e a heaedros regulares (cubos), assinale o que for correto 0) Em um tetraedro, temos um par de arestas que estão contidas em retas paralelas 0) Em um tetraedro, temos um par de arestas que estão contidas em retas reversas 04) Em um heaedro regular, a soma do número de vértices com o número de faces é igual ao número de arestas 08) Em um heaedro regular, a reta que contém uma aresta é perpendicular a quatro planos distintos que contêm faces desse heaedro regular 6) O número de vértices e o número de arestas de um heaedro regular são, respectivamente, o dobro do número de vértices e o dobro do número de arestas de um tetraedro 0 Considere um triângulo ABC retângulo em A e um ponto D no segmento AB tal que a medida de BD seja igual à medida de DC Sabendo que a medida de BC é 5 cm e a medida de AB é 4 cm, assinale o que for correto 0) A área do triângulo ABC é cm 0) Se a medida do ângulo ADC ˆ é α, então sen( α ) 5 04) Se a medida do ângulo CBD ˆ é β, então tg( β ) 4 08) Os segmentos DA e DB possuem mesma medida 6) Os ângulos BCD ˆ e CBD ˆ são congruentes Na divisão do polinômio p( ) a b, em que ab,, por 5 5, obtém-se o quociente igual ao resto Desse modo, é correto afirmar que 0) a b 0) p( ) é divisível por 04) p( ) é divisível por 08) o resto da divisão de p( ) por é zero 6) as raízes de p( ) são, e GABARITO Vestibular de Inverno/008 Prova 6

7 Considerando log a e afirmar que 0) log 6 a 4 0) log 75 b 04) log a 5 b log 5 b, é correto 08) o valor de na equação 5 0 é a b 6) log7 a a b Considere A, B e C vértices de um triângulo, M um ponto sobre o lado AB e N um ponto sobre o lado AC, de tal forma que MN// BC (ou seja, a reta que contém MN seja paralela à reta que contém o lado BC ) No triângulo AMN, considere um ponto P sobre o lado AM e um ponto Q sobre o lado AN, de tal forma que PQ // MN Assinale o que for correto, adotando a notação RS para a medida do segmento RS 0) Os triângulos ABC, AMN e APQ são semelhantes 0) Os ângulos APQ, PMN e M BC são congruentes AQ PQ 04) AC BC 08) AP PM MB AQ QN NC AQ PQ 6) Se AP k, então a razão entre os AB AC BC perímetros dos triângulos APQ e ABC é GABARITO Vestibular de Inverno/008 Prova 7

8 4 Cada uma das regiões poligonais, na seqüência de figuras abaio, é construída sobre quadrados com lados de 4, 5, 6 e 7 unidades de comprimento, sendo cada um dos quadrados interiores unidade de área Considere que essas figuras são as 4 primeiras, nessa ordem, de uma seqüência infinita que segue esse padrão (I) (III) (II) (IV) Em relação às regiões poligonais demarcadas em negrito e às regiões sombreadas, em cada figura da seqüência, é correto afirmar que 0) as áreas das regiões poligonais demarcadas em negrito, na seqüência de figuras, estão em uma progressão geométrica 0) a área da 7 a região poligonal demarcada em negrito, nessa seqüência, será 475 unidades de área 04) a área da região sombreada da n-ésima figura, nessa seqüência, pode ser epressa por n 4n 6 08) as áreas das regiões sombreadas, em cada uma das figuras da seqüência, formam uma progressão aritmética de razão 6) eiste uma região poligonal demarcada em negrito, nessa seqüência, cuja área é um número par GABARITO Vestibular de Inverno/008 Prova 8

9 5 Seja f : uma função da forma f() ab * em que a e b são números reais não nulos e indica o conjunto dos números reais positivos Se A(0,) e B(,) são dois pontos que pertencem ao gráfico de f, então é correto afirmar que 0) a e b 0) f é uma função decrescente 04) tem-se que f() 0, para todo 08) f ( ) log 6) o gráfico de f intercepta o eio O para algum < 0 6 Considere os seguintes subconjuntos de : A {( y, ) ; e y } ; B {( y, ) ; y } ; C {( y, ) ; } ; D {(, y) ; e 0 y } ; E {( y, ) ; y } ; F {( y, ) ; e y 0} É correto afirmar que 0) C E A 0) ( D F) A B 04) B D F {(,0),(,0) } 08) ( D F) B B 6) ( D F) A B 7 No conjunto dos números reais não-negativos, 4y definimos a operação y Com respeito y a essa operação, assinale o for correto 0) Eiste, tal que y para todo y real não-negativo 0) ( ) é um número inteiro 04) y y para todos y, 08) Em, não eiste solução para a equação 6) 4 8 GABARITO Vestibular de Inverno/008 Prova 9

10 8 Dado um número compleo z a bi, indicamos por z seu conjugado Desse modo, assinale o que for correto 0) cos π ( ) sen π ( ) cos π ( ) sen π i 6 6 i ( ) i 0) Se z é raiz de um polinômio com coeficientes reais, então z é raiz do mesmo polinômio 04) i para todo a em que a 0 ai a 08) z z para todo z ) i i i i i i 9 Se com 0 < π satisfaz a equação sen π ( ) sen( ), então é correto afirmar que 0) a equação admite apenas três soluções distintas 0) a soma das soluções da equação é igual a π 04) sen( ) 0 para toda solução da equação 08) cos( ) 0 para toda solução da equação 6) as soluções da equação são menores que π 0 Em uma sala, há seis lâmpadas com interruptores independentes que não identificam a lâmpada que controlam Assinale o que for correto 0) Se todas as lâmpadas estão apagadas, então há 5 modos distintos de iluminar a sala acionando 4 interruptores 0) Se todas as lâmpadas estão apagadas, então há 5 modos distintos de iluminar a sala acionando interruptores 04) Se há somente lâmpadas acessas, então, ao acionarmos um interruptor ao acaso, a probabilidade de acionarmos mais uma lâmpada é 08) Se todos os interruptores estão acionados, porém há lâmpadas queimadas, então, escolhendo um interruptor ao acaso, a probabilidade de este controlar uma lâmpada queimada é 6) Há modos distintos de escolhermos uma lâmpada e um interruptor GABARITO Vestibular de Inverno/008 Prova 0

11 MATEMÁTICA Formulário Trigonometria Análise Combinatória sen( ± y) sen()cos(y) ± sen(y)cos() cos( ± y) cos()cos(y) sen()sen(y) tg() ± tg(y) tg( ± y) tg()tg(y) P n n! A n, r n! (n r)! B c ˆB A Â C n a, r b Ĉ n! (n r)!r! C n n n (a b) Cn, a i b i i i 0 Lei dos senos: a b sen(â) sen(bˆ ) Lei dos cossenos: c sen(ĉ) a b c bc cos(â) Geometria Plana e Espacial d D Área do losango: A (b B)h Área do trapézio: A Área do círculo: A πr Área lateral do cilindro: A πrh Área lateral do cone: A πrg Área da superfície esférica: A 4πR Volume do cubo: V a Volume do prisma: V B h B h Volume da pirâmide: V Volume do cilindro: V πr h Volume do cone: R V π h Volume da esfera: V 4 πr Progressões Progressão Aritmética (P A): an a (n )r (a a )n S n n Progressão Geométrica (P G): a a qn n a a qn S n q, q a S, q < q Geometria Analítica Área do triângulo de vértices P(, y ), Q(, y ) e R(, y ) : A D, onde D y y y Distância de um ponto P(, y ) 0 0 à reta r: a by c 0 : a 0 by 0 c d P,r a b GABARITO Vestibular de Inverno/008 Prova