P (daltônica) 2,5% + 0,125% = = Questão 2. Sejam α, β C tais que α = β = 1 e α β = 2. Então α + β é igual a a) 2 b) 0 c) 1 d) 2 e) 2i

Transcrição

1 NOTAÇÕES N {0,,,,...} Z : conjunto dos números inteiros R : conjunto dos números reais : conjunto dos números compleos 0 : conjunto vazio [a, b] { R; a b} (a, b) ]a, b[ { R; a < < b} [a, b) [a, b[ { R; a < b} (a, b] ]a, b] { R; a < b} A B { A; B} i : unidade imaginária; i z : módulo do número z z : conjugado do número z Re z : parte real de z Im z : parte imaginária de z I: matriz identidade A : inversa da matriz inversível A A t : transposta da matriz A det A: determinante da matriz A A : complementar de A (A) : coleção de todos os subconjuntos de A AB: segmento de reta unindo os pontos A e B AB: arco de circunferência de etremidades A e B Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos ortogonais. P (mulher e daltônica) 0,% P (daltônica),% + 0,% 6. Questão Sejam α, β tais que α β e α β. Então α + β é igual a a) b) 0 c) d) e) i alternativa B Observando que z w é igual à distância entre as imagens dos compleos z e w no plano compleo, sendo A, B e O as imagens de α, β e0,temos OA α 0 α, OB β 0 β e AB α β.omo AB OA + OB, pela recíproca do Teorema de Pitágoras, o triângulo AOB é retângulo em O. Assim, α ±iβ α β α β + 0. B O lm A Re Questão onsidere uma população de igual número de homens e mulheres, em que sejam daltônicos % dos homens e 0,% das mulheres. Indique a probabilidade de que seja mulher uma pessoa daltônica selecionada ao acaso nessa população. a) b) 8 c) d) alternativa A e) A probabilidade de uma pessoa selecionada ao acaso ser homem e daltônico é 0% %,%. E a probabilidade de ser mulher e daltônica é 0% 0,% 0,%. Logo P (mulher daltônica) Questão onsidere o sistema A b, em que A k 6, b 6 e k R. k 0 Sendo T a soma de todos os valores de k que tornam o sistema impossível e sendo S a soma de todos os valores de k que tornam o sistema possível e indeterminado, então o valor de T S é a) b) c) 0 d) e)

2 matemática alternativa A A matriz completa associada ao sistema A b é: L + L k 6 6 L + L k 0 L + L L 0 k + 0 L + L 0 k L (k + ) L + L 0 k 0 k + 0 (k + ) + L L 0 k 0 0 k(k + ) k Assim, o sistema é possível e indeterminado se, e k(k + ) 0 somente se, k 0 e é impossí- k 0 k(k + ) 0 vel se, e somente se, k. k 0 Logo T S 0. Questão Sejam A e matrizes n n inversíveis tais que det( I + A) edeta. Sabendo-se que B ( A + ), então o deter- t minante de B é igual a a) n b) n c) n d) n e) alternativa D Sendo A e matrizes inversíveis n n, B também é n n. omo det A, então det A e det(i + A) det A + det[(i A) A ] det(a + ). t Portanto det B det [(A + ) ] n n n det(a + ). Questão Um polinômio P é dado pelo produto de polinômios cujos graus formam uma progressão geométrica. Se o polinômio de menor grau tem grau igual a e o grau de P é6,entãoo de maior grau tem grau igual a a) 0 b) c) d) 6 e) 8 alternativa B Seja q a razão da progressão geométrica formada pelos graus dos polinômios. omo seu primeiro termo é e a soma dos seus termos é 6: + q + q + q + q 6 q + q + q + q 0 0 ( ) Sabemos que o grau de um polinômio é um número natural e as possíveis raízes naturais de ( ) são os divisores positivos de 0, ou seja,,,,, 6, 0, e 0. Destes, o único que satisfaz a equação ( ) é q, pois Logo o polinômio de maior grau tem grau igual a q. Questão 6 Um diedro mede 0 o. A distância da aresta do diedro ao centro de uma esfera de volume π cm que tangencia as faces do diedro é, em cm, igual a a) b) c) d) e) alternativa E Sendo R o raio da esfera de volume π cm, πr π R cm. A figura a seguir mostra a secção que passa pelo centro O da esfera e é perpendicular à aresta do diedro em P:

3 matemática A M B P Q O N D O 0 _ P 0 _ 0 _ Q 0 _ A distância do centro da esfera à aresta do diedro é o OQ OP. No triângulo retângulo OPQ, sen 60 OP OP cm. OP Questão 7 onsidere o quadrado ABD com lados de 0m de comprimento. Seja M um ponto sobre o lado AB e N um ponto sobre o lado AD, eqüidistantes de A. Por M traça-se uma reta r paralela ao lado AD epornuma reta s paralela ao lado AB, que se interceptam no ponto O. onsidere os quadrados AMON e OPQ, ondep é a intersecção de s com o lado B e Q é a intersecção de r com o lado D. Sabendo-se que as áreas dos quadrados AMON, OPQ e ABD constituem, nesta ordem, uma progressão geométrica, então a distância entre os pontos A e M éigual,emmetros, a a) + b) 0 + c) 0 d) e) 0 alternativa D onsidere a figura a seguir: Sendo a distância, em metros, entre os pontos AeM, < 0, os lados dos quadrados AMON e OPQ medem e 0, respectivamente. Então, as áreas de AMON, OPQ e ABD constituem, nesta ordem, a PG (, (0 ), 0 ). Assim, recordando que 0 < < 0, (0 ) Questão 8 (0 ) 0. onsidere o polinômio p ( ) a + a + + a + a a, em que uma das raízes é. Sabendo-se que a, a, a, a e a são reais e formam, nesta ordem, uma progressão aritmética com a /, então p( ) é igual a a) b) 7 c) 6 d) 9 e) 0 alternativa A Se (a, a, a, a, a ) é uma PA, então a + a a + a. omo é uma raiz de p() a + a + + a + a a, então p( ) 0 a + a a + a a 0 a + a (a + a ) a 0 a 0. omo a, a razão da PA é a a 0 e seus termos são,,0, Portanto p() + + e p( ) ( ) + ( ) ( ) +.

4 matemática Questão 9 Sobre a equação polinomial + a + b + + c 0, sabemos que os coeficientes a, b, c são reais, duas de suas raízes são inteiras e distintas e / i/ também é sua raiz. Então, o máimo de a, b, c é igual a a) b) c) d) e) alternativa omo todos os coeficientes da equação são reais e i é raiz, seu conjugado i + também é raiz. Sendo r < s as outras duas raízes, estas são inteiras e, pelas relações entre coeficientes e raízes, i i rs + rs r e s. Assim, a equação pode ser escrita como i i ( )( + ) Portanto o máimo de a, b, c é c. Questão 0 É dada a equação polinomial ( a + c + ) + ( b + c + ) + ( c a) + + ( a + b + ) 0 com a, b, c reais. Sabendo-se que esta equação é recíproca de primeira espécie e que é uma raiz, então o produto abc é igual a a) b) c) 6 d) 9 e) ver comentário Sendo P ( ) (a + c + ) + (b + c + ) + + (c a) + (a + b + ), temos casos: P : omo a equação é recíproca de primeira espécie e é raiz, a + c + 0 e a + c + a + b + b + c + c a (a+ c + ) + (b + c + ) + (c a) + (a+ b + ) 0 c b + a + b a a + b + c a + 7b 7 b a + b + c 7 c b + c Logo abc ( ) ( ). P : b + c + 0 e a + c + 0 b + c + a + b + (b + c + ) + (c a) + (a + b + ) 0 9 a a + c a c c b + c b Logo abc P : c a 0 e 9 ( ) 7. 6 a + c + 0 b + c + 0 ( c a ) (a + b + ) ( c a ) + (a + b + ) 0 a + c + 0 b + c + 0 ; absurdo. c a 0 a + b + 0 Portanto abc ou abc 7. Supondo que a 6 equação fosse de terceiro grau, a alternativa E seria a correta. Questão Sendo [ π/, π/ ] o contradomínio da função arco-seno e [0, π] o contradomínio da função arco-cosseno, assinale o valor de cos arcsen + arccos. a) d) b) 7 e) alternativa B c) Seja arc sen α. omo 0 π < α <, podemos considerar o triângulo a seguir:

5 matemática 6 a) [, ] e π b) [, ] e π c) [, ] e π e) [, ] e π d) [, ] e π Logo cosα arc cos α e cos arc sen arc cos + cos( ) cos 7 α α. Questão Dada a cônica λ : y, qual das retas abaio é perpendicular à λ no ponto P (, )? a) y ( ) b) y c) y ( + ) d) y ( 7) e) y ( ) alternativa E Seja a o coeficiente angular da reta tangente a λ no ponto P (; ). Derivando em a relação que a cônica satisfaz, obtemos, para y 0, dy y dy 0 d d y e, portanto, a. Logo uma equação da reta perpendicular a λ em P é y ( ) y ( ). Questão O conjunto imagem e o período de f( ) sen ( ) + sen( 6) são, respectivamente, alternativa Observando que cos α sen α para α R e supondo que o domínio de f é R, f() sen () + sen(6) sen(6) ( sen ()) sen(6) cos(6) sen(6) cos(6) π π cos sen(6) sen cos(6) π sen6, que tem conjunto imagem [ ; ] e período π π. 6 Questão Para R, o conjunto solução de + + é a) {0, ±, ± } b) {0,, log ( + )} c) 0, log, log, log d) {0, log ( + ), log ( + ), log ( )} e) A única solução é 0 Seja y. Então: alternativa D y y + y y y(y )(y ) y y 0 ou y(y ) y 0 ou y(y ) ou y(y )

6 matemática 7 y ou y y 0 ou y y + 0 y ou y ± ou y ± Já que y > 0 para todo real e < 0, ou + ou + ou 0 ou log ( + ) ou log ( + ) ou log ( ). Logo o conjunto solução é {0,log ( + ), log ( + ), log ( )}. f é decrescente em ; e assume, nesse intervalo, os valores de f(); f 0; n l ; f é crescente em [; + [ e assume, nesse intervalo, os valores de [0; + [. Observando ainda que f() n l ou ln( ) ln + + ou 6 + 6, podemos fazer o esboço do gráfico de f: y Questão Um subconjunto D de R tal que a função f : D R, definida por f( ) ln( + ) é injetora, é dado por a) R d) (0, ) b) (, ] e) [/, ) c) [0, /] alternativa Temos ln( + ) 0 + 0ou. Assim: n( + ), se 0 ou f() l ln( + ), se 0 Seja g() + +, g : R R. Então a imagem de g é ; +, g é decrescente em ; e crescente em ; +, e o gráfico de g é simétrico em relação à reta. Deste modo devemos considerar quatro intervalos: f é decrescente em ] ; 0] e assume, nesse intervalo, os valores de [0, + [ ; f é crescente em 0; e assume, nesse intervalo, os valores de 0; f 0; ln 0; ln ; _ ln Dentre as alternativas, a única que apresenta um subconjunto D de R tal que f() é injetora é a alternativa. Questão 6 A soma de todas as soluções distintas da equação cos + cos 6 + cos 9 0, que estão no intervalo 0 π/, é igual a a) π b) π c) 9 6 π d) 7 π e) 6 π alternativa E cos + cos 6 + cos cos 9 cos 9 + cos 6 0 cos 6 cos + cos 6 0 cos 6(cos + ) 0 cos 6 0 ou cos π 6 + kπ ou π + k π (k Z) π kπ π kπ + ou + (k Z) 6 Para 0 π, as soluções são π, π π π +, 6 π π π + e π π π, cuja soma é π π π

7 matemática 8 Questão 7 onsidere o conjunto D { n N; n 6} e H ( D) formado por todos os subconjuntos de D com elementos. Escolhendo ao acaso um elemento B H, a probabilidade de a soma de seus elementos ser 8 é igual a a) 70 c) 6 e) 9 70 b) d) 6 9 Questão 8 onsidereotriânguloab isósceles em que o ângulo distinto dos demais, B A, mede 0. Sobre o lado AB, tome o ponto E tal que A E. Sobre o lado A, tome o ponto D tal que D B. Então, o ângulo E DB vale a) b) c) d) 7 e) 8 alternativa A Os elementos de H cuja soma é 8 são da forma {, 8 } para 9, num total de 9. Além disso, o número de elementos de H, ou seja, o número de subconjuntos de D com elementos é A probabilidade pedida é, então, alternativa D Sendo o triângulo AB isósceles, com BA diferente dos demais ângulos, m (AB) m ( AB ) o o o. Além disso, m (EB) m (AB) m (AE) o o o 70 e, no triângulo BE, m (BE) o 80 m (EB) m (EB) o o o o. Assim, o triângulo BE é isósceles com B BE. B E omo m (BD) o m (ABD), B BE ebd é comum, pelo caso LAL, os triângulos BD e BED são congruentes, de modo que m (EDB) m (DB) o 80 m (DB) m (BD) o o o o. Questão 9 A 0 Sejam X, Y, Z, W subconjuntos de N tais que ( X Y) Z {,,,, } Y {, 6, } Z Y 0, W ( X Z) { 7, 8 }, X W Z {, }. Entãooconjunto[ X ( Z W)] [ W ( Y Z)] é igual a a) {,,,, } b) {,,,, 7} c) {,, 7, 8} d) {, } e) {7, 8} alternativa Observe, inicialmente, que Z Z N Z (Y Y) (Z Y) (Z Y) 0 (Z Y) Z Y. Logo (X Y) Z (X Y) Z X (Y Z) X Z. Desta forma, considerando que (X Y) Z X Z {,,,}, W (X Z) {7, 8} e X W Z {, }, podemos construir o Diagrama de Venn a seguir e preencher algumas de suas regiões: D

8 matemática 9 W Temos então que A X (Z W) {,,,,7,8} não possui elementos em comum com Y e, conseqüentemente, o conjunto pedido é igual a A W Z {,,7,8}. Questão 0 Sejam r e s duas retas paralelas distando 0 cm entre si. Seja P um ponto no plano definido por r e s e eterior à região limitada por estas retas, distando cm de r. As respectivas medidas da área e do perímetro, em cm e cm, do triângulo equilátero PQR cujos vértices Q e R estão, respectivamente, sobre as retas r e s, são iguais a a) 7 e b) 7 e 0 c) 7 e 0 d) 7 e e) 700 e 0 alternativa B onsidere a reta que passa por P e é perpendicular a r e s. omo, senα α < 0 o e portanto R está no mesmo semiplano de Q em relação a PU. T P X _ Z Q N r Seja αm(pqt). Então, como PQR é eqüilátero, m(tqr) 60 o α, m(qrv) m(tqr) 60 o α(alternos internos) e m (PRU) o o o o (60 α) 60 + α. Assim, nos triângulos retângulos PQT e PRU: o sen( α + 60 ) o sen( α + 60 ) senα senα o o senαcos 60 + sen 60 cosα senα + cotg cotg α α TQ TQ No triângulo PQT, cotgα PT TQ. Aplicando o Teorema de Pitágoras no mesmo triângulo, PQ PT + TQ + 0. Assim, a área e o perímetro do triângulo eqüilátero PQR são, respectivamente, 0 7 cm e 0 0 cm. As questões dissertativas, numeradas de a 0, devem ser resolvidas e respondidas no caderno de soluções. Questão Dado o conjunto A { R; + < }, epresse-o como união de intervalos da reta real. 0 U R 60 _ V s + < 0 + < + 0 > >0

9 matemática 0 Porém + 0 ou 0 e > 0 ( ) > 0 ( + ) ( ) > 0 < ou < < 0 ou >. Uma maneira de epressar o conjunto A é ] ; [ ; ]; [ +. Questão 6 Determine as raízes em de z + 6 0, na forma a + bi,coma, b R, que pertençam a S { z ; < z + <. } Temos que: I. < z + < < z + < < (z + )(z + ) < 9 < (z + )(z + ) < 9 < z z + (z + z) + < 9 < z + Re(z) + < 9 z < < z Re(z) II. z z 6 z 6 6 z 6 z Logo, de I e II, basta encontrarmos as raízes da equação dada que satisfazem 7 < Re(z) < omo z 6 z (cosπ + i sen π) π + kπ π + kπ z cos + i sen, k, os valores pedidos são (observe que,7 > 7 : π π z cos + i sen i; z cos π i sen π + + i; 6 6 z cos 7 π i sen 7 π + i e 6 6 z cos π i sen π + i. Questão Seja f( ) ln( + + ), R. Determine as funções h, g : R R tais que f( ) g( ) + + h ( ), R, sendoh uma função par e g uma função ímpar. Questão omo h é par e g é ímpar, h( ) h() e g( ) g() para todo real. Assim, f( ) g( ) + h( ) g() + h() e f() g() + h() f( ) g() + h() f() + f( ) ln ( + + ) + ln ( + ) h() f( ) f( ) ln ( + + ) ln ( + ) g() ln [( + + )( + )] h() ln( + + ) g() n + + l + Sejam α, β, γ R. onsidere o polinômio p() dado por 9 + ( α β γ) + ( α + β + + γ ) + ( α β γ + ) + ( α + β+ γ ). Encontre todos os valores de α, β e γ de modo que 0 seja uma raiz com multiplicidade de p(). Já que 0 tem multiplicidade : α + β + γ 0 α 0 α β γ + 0 β + γ α + β + γ 0 β γ α β γ 0 omo β γ, devemos ter γ γ γ e, conseqüentemente, β. Logo, para que 0 tenha multiplicidade, devemos ter α0, β k, γ k, k R { }.

10 matemática Questão Questão 6 Uma matriz real quadrada A é ortogonal se A é inversível e A A t. Determine todas as matrizes que são simétricas e ortogonais, epressando-as, quando for o caso, em termos de seus elementos que estão fora da diagonal principal. Uma matriz A é simétrica e ortogonal se, e somente se, A t A A e A 0. Assim: A A A A A A A I a b Seja A simétrica. Logo A I b c a b b 0 a + b ab + bc c 0 ab + bc b + c a + b 0 b(a + c) 0 0 b + c Temos b(a + c) 0 b 0 ou a. c Analisemos os dois casos: b 0: temos a ec a ± ec ±, portanto as matrizes 0 0 0,, e 0 são simétricas e ortogonais. 0 a : c temos a + b a ± b ; b. b b As matrizes e b b b b são simétricas e ortogonais. b b Resumindo, as matrizes pedidas são da forma 0 0, 0 0, b b e b b b b b b com b. Determine todos os valores α tais que a equação (em ) + tgα 0 admita apenas raízes reais simples. π π, Vamos interpretar o trecho "... admita apenas raízes reais simples" como "admita apenas raízes reais, sendo todas simples". + tgα 0 y y y + tgα 0( ) Para que todas as raízes da equação + tgα 0 sejam reais e simples, as raízes de () devem ser positivas e distintas. Logo: ( ) tgα > 0 tgα tgα < > 0 tgα > 0 ( ) > 0 π π Para α ;, 0 tg 0 π < α < < α <. Questão 7 Em um espaço amostral com uma probabilidade P, são dados os eventos A, B e tais que: P (A) P (B) /, com A e B independentes, P ( A B ) /6, e sabe-se que P (( A B) ( A )) /0. alcule as probabilidades condicionais P ( A B) e P ( A B ). Sendo A e B independentes, P(A B) P (A) P(B). Assim, P( A B) P( A B) 6 P(A B).

11 matemática Os eventos A e B são também independentes, de modo que P(A B ) P(A) P(B ). Temos também P ((A B) (A )) P(A B) + P(A ) P((A B) (A )) + P (A ) P (A B ) P(A ) P(A ) Além disso, como B B 0 (A B) (A B ) 0, P(A ) P(A (B B )) P((A B) (A B )) P(A B) + P(A B ) 9 + P(A B ) 80 6 P(A B ). 0 Logo P( A B ) P( A B ) P(A B ) 0. Obs.: a identidade P(A ) P(A B) + + P(A B ) também pode ser visualizada no Diagrama de Venn: A A B B A B Sejam αm (BA), βm (AB) e γ m (AB). AB B Pela lei dos senos, sen γ senα R B senα R e AB 0 sen γ. omo o triângulo R 0 AB é acutângulo, cosα sen α e cosγ sen γ Logo a área do triângulo AB é AB B sen o sen(80 α γ) 0 sen( α + γ) 0 (senαcosγ + sen γcos α) Questão 9 Seja uma circunferência de raio r e centro O e AB um diâmetro de. onsidere o triângulo equilátero BDE inscrito em. Traça-se a reta s passando pelos pontos O e E até interceptar em F a reta t tangente à circunferência no ponto A. Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação da região limitada pelo arco AE e pelos segmentos AF e EF em torno do diâmetro AB. onsidere a figura a seguir: B Questão 8 Um triângulo acutângulo de vértices A, B e está inscrito numa circunferência de raio. Sabe-se que AB mede e B mede. Determine a área do triângulo AB. s O D H r 0 E F A F t

12 matemática omo o triângulo BDE é eqüilátero, DE é perpendicular a AB e, portanto, paralelo a t, e m (OFA) m(oeh) 0 o. Temos, então, no ΔOEH, OH o r o r OE sen 0 e HE OE cos0 OA e, no ΔOAF, AF r. o tg 0 O volume do sólido obtido é dado pela diferença entre o volume do tronco de cone, de altura HA r OA OH e raios das bases HE r e AF r, e o volume do segmento esférico, de r r altura HA e raio HE. Temos, então: r V (r ) r r r + + π π + π π r 6 r r 7 r r 8 r π Questão 0 onsidere a parábola de equação y a + b + c, que passa pelos pontos (,), (, e ) tal que a, b, c formam, nesta ordem, uma progressão aritmética. Determine a distância do vértice da parábola à reta tangente à parábola no ponto (,). Se a parábola de equação y a + b + c passa pelos pontos (; ) e (; ) esea, b e c formam uma progressão aritmética, então a + b + c a + b + c a a b + c b b. a + c b a + c b c A parábola possui assim equação y + +. Seu vértice tem coordenadas b a ; Δ (; 6). Além disso, y +, a portanto a reta tangente à parábola no ponto (; ) tem coeficiente angular + e sua equação é y ( ) + y 9 0. A distância entre (; 6) e a reta de equação + y 9 0 é d