NOTAÇÕES. Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares.

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1 NOTAÇÕES {,,,...} : conjunto dos números reais ab, ; a b ab, ; a <b ab, ; a<<b A\ B; A e B k n k n0 a a a... a, k n n a a a... a, k n 0 k k k : conjuntodos números compleos i : unidade imaginária: i = z : módulo do número z z : conjugado do número z M ( ) : conjunto das matrizes reais m n m n det A : determinante da matriz A A A t : transposta da matriz A : inversa da matriz inversível A PA ( ) : conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A na ( ) : número de elementos do conjunto finito A Arg z : argumento principal de z \{0}, Arg z0, f g : função composta das funções f e g f g : produto das funções f e g Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares.. Considere as afirmações abaio relativas a conjuntos A, B e C quaisquer: I. A negação de A B é : A ou B. II. ABCABA C. A\ B B\ A AB \ A B. III. Destas, é (são) falsa(s) A. ( ) apenas I. B. ( ) apenas II. C. ( ) apenas III. D. ( ) apenas I e III. E. ( ) nenhuma. Alternativa: E I. Verdadeira. Pelo teorema de De Morgan, tem-se que A BA B A B A B A B A ou B A ou B II. Verdadeira. ABCABA C Trata-se da propriedade distributiva da interseção em relação à união.

2 III. Verdadeira. Sabendo-se que AB A B, temos: AB \ ABABABABAB ABA B ABAABB AA BAAB BB B A A B A B B A A\B B\A. Considere conjuntos AB C AB funções reais definidas por afirmar que A. ( ), 5. C. ( ), 5. E. ( ) C não é intervalo. Alternativa: C, e. Se AB, AC e B C são os domínios das ln, 8 e, 5 C B. ( ) C C D. ( ) C n 0 A B, +,., 4. respectivamente, pode-se A C, 4 Mas: C A B C A CB C C, 5 Como, 5, +, então C, 5. 0 e 5 5 e 5 B C, Se z é uma solução da equação em, pode-se afirmar que zz z i i, A. ( ) izz 0. B. ( ) i z z 0. C. ( ) z 5,. D. ( ) z, 7. E. ( ) z 8. z

3 Alternativa: E Simplificando, inicialmente, o membro da direita da equação dada: i i i i i i i i ii i 4 Voltando à equação, temos: Como z yi e, y, zz z 4 temos: y yi 4 y 0 y 0 y 4 8 As raízes da equação são z 8 yi yi y 4 Podemos afirmar que z z 8. z 8 8 z 4. Os argumentos principais das soluções da equação em z, pertencem a A. ( ), C. ( ), 4 7 E. ( ) 0,,. 4 4 iz z z z i 0, 5 B. ( ), D. ( ),,. 4 4 Alternativa: C Fazendo ziy, ey, temos: i iy iy iy iy i 0 iyyi4 i0 4 y i y 0 Obtemos o sistema: 4 4 y ou y0 y

4 Para Para, temos, temos y y 7 8 i 5 4 7i 7 z e arg z arctg 8, obtendo z e argz, obtendo Os argumentos principais de z e z estão no intervalo 5 ; Considere a progressão aritmética,,..., 50 an 4550, então d a é igual a n a a a de razão d. Se 50 A. ( ). B. ( ). C. ( ) 9. D. ( ). E. ( ) 4. 0 an 0 5d e n Alternativa: D Do enunciado: 0 I. aa a 0 (aa 0) 05d a 9d 5d a d 50 a a a (a a ) 4550 a 49d 8 II Resolvendo o sistema acima, obtemos: d 4 e a 7 Logo: da. Sejam f, g: R R tais que f é par e g é ímpar. Das seguintes afirmações: I. f g é ímpar, II. f g é par, III. g f é ímpar, é (são) verdadeira(s) A. ( ) apenas I. B. ( ) apenas II. C. ( ) apenas III. D. ( ) apenas I e II. E. ( ) todas. 4

5 Alternativa: D Analisando as paridades das funções, temos: I. Verdadeira. h () ƒ() g() h ( ) ƒ( ) g( ) ƒ() g() ƒ() g() h () ƒg é ímpar II. Verdadeira. h () ƒ g() ƒ(g()) h ( ) ƒ(g( )) ƒ( g()) ƒ(g()) h () ƒ g é par III. Falsa. h () g ƒ() g(ƒ()) h ( ) g(ƒ( )) g(ƒ()) h () g ƒ é par 7. A equação em, e e arctg arccotg, \ 0, e 4 A. ( ) admite infinitas soluções, todas positivas. B. ( ) admite uma única solução, e esta é positiva. C. ( ) admite três soluções que se encontram no intervalo D. ( ) admite apenas soluções negativas. E. ( ) não admite solução. 5,. Alternativa: B e arctg e arccotg e 4 tge e e cotg tg e e e e tgtg tg tg tg e e e e e e e e e 0 e e e e e e e 0 5

6 Seja y e y y y 0. Observe que y = é raiz, logo (y ) (y y ) 0 y, y ou y Como e 0, tem-se somente uma solução, que é para e, e esta é positiva. 8. Sabe-se que o polinômio 5 p a a, a, admite a raiz i. Considere as seguintes afirmações sobre as raízes de p: I. Quatro das raízes são imaginárias puras. II. Uma das raízes tem multiplicidade dois. III. Apenas uma das raízes é real. Destas, é (são) verdadeira(s) apenas A. ( ) I. B. ( ) II. C. ( ) III. D. ( ) I e III. E. ( ) II e III. Alternativa: C Como p() possui coeficientes reais e i como raiz, tem-se que i também é raiz. A soma dos coeficientes do polinômio é zero, então é raiz. Tem-se, inicialmente, como raízes i e. P() é divisível por ( ) ( ) Efetuando-se a divisão, temos P() ( ) ( a) (a ) (a ) Deve-se ter (a ) (a ) 0. Assim, a Portanto, P() ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Raízes de P() : ; i e i Logo: I. Falsa. II. Falsa. III. Verdadeira. Temos apenas raiz real.

7 9. Um polinômio real satisfazem o sistema 5 p( ) a n n, com a 5 4, tem três raízes reais distintas, a, b e c, que n0 a + b + 5 c = 0 a + 4 b + c =. a + b + c = 5 Sabendo que a maior das raízes é simples e as demais têm multiplicidade dois, pode-se afirmar que p () é igual a A. ( ) 4. B. ( ). C. ( ). D. ( ) 4. E. ( ). Alternativa: A p() 4 a a a a a I II III ab5c0 a 4b c a b c 5 II III : a b5c0 a 4b c b c 7 b c II I : c c ; b ; a b c 7 p() 4 ( ) ( ) p() 4 ( ) 4 ( ) 4 p() Considere o polinômio p( ) a n n com coeficientes a 0 e an i an, n,,..., 5. Das afirmações: I. p ( ), n0 II. p( ) 4 ( 5), [,], III. a 8 a 4, é (são) verdadeira(s) apenas A. ( ) I. B. ( ) II. C. ( ) III. D. ( ) I e II. E. ( ) II e III. 7

8 Alternativa: E a0 a i a iii a iii a4 ii E a sequência se repete de 4 em 4 termos. I. Falsa. a0 aa a iii p( ) a a a a a a a a a a a a a a a a II. Verdadeira p() a a a a a a a a a a9 a0 a a a a4 a5 4 8 (i) i i 4 8 i i i III. Verdadeira. a a a a A epressão 5 5 ( 5) ( 5) é igual a A. ( ) 0 5. B. ( ) C. ( ) 7 5. D. ( ) E. ( ) Alternativa: B 5 5 Podemos reescrever a epressão como 5 A equação do º grau s , possui como raízes 5 e 5. 8

9 Pela fórmula de Newton, temos: n n n n n s 5s 7s 0, com s 5 5 ; n s0 s 5 s 5s7s0 0 s 4 s 5s 7s 0 s 8 5 s4 5 s7s 0 s4 058 s5 5 s4 7s 0 s Assim, n. Um palco possui refletores de iluminação. Num certo instante de um espetáculo moderno os refletores são acionados aleatoriamente de modo que, para cada um dos refletores, seja de a probabilidade de ser aceso. Então, a probabilidade de que, neste instante, 4 ou 5 refletores sejam acesos simultaneamente, é igual a A. ( ). 7 D. ( ) B. ( ) E. ( ) C. ( ) 5. 4 Alternativa: A Supondo, eatamente, 4 ou 5 refletores, temos: P4ou Considere a matriz a a a A 0 a4 a5 M( ), 0 0 a em que a 4 0, det A 000 e a, a, a, a4, a5 e aformam, nesta ordem, uma progressão a aritmética de razão d 0. Pode-se afirmar que d é igual a A. ( ) 4. B. ( ). C. ( ). D. ( ). E. ( ). 9

10 Alternativa: D Temos que a 0 d e a 0 d. Logo: 0 d a a 0 0 a d 0 (0 d) (0 d) 000 d 5d 00 0 d 5 (d 0) a 5 a Portanto, d 4. Sobre os elementos da matriz 4 y y y y4 A M sabe-se que,,, 4 e y, y, y, y 4 são duas progressões geométricas de razão e 4 valem, e de soma 80 e 55, respectivamente. Então, respectivamente, A. ( ) e. 7 D. ( ) B. ( ) e. E. ( ) e. 7 7 Alternativa: C Temos que: I. 80 Com PG (,, 8, 54) II. y 4y 4 y 4 y 55 y Com PG (,, 48, 9) Então: A e det A e o elemento A e. C. ( ) 7 e det A ( ) det(a ) a A 48 9 a det A

11 5. O valor da soma sen sen, n n para todo, é igual a n A. ( ) cos cos. 79 B. ( ) sen sen C. ( ) cos cos. D. ( ) cos cos E. ( ) cos cos. 79 Alternativa: A Observe que: sen sen cos cos n n n n sen sen cos cos n n n n n n cos cos cos cos cos cos = cos cos 79. Se os números reais e β, com então é igual a A. ( ). C. ( ). 5 E. ( ) 7. 4, 0, maimizam a soma sen sen B. ( ). D. ( ) 5. 8 Alternativa: B 4 sen sensen sen cos cos cos

12 cos é máimo quando k, k k, k k, k 4 k, k Mas: 0 0 k k k 0 e k k 0 Logo, 7. Considere as circunferências C: ( 4) ( y) 4 e C: ( 0) ( y ) 9. Seja r uma reta tangente interna a C e C, isto é, r tangencia C e C e intercepta o segmento de reta OO definido pelos centros O de C e O de C. Os pontos de tangência definem um segmento sobre r que mede A. ( ) 5. B. ( ) 4 5. C. ( ). D. ( ) 5. E. ( ) 9. Alternativa: A y O 0, C b P P O C 4, a T 0 OO d 04 0

13 a a PO T PO T b b a Como a b 0 a 0 a 4 e b P T 4 e P T 7 P P 5 8. Um cilindro reto de altura cm está inscrito num tetraedro regular e tem sua base em uma das faces do tetraedro. Se as arestas do tetraedro medem cm, o volume do cilindro, em cm, é igual a A. ( ). 4 C. ( ). E. ( ). B. ( ) D. ( ).. 9 Alternativa: D O tetraedro regular de aresta cm possui seguinte figura: cm de altura. De acordo com o teto, temos a As pirâmides AEFG e ABCD são semelhantes. Assim: EF DE cm O raio da circunferência inscrita no triângulo equilátero EFG é cm Volume do cilindro = V 9 cm 9

14 9. Um triângulo equilátero tem os vértices nos pontos A, B e C do plano Oy, sendo B = (, ) e C = (5, 5). Das seguintes afirmações: I. A se encontra sobre a reta y, 4 45 II. A está na intersecção da reta y com a circunferência ( ) ( y ) 5, III. A pertence às circunferências ( 5) ( y 5) 5 e ( ), y 4 é (são) verdadeira(s) apenas A. ( ) I. B. ( ) II. C. ( ) III. D. ( ) I e II. E. ( ) II e III. Alternativa: E I. Falsa. A pertence à mediatriz de BC, 7 que passa por M,, angular é m : 4 45 y 4 8 ponto médio de BC, e seu coeficiente II. Verdadeira. A também pertence à circunferência com centro B e raio BC. Como d 5 5 5, então a circunferência é dada por: BC y 5 III. Verdadeira. A também pertence à circunferência com centro C e raio BC: 5 y5 5 A também pertence à circunferência com centro M e raio y 4 (altura do triângulo equilátero): 4

15 0. Sejam A, B, C e D os vértices de um tetraedro regular cujas arestas medem cm. Se M é o ponto médio do segmento AB e N é o ponto médio do segmento CD, então a área do triângulo M N D, em cm, é igual a A. ( ). B. ( ). 8 C. ( ). D. ( ). 8 E. ( ). 9 Alternativa: B Considere o tetraedro ABCD dado: A M C N D B O triângulo MDC é isósceles e MD MC cm. MN MN MN= cm No triângulo MDN, temos: Área MDN Área MDN cm 8. Sejam A, B e C conjuntos tais que C B n B\ C n B C n A B nc, na, nb é uma progressão geométrica de razão r 0. e a) Determine nc. b) Determine \ n P B C.,, nab 5

16 Resolução: a) n(b\ C) n(b) n(bc) n(b) n(c) n(c) n(b) n(c) n(c) n(ab) n(b) 4 e n(ab) 7 n(a B) n(a) n(b) n(a B) n(a) 4 n(a) 7 49 Mas: n(a) n(b) n(c) ou n(c) 4 4 nb\c n(b) n(c) 4 b) n P B \ C n P B \ C 409. A progressão geométrica infinita a, a,..., a n,... tem razão r 0 infinita a, a,..., a 5n,... tem soma 8 e a progressão infinita 5, 0,..., 5n,.... Determine a soma da progressão infinita a, a,..., a,.... Resolução: Do enunciado, temos: a aa a5n 5 r 8 (I) 4 ar a5 a0 a5n 5 r (II) 5 (I) a r : 4r (r0) 5 4 (II) r a r n. Sabe-se que a progressão a a a tem soma Substituindo em (I): a 8 8 a 8 (8 ) Logo: aa a aa a 4 r

17 . Analise se a função : função inversa Resolução: f () =. Injetividade: Dados, y tal que ƒ() = ƒ(y), temos: y y, é bijetora e, em caso afirmativo, determine a y y y y y y y y y y y y ( ) 0 ( ) ( ) 0 y Como não pode ser zero: Logo, f é injetora. y y Sobrejetividade: Dado k,mostraremos que ƒ() k k k tal que ƒ() k k 4k 4 k 0 k k Como k k é real positivo, então eiste que satisfaz Portanto, f é bijetora. Inversa: y y y y log ( ) ƒ () log ( ) k k. 4. Seja : Resolução: bijetora e ímpar. Mostre que a função inversa Supondo, por absurdo, que ƒ ƒ y ƒ y. Assim, sendo = ƒ y e ƒ y, Mas como ƒ é função ímpar, temos que : também é ímpar. não seja função ímpar, temos que eiste y real tal que temos que ƒ ƒ. ƒ ƒ, ou seja, que y y. Absurdo! e, neste caso, 7

18 5. Considere o polinômio p a n n, com coeficientes reais, sendo a 0 0 e a. n0 Sabe-se que se r é raiz de p, r também é raiz de p. Analise a veracidade ou falsidade das afirmações. I. Se r e r, r r, são raízes e r é raiz não real de p, então r é imaginário puro. II. Se r é raiz dupla de p, então r é real ou imaginário puro. III. a 0 0. Resolução: 4 5 Seja p() a0 aa a a4 a5 o polinômio com coeficientes reais e a propriedade p : se r é raiz de p então r também é raiz de p. I. Verdadeira. Se r e r são raízes reais de p, então por p temos r e r como raízes também. Como r é raiz não real de p temos r como raiz. Pelos coeficientes serem reais, r também é raiz e, por p, r também é raiz. Como r r e o polinômio é de grau, então r, r, r e r têm que ser iguais duas a duas. r r : raiz nula (não é possível, pois a0 0 ) r r : r R (não é possível, pois r é raiz não real) r r : a bi abi a 0 e r bi, b R* (imaginário puro) II. Falsa. Supondo + i como raiz dupla temos como raízes: i; i; i; i; i; i Montando a equação temos: p() Logo, encontramos uma raiz dupla que seja um imaginário não puro. III. Falsa. No polinômio acima, temos: p0a

19 . Uma urna de sorteio contém 90 bolas numeradas de a 90, sendo que a retirada de uma bola é equiprovável à retirada de cada uma das demais. a) Retira-se aleatoriamente uma das 90 bolas desta urna. Calcule a probabilidade de o número desta bola ser um múltiplo de 5 ou de. b) Retira-se aleatoriamente uma das 90 bolas desta urna e, sem repô-la, retira-se uma segunda bola. Calcule a probabilidade de o número da segunda bola retirada não ser um múltiplo de. Resolução: Definindo o espaço amostral como a) M(5) 5, 0, 5,, 90 # M(5) 8 M(),, 8,, 90 # M() 5 M(5 e ) 0, 0, 90 #M(0) Logo, a probabilidade pedida é: 8 5 P P 90 b) Temos dois casos: ª bola ª bola ª bola ª bola ou M() M() M() M() Logo, a probabilidade pedida é: P P E,,,, 90, com #E 90, teremos: 7. Considere as matrizes AM44( ) e X, BM4( ): a b b b a y b A X B z b a b w b 0 ; e. 4 a) Encontre todos os valores reais de a e b tais que a equação matricial AX B tenha solução única. b) Se a b a e B t 0, 0 4, encontre X tal que AX B. 9

20 Resolução: a) Para solução única, devemos ter: det A 0 a b a b b a 0 det A b a 0 4a a b a b Assim, devemos ter a 0 e b. b) a y bz w b y az AX B y e y a y bz w 4 a bz w 0 a bz w 0 baz 0 baz 0 a bz w a Como a 0, então, z b a a e a Logo, X b a 0 a b w 0 a 8. Considere a equação ( cos ) tg tg 0. a) Determine todas as soluções no intervalo 0,. b) Para as soluções encontradas em a), determine cotg. Resolução: a) cos tg tg cos 0 sen cos cos cos cos sen cos sen sen sen

21 sen sen sen 0 ou 5 5 S ; ; sen ou b) 5 cotg ; cotg 0; cotg 9. Determine uma equação da circunferência inscrita no triângulo cujos vértices são A(,), B(, 7) e C (5, 4) no plano Oy. Resolução: y 7 B 4 M I C T A 0 5 A triângulo ABC é isósceles de base AB e lados AC BC 5. Assim, sendo I o centro da circunferência inscrita no triângulo e r o raio, temos do gráfico que as coordenadas de I são r, 4. IT CT CIT CAM, ou seja, r r AM CM 4 5 Portanto I, 4 e a equação da circunferência fica 5 9 y4. 4

22 0. As superfícies de duas esferas se interceptam ortogonalmente (isto é, em cada ponto da intersecção os respectivos planos tangentes são perpendiculares). Sabendo que os raios destas esferas medem cm e cm, respectivamente, calcule a) a distância entre os centros das duas esferas. b) a área da superfície do sólido obtido pela intersecção das duas esferas. Resolução: a) Na figura abaio, temos os círculos máimos das esferas ortogonais e seus respectivos raios. 5 5 No OAO, temos OO OO cm 4 E O A C M D E B O b) Para calcular a área do sólido obtido na intersecção ( calotas esféricas), observe o triângulo AO O. A O 5 M O 5 9 MO MO cm e MO cm 0 0 5

23 A área de uma calota esférica é dada pela relação: h R Área Rh 8 8 Calota na esfera E : área = MD 4 cm Calota na esfera E : área = MC cm Área total = Área total Área total cm 5 5 5

24 Comentários A prova de Matemática de 00 do ITA apresentou um nível de dificuldade adequado, proporcionando uma discriminação eficiente dos candidatos. Observamos várias questões trabalhosas de trigonometria e polinômios. As tradicionais questões de análise combinatória foram trocadas pelas de probabilidades. Parabéns à banca eaminadora. O CURSINHO QUE MAIS ENTENDE DE ITA E IME 4